Themen in Mathematik Klasse 12
- Ableitungen
- Kurvendiskussion
- Integralrechnung
- Vektorrechnung
- Geraden und Ebenen
- Stochastik und Binomialverteilung
- Abituraufgaben
Lektionen für diese Klassenstufe
- Analysis
Differentialgleichung Wachstum: Lösung, Verdopplungszeit und Beispiele
Die Differentialgleichung Wachstum f'(t) = k · f(t) beschreibt, dass der Zuwachs proportional zum Bestand ist, und wird durch c · eᵏᵗ gelöst. Du lernst Ansatz, Anfangswert und Wachstumskonstante, rechnest Bakterien- und Bestandsbeispiele und übst mit fünf Aufgaben.
- Analysis
Flächen zwischen Kurven
In dieser Lektion lernst du, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnest. Du bestimmst die Schnittstellen, bildest die Differenzfunktion und integrierst sie über das passende Intervall. Das ist eine der häufigsten Aufgabenarten in der Integralrechnung des Abiturs.
- Analysis
Funktionenscharen
Eine Funktionenschar ist eine ganze Familie von Funktionen, die alle denselben Aufbau haben, sich aber durch einen Parameter unterscheiden, der wie eine zusätzliche Variable behandelt wird. In dieser Lektion lernst du, wie du Nullstellen und Extrempunkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter berechnest.
- Analysis
Integralrechnung: Stammfunktion und Fläche
In dieser Lektion lernst du, was eine Stammfunktion ist und wie du sie mit der umgekehrten Potenzregel findest. Du übst, den Flächeninhalt unter einem Graphen zu berechnen. Außerdem erfährst du, warum bei Stammfunktionen immer eine Konstante dazugehört.
- Analysis
Integration durch Substitution
Integration durch Substitution ist eine Methode, um Integrale verketteter Funktionen zu lösen, bei denen die innere Ableitung bereits als Faktor im Integranden auftaucht. In dieser Lektion lernst du, wie du eine passende Substitution wählst, das Integral in der neuen Variablen löst und am Ende durch Rücksubstitution wieder zur ursprünglichen Variablen zurückkehrst.
- Analysis
Newton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise berechnen
Das Newton-Verfahren berechnet Nullstellen näherungsweise: Du startest mit einem Schätzwert und verbesserst ihn mit der Formel x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). In dieser Lektion lernst du die Idee mit Tangenten, rechnest zwei Beispiele vor und erfährst, wann das Verfahren versagt.
- Analysis
Partielle Integration: Formel, Beispiele und Übungen
Die partielle Integration ist ein Verfahren, mit dem du Integrale von Produkten wie x · eˣ oder x · sin x berechnest, indem du die Produktregel des Ableitens umkehrst. Du lernst die Formel, die richtige Wahl der beiden Faktoren und rechnest ein unbestimmtes und ein bestimmtes Integral vor. Dazu kommen fünf Aufgaben.
- Analysis
Rotationsvolumen berechnen mit dem Integral
Das Rotationsvolumen berechnest du, indem du den Graphen einer Funktion um die x-Achse drehst und das Volumen des entstehenden Körpers mit einem Integral bestimmst. In dieser Lektion lernst du die Formel, rechnest zwei Beispiele vor und siehst, wie du Zylinder, Kegel und Kugel als Rotationskörper erkennst.
- Analysis
Stammfunktion
In dieser Lektion lernst du, wie du zu einer Funktion eine Stammfunktion findest, also den umgekehrten Weg zur Ableitung gehst. Du wendest die Potenzregel rückwärts an, lernst die Integrationskonstante kennen und rechnest Stammfunktionen von Summen und der e-Funktion.
- Analysis
Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Prüfen, Knick und Beispiele
Stetigkeit und Differenzierbarkeit zeigen, ob der Graph einer Funktion zusammenhängt und glatt verläuft. Du lernst die Definitionen, das Prüfverfahren an der Nahtstelle und die Bestimmung von Parametern. Zwei vorgerechnete Beispiele und fünf Aufgaben festigen das Thema.
- Analysis
Uneigentliche Integrale: Berechnung, Beispiele, Übungen
Uneigentliche Integrale sind Integrale, bei denen eine Grenze unendlich ist oder die Funktion am Rand nicht definiert ist, und du berechnest sie über einen Grenzwert. Du lernst, wann die Fläche endlich bleibt, rechnest ein konvergentes und ein divergentes Beispiel vor und übst mit fünf Aufgaben.
