Brüche dividieren

Dividieren beantwortet die Frage: Wie oft passt der zweite Wert in den ersten? Bei 6 : 2 fragst du, wie oft die 2 in die 6 passt – dreimal. Genauso funktioniert es mit Brüchen: 2 : 1/4 fragt, wie oft ein Viertel in zwei Ganze passt. In jedes Ganze passen vier Viertel, in zwei Ganze also acht. Deshalb ist 2 : 1/4 = 8.

Das Ergebnis ist größer als die Ausgangszahl, und genau das irritiert am Anfang. Es ist aber logisch: Je kleiner die Portion, desto mehr Portionen passen hinein. Immer wenn du durch eine Zahl zwischen 0 und 1 teilst, wird das Ergebnis größer. Teilst du dagegen durch eine Zahl größer als 1, wird es kleiner. Mit dieser Überlegung kannst du jedes Ergebnis grob auf Plausibilität prüfen.

Im Alltag steckt diese Rechnung überall, wo etwas in Portionen aufgeteilt wird. Du hast 3 l Saft und füllst ihn in Gläser mit je 1/4 l – wie viele Gläser werden voll? Die Rechnung 3 : 1/4 = 12 liefert die Antwort. Oder ein 6 m langes Brett wird in Stücke von 3/4 m gesägt: 6 : 3/4 = 8 Stücke. Solche Aufgaben erkennst du an Fragen wie „Wie oft passt …?“ oder „Wie viele Portionen …?“.

Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, indem du Zähler und Nenner vertauschst: Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3, der Kehrwert von 5 ist 1/5. Multipliziert man einen Bruch mit seinem Kehrwert, kommt immer 1 heraus. Genau deshalb darf man beim Dividieren zum Kehrwert wechseln – durch eine Zahl zu teilen ist dasselbe, wie mit der Zahl malzunehmen, die sie zu 1 ergänzt. Nur die Null hat keinen Kehrwert, durch null kann man nicht teilen.

Der häufigste Fehler ist, den falschen Bruch umzudrehen. Bei 3/4 : 2/5 wird manchmal aus Versehen 3/4 zu 4/3 gemacht statt 2/5 zu 5/2. Merke dir: Immer der Bruch hinter dem Geteiltzeichen wird zum Kehrwert, der davor bleibt unangetastet stehen.

Ein zweiter Fehler ist, gemischte Zahlen direkt zu dividieren, ohne sie vorher umzuwandeln. 2 1/4 : 3/8 lässt sich nicht rechnen, indem nur die 1/4 umgedreht wird – die gesamte gemischte Zahl muss zuerst als unechter Bruch geschrieben werden, hier 9/4.

Ein dritter Fehler ist, das Ergebnis nicht auf Plausibilität zu prüfen. Wird durch einen echten Bruch geteilt, also durch eine Zahl kleiner als 1, muss das Ergebnis größer sein als der erste Bruch. Kommt ein kleineres Ergebnis heraus, ist irgendwo ein Fehler passiert.

Schreibe dir bei jeder Aufgabe erst die Umformung auf, bevor du rechnest: Geteiltzeichen durchstreichen, Malzeichen daneben schreiben, zweiten Bruch umdrehen. Erst wenn die Aufgabe so vollständig umgeschrieben ist, beginnst du mit dem Kürzen und Multiplizieren.

Im Alltag begegnet dir das Dividieren von Brüchen beim Aufteilen von Mengen: Ein Kuchen mit 3/4 kg Teig wird in Portionen von 1/8 kg geteilt – wie viele Stücke werden es? Die Rechnung 3/4 : 1/8 = 6 beantwortet das sofort, ohne dass du einzeln abwiegen musst.

Für die Klassenarbeit hilft die Kontrollrechnung: Multipliziere dein Ergebnis mit dem zweiten Bruch aus der Aufgabe. Kommt wieder der erste Bruch heraus, war die Rechnung richtig. Diese Probe dauert nur wenige Sekunden und deckt die meisten Fehler auf.