Brüche dividieren
In dieser Lektion lernst du, warum man beim Teilen durch einen Bruch mit dem Kehrwert multipliziert. Du siehst, wie der Kehrwert gebildet wird, und übst den Schritt, an dem die meisten Fehler passieren.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Warum Teilen durch einen Bruch größer macht
Dividieren beantwortet die Frage: Wie oft passt der zweite Wert in den ersten? Bei 6 : 2 fragst du, wie oft die 2 in die 6 passt – dreimal. Genauso funktioniert es mit Brüchen: 2 : 1/4 fragt, wie oft ein Viertel in zwei Ganze passt. In jedes Ganze passen vier Viertel, in zwei Ganze also acht. Deshalb ist 2 : 1/4 = 8.
Das Ergebnis ist größer als die Ausgangszahl, und genau das irritiert am Anfang. Es ist aber logisch: Je kleiner die Portion, desto mehr Portionen passen hinein. Immer wenn du durch eine Zahl zwischen 0 und 1 teilst, wird das Ergebnis größer. Teilst du dagegen durch eine Zahl größer als 1, wird es kleiner.
Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, indem du Zähler und Nenner vertauschst: Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3, der Kehrwert von 5 ist 1/5. Multipliziert man einen Bruch mit seinem Kehrwert, kommt immer 1 heraus. Genau deshalb darf man beim Dividieren zum Kehrwert wechseln – der Nenner wird dadurch weggeräumt.
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Die Regel lautet: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Der erste Bruch bleibt dabei unverändert stehen, nur der zweite wird umgedreht, und aus dem Geteiltzeichen wird ein Malzeichen.
Genau hier passiert der typische Fehler: Der zweite Bruch wird nicht umgedreht, sondern der erste – oder es werden gleich beide umgedreht. Beides liefert ein falsches Ergebnis. Präge dir ein: Der hintere Bruch wird gekippt. Bei ganzen Zahlen hilft der Nenner 1, aus 4 wird also 4/1 und daraus der Kehrwert 1/4.
- a
- Zähler des ersten Bruchs
- b
- Nenner des ersten Bruchs
- c
- Zähler des zweiten Bruchs
- d
- Nenner des zweiten Bruchs
Beispiel: 3/4 durch 2/5
Berechne 3/4 : 2/5 und gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an.
Gegeben:
- 34
- 25
Gesucht:
QuotientLösung:
- Kehrwert des zweiten Bruchs bilden: aus 25 wird 5/2
- 34253452
- 3 · 515 und 4 · 28
Das Ergebnis ist 15/8, als gemischte Zahl 1 7/8. Der Wert ist größer als 3/4, weil durch eine Zahl kleiner als 1 geteilt wurde.
Jetzt bist du dran!
Wie rechnest du 5/6 : 3/4 richtig um?
Noch nicht. Nur der zweite Bruch wird umgedreht: aus 3/4 wird 4/3. Der erste Bruch bleibt unverändert stehen.
Das Wichtigste in Kürze
- Durch einen Bruch teilen heißt: mit seinem Kehrwert multiplizieren.
- Kehrwert bilden: Zähler und Nenner vertauschen.
- Nur der hintere Bruch wird umgedreht, nie der vordere.
- Ganze Zahlen bekommen für den Kehrwert zuerst den Nenner 1.
- Teilst du durch eine Zahl kleiner als 1, wird das Ergebnis größer.
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Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Dezimalzahlen verstehen und umrechnen
- Prozentrechnungin Arbeit