- Analytische Geometrie
Abstand Punkt Ebene berechnen mit der Hesse-Normalform
Den Abstand Punkt Ebene berechnest du am schnellsten mit der Hesse-Normalform: Du setzt die Koordinaten des Punktes in eine fertige Formel ein und erhältst direkt den kürzesten Abstand zur Ebene. Diese Lektion zeigt dir die Formel, den Zusammenhang mit dem Normalenvektor und den vollständigen Rechenweg an einem konkreten Beispiel.
- Analytische Geometrie
Abstand Punkt Gerade
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt und der Geraden, gemessen senkrecht zur Geraden. In dieser Lektion lernst du, wie du diesen Abstand mit dem Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor berechnest.
- Analytische Geometrie
Abstand windschiefer Geraden berechnen: Formel und Beispiele
Der Abstand windschiefer Geraden ist die kürzeste Entfernung zweier Geraden im Raum, die sich weder schneiden noch parallel sind. Du lernst die Formel mit Kreuzprodukt und Skalarprodukt, rechnest zwei Beispiele vor und übst mit fünf Aufgaben.
- Analytische Geometrie
Ebenengleichungen aufstellen und umformen
In dieser Lektion lernst du, wie eine Ebene im Raum durch eine Parameterform oder eine Normalenform beschrieben wird. Du übst, aus drei Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen und eine Parameterform mithilfe des Normalenvektors in eine Normalenform umzuwandeln.
- Analytische Geometrie
Geraden im Raum
In dieser Lektion lernst du, wie du eine Gerade im dreidimensionalen Raum mit einer Parametergleichung beschreibst. Du stellst die Gleichung durch zwei Punkte auf. Außerdem prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
- Analytische Geometrie
Kreuzprodukt berechnen
Das Kreuzprodukt berechnen bedeutet, aus zwei Vektoren im Raum einen dritten Vektor zu bestimmen, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. In dieser Lektion lernst du die Rechenregel für das Kreuzprodukt und wie du damit Normalenvektoren und Flächeninhalte von Parallelogrammen berechnest.
- Analytische Geometrie
Kugelgleichung: Aufstellen, Ablesen und Punktprobe
Die Kugelgleichung beschreibt alle Punkte im Raum, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand r haben, und lautet (x₁ − m₁)² + (x₂ − m₂)² + (x₃ − m₃)² = r². Du lernst, sie aufzustellen, aus einer ausmultiplizierten Form Mittelpunkt und Radius abzulesen und zu prüfen, ob ein Punkt auf, in oder außerhalb der Kugel liegt. Dazu kommen fünf Aufgaben.
- Analytische Geometrie
Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen
Die Lagebeziehung von Gerade und Ebene beschreibt, ob eine Gerade die Ebene schneidet, echt parallel zu ihr verläuft oder ganz in ihr liegt. In dieser Lektion lernst du, wie du mit dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor die Lage bestimmst, den Schnittpunkt berechnest und die drei Fälle sicher unterscheidest.
- Analytische Geometrie
Matrizen multiplizieren
Matrizen multiplizieren bedeutet, aus zwei rechteckigen Zahlenschemata nach einer festen Regel eine neue Matrix zu berechnen, bei der jeder Eintrag aus einer Zeile der ersten und einer Spalte der zweiten Matrix entsteht. In dieser Lektion lernst du die Voraussetzung dafür, das Verfahren Zeile mal Spalte und warum die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen eine wichtige Rolle spielt.
- Analytische Geometrie
Parameterform in Koordinatenform umformen
Parameterform in Koordinatenform umformen heißt, den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt zu bestimmen und d mit dem Aufpunkt zu berechnen. In dieser Lektion rechnest du zwei Beispiele vor, auch mit drei gegebenen Punkten, und lernst die typischen Fehler und Proben kennen.
- Analytische Geometrie
Punkt an Gerade spiegeln im Raum
Punkt an Gerade spiegeln heißt: Du bestimmst den Lotfußpunkt F und berechnest dann P' = 2 · F − P. Du lernst die Lotbedingung mit dem Skalarprodukt, rechnest zwei Beispiele im Raum vor und erfährst, wie du die Spiegelung mit zwei einfachen Proben kontrollierst.
