Brüche addieren und subtrahieren
In dieser Lektion lernst du, wie du Brüche zusammenrechnest – zuerst mit gleichem Nenner, danach mit verschiedenen Nennern. Das ist die Grundlage für fast alles, was in der Bruchrechnung noch kommt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 14 Min
- Niveau: Mittel
Warum man Nenner nicht addiert
Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wurde – der Zähler, wie viele dieser Teile gemeint sind. Bei 3/8 ist die Pizza also in acht Stücke geschnitten und drei davon liegen auf dem Teller. Der Nenner beschreibt damit die Stückgröße, der Zähler die Anzahl der Stücke.
Kommen zwei weitere Achtel dazu, liegen fünf Achtel auf dem Teller. Die Stückgröße hat sich nicht geändert, nur die Anzahl. Genau deshalb wird beim Addieren nur der Zähler zusammengerechnet und der Nenner bleibt stehen. Wer 3/8 + 2/8 = 5/16 rechnet, behauptet, die Stücke wären beim Zusammenlegen kleiner geworden – und das Ergebnis wäre sogar kleiner als die 3/8, mit denen man angefangen hat.
Schwierig wird es erst, wenn die Stücke unterschiedlich groß sind. Ein Achtel und ein Viertel lassen sich nicht direkt zusammenzählen, genauso wenig wie man Zentimeter und Meter einfach addiert, ohne sie vorher in dieselbe Einheit zu bringen. Bei Brüchen heißt diese gemeinsame Einheit gemeinsamer Nenner. Du schneidest die größeren Stücke so lange nach, bis alle Stücke gleich groß sind, und erst dann zählst du.
Beim Subtrahieren funktioniert alles genauso, nur nimmst du Stücke weg, statt welche dazuzulegen. Hast du 5/6 einer Tafel Schokolade und isst 2/6, bleiben 3/6 übrig, also die Hälfte. Auch hier zuerst prüfen, ob die Nenner gleich sind, dann die Zähler verrechnen und am Ende kürzen. Im Alltag begegnet dir das beim Kochen, beim Messen von Zeit in Viertelstunden oder beim Aufteilen von Arbeit.
Die Regel für gleichnamige Brüche
Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamig. Sie lassen sich direkt zusammenrechnen: Zähler addieren, Nenner übernehmen. Das gilt für beliebig viele Brüche, solange alle denselben Nenner haben: 1/9 + 2/9 + 4/9 = 7/9.
Haben die Brüche verschiedene Nenner, musst du sie zuerst gleichnamig machen. Dazu erweiterst du beide auf den kleinsten gemeinsamen Nenner – das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner. Du findest es, indem du die Vielfachen des größeren Nenners aufschreibst, bis eines davon auch durch den kleineren Nenner teilbar ist. Bei 4 und 6 sind das 6, 12 – und 12 ist durch 4 teilbar.
Grundsätzlich funktioniert auch das Produkt der beiden Nenner als gemeinsamer Nenner, bei 4 und 6 also 24. Das Ergebnis stimmt dann ebenfalls, aber die Zahlen werden größer und du musst am Ende mehr kürzen. Mit dem kgV bleibt die Rechnung schlanker.
- a
- Zähler des ersten Bruchs
- b
- Zähler des zweiten Bruchs
- c
- gemeinsamer Nenner
| Nenner | kgV | Beispielrechnung |
|---|---|---|
| 3 und 4 | 12 | 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 |
| 4 und 6 | 12 | 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 |
| 5 und 10 | 10 | 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2 |
| 8 und 4 | 8 | 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8 |
Beispiel 1: verschiedene Nenner
Berechne 3/8 + 1/4. Die Nenner sind verschieden, also musst du zuerst erweitern.
Gegeben:
- 38
- 14
Gesucht:
SummeLösung:
- Nenner vergleichen: 8 und 4 sind verschieden
- Vielfache von 8: 8, 16, 24 – schon 8 ist durch 4 teilbar
- kleinster gemeinsamer Nenner: 8
- 38 bleibt unverändert
- 1/4 mit 2 erweitern: 1 · 2 = 2 und 4 · 2 = 8, also 2/8
- 38283 + 2858
- Kürzen prüfen: 5 und 8 haben keinen gemeinsamen Teiler
Das Ergebnis ist 5/8. Der kleinste gemeinsame Nenner von 8 und 4 ist 8 – deshalb musste nur der zweite Bruch erweitert werden. Zur Kontrolle: 3/8 sind 0,375 und 1/4 sind 0,25, zusammen 0,625, und genau das sind 5/8.
Beispiel 2: drei Brüche mit unterschiedlichen Nennern
Berechne 1/2 + 1/3 − 1/4. Hier müssen drei Brüche gemeinsam gleichnamig gemacht werden.
Gegeben:
- 12
- 13
- 14
Gesucht:
ErgebnisLösung:
- Nenner sind 2, 3 und 4. Vielfache von 4 prüfen: 4, 8, 12 – 12 ist durch 2 und durch 3 teilbar
- gemeinsamer Nenner: 12
- 12 mit 6 erweitern: 6/12
- 13 mit 4 erweitern: 4/12
- 14 mit 3 erweitern: 3/12
- 6124123126 + 4 - 312712
Das Ergebnis ist 7/12. Auch bei drei Brüchen gilt dasselbe Vorgehen: erst einen gemeinsamen Nenner für alle finden, dann jeden Bruch einzeln erweitern und erst zum Schluss die Zähler verrechnen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, Zähler und Nenner getrennt zu addieren: 1/3 + 1/4 wird dann fälschlich zu 2/7. Das Ergebnis ist sogar kleiner als 1/3 allein, was schon ein Warnsignal ist. Addiere niemals die Nenner, sondern erweitere zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.
Ein zweiter Fehler passiert beim Erweitern: Manche multiplizieren nur den Nenner und vergessen den Zähler. Erweitern heißt aber immer, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, sonst verändert sich der Wert des Bruchs. Aus 1/4 wird durch Erweitern mit 3 nicht 1/12, sondern 3/12 – beide Werte sind gleich groß, nur anders geschrieben.
Ein dritter Fehler ist, das Kürzen am Ende zu vergessen. 6/8 ist zwar rechnerisch richtig, aber nicht die gekürzte Form von 3/4. Prüfe deshalb bei jedem Ergebnis, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe bei jeder Aufgabe zuerst die Nenner nebeneinander und markiere, ob sie gleich sind. So übersiehst du nicht, dass ein Erweitern nötig ist, und verlierst keine Zeit mit unnötigem Rechnen bei bereits gleichnamigen Brüchen.
Im Alltag begegnet dir das Addieren von Brüchen öfter, als es scheint: Beim Backen werden Mengenangaben wie 1/2 Tasse Mehl und 1/4 Tasse Zucker zusammengerechnet, bei Zeitangaben ergeben eine Viertelstunde und eine halbe Stunde zusammen drei Viertelstunden. Wer die Regel einmal verstanden hat, erkennt solche Aufgaben schnell wieder.
Für die Klassenarbeit hilft eine feste Reihenfolge: erst Nenner vergleichen, dann gemeinsamen Nenner bestimmen, dann erweitern, dann die Zähler verrechnen, zum Schluss kürzen. Wer diese fünf Schritte immer in derselben Reihenfolge abarbeitet, vermeidet die meisten Flüchtigkeitsfehler.
Jetzt bist du dran!
Du sollst 1/3 + 1/4 berechnen. Was ist der erste Schritt?
Noch nicht. Das kgV von 3 und 4 ist 12. Erweitert ergibt das 4/12 + 3/12 = 7/12. Zähler und Nenner getrennt zu addieren ergäbe 2/7, und das ist sogar kleiner als 1/3 allein – ein sicheres Zeichen, dass es falsch ist.
Das Wichtigste in Kürze
- Gleichnamige Brüche: Zähler addieren, Nenner bleibt stehen.
- Ungleichnamige Brüche: zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitern.
- Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kgV der beiden Nenner.