- Analytische Geometrie
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen beschreibt, wie stark zwei sich schneidende Ebenen im Raum gegeneinander geneigt sind. In dieser Lektion lernst du, wie du diesen Winkel über die Normalenvektoren beider Ebenen mit dem Skalarprodukt berechnest.
- Analytische Geometrie
Skalarprodukt
In dieser Lektion lernst du, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnest und was das Ergebnis über die Lage der Vektoren zueinander verrät. Du bestimmst damit Winkel zwischen Vektoren und prüfst, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Das ist ein Grundwerkzeug der analytischen Geometrie.
- Analytische Geometrie
Spatprodukt – Volumen berechnen
Spatprodukt Volumen berechnen bedeutet, mit drei Vektoren das Volumen eines Spats zu bestimmen, also eines von drei Kantenvektoren aufgespannten Körpers, ähnlich einem schiefen Quader. In dieser Lektion lernst du, wie das Spatprodukt aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt zusammengesetzt ist und wie du damit Volumen und Komplanarität von Vektoren prüfst.
- Analytische Geometrie
Vektoren: Grundlagen
In dieser Lektion lernst du, was ein Vektor ist und wie du ihn im dreidimensionalen Raum beschreibst. Du berechnest Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten. Außerdem übst du Addition, Vervielfachung und den Test auf Parallelität.
- Stochastik
Die Binomialverteilung
In dieser Lektion lernst du, wann ein Zufallsexperiment binomialverteilt ist. Du berechnest Wahrscheinlichkeiten für genau k Treffer mit der Bernoulli-Formel. Außerdem bestimmst du den Erwartungswert.
- Stochastik
Fehler 1. und 2. Art beim Hypothesentest erklärt
Fehler 1. und 2. Art beschreiben die beiden Arten, wie sich ein Hypothesentest irren kann: Er lehnt eine wahre Nullhypothese ab oder er behält eine falsche bei. Du lernst, wie du die Wahrscheinlichkeiten alpha und beta berechnest, rechnest zwei Beispiele mit einer Münze vor und löst fünf Aufgaben.
- Stochastik
Hypothesentest
In dieser Lektion lernst du, wie du mit einem Hypothesentest eine Behauptung über eine Wahrscheinlichkeit anhand einer Stichprobe überprüfst. Du stellst Null- und Gegenhypothese auf, bestimmst den Ablehnungsbereich und lernst die beiden Fehlerarten kennen, die bei jeder Testentscheidung auftreten können.
- Stochastik
Konfidenzintervall berechnen und deuten
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich um die relative Häufigkeit einer Stichprobe, in dem der wahre Anteil der Grundgesamtheit mit vorgegebener Sicherheit liegt. In dieser Lektion lernst du, wie du ein Konfidenzintervall für einen Anteil berechnest, wie die Sicherheit und der Stichprobenumfang die Breite beeinflussen und wie du das Ergebnis richtig deutest.
- Stochastik
Kumulierte Binomialverteilung berechnen und anwenden
Die kumulierte Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer an und entsteht durch Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten. In dieser Lektion rechnest du Bereichsfragen mit Tabelle und Gegenereignis, siehst zwei vorgerechnete Beispiele und lernst die typischen Fehler bei den Grenzen kennen.
- Stochastik
Lineare Regression Regressionsgerade berechnen: Formel und Beispiele
Lineare Regression Regressionsgerade ist das Verfahren, mit dem du die beste Gerade durch eine Punktwolke findest. Du lernst die Methode der kleinsten Quadrate, berechnest Steigung und Achsenabschnitt Schritt für Schritt und deutest das Ergebnis. Zwei Beispiele und fünf Aufgaben helfen beim Üben.
- Stochastik
Normalverteilung
In dieser Lektion lernst du die Normalverteilung kennen, die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Du verstehst, warum ihre Dichtefunktion eine Glockenkurve bildet, wie du Wahrscheinlichkeiten durch Standardisieren berechnest und was die Sigma-Regeln über die Streuung der Werte aussagen.
- Stochastik
Sigma-Regeln
Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße in einem Intervall um den Erwartungswert Mü liegen. In dieser Lektion lernst du die Ein-Sigma-, Zwei-Sigma- und Drei-Sigma-Regel, wie du die passenden Intervalle berechnest und wann diese Näherung überhaupt sinnvoll anwendbar ist.