- Beim Subtrahieren gilt dieselbe Regel – nur mit Minus statt Plus.
- Am Ende immer prüfen, ob sich das Ergebnis kürzen lässt.
Weiter üben
Neue Aufgaben, so viele du willst – jedes Mal mit anderen Zahlen.
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Häufige Fragen zu Brüche addieren und subtrahieren
- Wie addiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
- Suche zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner, also das kgV der beiden Nenner. Erweitere dann jeden Bruch so, dass er diesen Nenner bekommt. Jetzt sind die Brüche gleichnamig: Du addierst die Zähler und übernimmst den Nenner. Zum Schluss prüfst du, ob sich das Ergebnis kürzen lässt. Beispiel: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Warum darf man die Nenner nicht einfach addieren?
- Der Nenner gibt die Größe der Stücke an, nicht ihre Anzahl. Wenn du zwei Achtel zu drei Achteln legst, bleiben es Achtel. Würdest du die Nenner addieren, würden die Stücke plötzlich kleiner, und das Ergebnis läge unter dem Ausgangswert. Beim Addieren ändert sich nur die Anzahl der Stücke, also nur der Zähler.
- Wie finde ich den kleinsten gemeinsamen Nenner?
- Schreibe die Vielfachen des größeren Nenners der Reihe nach auf und prüfe jedes, ob es auch durch den kleineren Nenner teilbar ist. Das erste passende ist der kleinste gemeinsame Nenner. Bei 6 und 8 prüfst du 8, 16, 24 – und 24 ist durch 6 teilbar. Ist ein Nenner bereits Vielfaches des anderen, ist er selbst der gemeinsame Nenner.
- Wie rechne ich Brüche minus Brüche?
- Genau wie beim Addieren: Erst gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren und den Nenner übernehmen. Wird der Zähler dabei null, ist das Ergebnis 0. Ist der zweite Bruch größer als der erste, wird das Ergebnis negativ, zum Beispiel 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. Auch hier am Ende kürzen.
- Wie kann ich meinem Kind beim Brüche addieren helfen?
- Am besten mit etwas zum Anfassen: Pizza, Schokolade oder Papierstreifen, die in gleiche Teile geschnitten werden. So sieht Ihr Kind, dass beim Zusammenlegen die Stückgröße gleich bleibt. Danach hilft es, jede Aufgabe laut in drei Schritten zu sprechen: Nenner gleich machen, Zähler rechnen, kürzen. Regelmäßige kurze Übungseinheiten wirken dabei besser als lange Sitzungen.
- Was ist der Unterschied zwischen Erweitern und Kürzen?
- Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, um einen größeren, aber wertgleichen Bruch zu erhalten – nötig, um Brüche gleichnamig zu machen. Kürzen ist der umgekehrte Vorgang: Zähler und Nenner werden durch denselben Teiler geteilt, um den Bruch einfacher darzustellen. Beide Male ändert sich der Wert des Bruchs nicht, nur seine Schreibweise.
- Wie addiert man drei oder mehr Brüche mit verschiedenen Nennern?
- Das Vorgehen bleibt gleich, nur mit mehr Nennern: Zuerst suchst du eine Zahl, die Vielfaches aller beteiligten Nenner ist. Dann erweiterst du jeden Bruch einzeln auf diesen gemeinsamen Nenner und addierst am Ende alle Zähler auf einmal. Bei 1/2 + 1/3 + 1/6 ist der gemeinsame Nenner 6, und es ergibt sich 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1.
- Muss man Brüche vor dem Addieren immer erweitern?
- Nur dann, wenn die Nenner unterschiedlich sind. Sind zwei Brüche bereits gleichnamig, also mit demselben Nenner geschrieben, kannst du die Zähler direkt addieren, ohne vorher etwas zu erweitern. Erweitern ist ausschließlich der Trick, um ungleichnamige Brüche gleichnamig zu machen, damit die Addition der Zähler überhaupt einen sinnvollen Wert ergibt.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Brüche erweitern und kürzenin Arbeit
- kgV und ggT bestimmenin Arbeit