Brüche multiplizieren
In dieser Lektion lernst du, warum beim Multiplizieren von Brüchen Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner gerechnet wird. Außerdem siehst du, wie du vor dem Ausrechnen kürzt und dir damit große Zahlen ersparst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 13 Min
- Niveau: Mittel
Ein Anteil von einem Anteil
Beim Multiplizieren zweier Brüche nimmst du einen Anteil von einem Anteil. Das Wörtchen „von“ ist der Schlüssel: 1/2 · 1/3 bedeutet die Hälfte von einem Drittel. Stell dir einen Kuchen vor, der in drei Teile geschnitten ist. Nimmst du ein Drittel und halbierst es, liegt ein Sechstel des ganzen Kuchens vor dir. Deshalb ist 1/2 · 1/3 = 1/6.
Geometrisch wird es noch deutlicher: Zeichne ein Rechteck, teile es waagerecht in drei Streifen und senkrecht in zwei Spalten. Es entstehen sechs gleich große Kästchen, weil 2 · 3 = 6 ist. Die Nenner werden also multipliziert, weil die Einteilung feiner wird. Und die Zähler werden multipliziert, weil mehrere Streifen und mehrere Spalten entsprechend viele Kästchen gemeinsam treffen.
Überrascht dich, dass das Ergebnis kleiner ist als beide Faktoren? Bei ganzen Zahlen macht Malnehmen fast immer größer, bei echten Brüchen dagegen kleiner. Das ist logisch: Nimmst du nur einen Teil von etwas, bleibt weniger übrig. Die Hälfte von drei Vierteln einer Pizza sind drei Achtel – weniger als die drei Viertel, mit denen du angefangen hast. Diesen Gedanken kannst du als schnelle Kontrolle für jedes Ergebnis nutzen.
Die Regel für das Multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner – fertig. Eine ganze Zahl schreibst du dafür als Bruch mit dem Nenner 1, zum Beispiel 4 als 4/1. Gemischte Zahlen wie 1 1/2 wandelst du vorher in einen unechten Bruch um, hier also in 3/2. Wer das vergisst und nur die Ganzen und die Brüche getrennt multipliziert, erhält ein falsches Ergebnis.
Vor dem Ausrechnen lohnt sich das Kürzen über Kreuz: Ein Zähler und ein Nenner dürfen durch denselben gemeinsamen Teiler geteilt werden, egal aus welchem der beiden Brüche sie stammen. Bei 3/8 · 4/9 kürzt du 3 gegen 9 und 4 gegen 8 und rechnest nur noch 1/2 · 1/3 = 1/6. Das funktioniert, weil am Ende ohnehin alle Zähler und alle Nenner in einem einzigen Bruch landen.
Wichtig: Kürzen darfst du immer nur einen Zähler gegen einen Nenner, nie zwei Zähler oder zwei Nenner gegeneinander. Das Kürzen über Kreuz gibt es außerdem nur beim Multiplizieren und Dividieren, beim Addieren ist es verboten.
- a
- Zähler des ersten Bruchs
- b
- Nenner des ersten Bruchs
- c
- Zähler des zweiten Bruchs
- d
- Nenner des zweiten Bruchs
| Aufgabe | Ohne Kürzen | Mit Kürzen über Kreuz |
|---|---|---|
| 3/8 · 4/9 | 12/72 = 1/6 | 1/2 · 1/3 = 1/6 |
| 5/6 · 3/10 | 15/60 = 1/4 | 1/2 · 1/2 = 1/4 |
| 2/3 · 3/4 | 6/12 = 1/2 | 2/4 · 1/1 = 1/2 |
Beispiel 1: Kürzen über Kreuz
Berechne 3/8 · 4/9 und kürze schon vor dem Multiplizieren.
Gegeben:
- 38
- 49
Gesucht:
Produkt in vollständig gekürzter FormLösung:
- Paare suchen: Zähler 3 mit Nenner 9, Zähler 4 mit Nenner 8
- 3 und 9 durch 3 teilen: 1 und 3
- 4 und 8 durch 4 teilen: 1 und 2
- neue Aufgabe: 1213
- 12131 · 12 · 3
- 1 · 11 und 2 · 36, also 16
Das Ergebnis ist 1/6. Ohne Kürzen hättest du 12/72 erhalten – derselbe Wert, aber mit deutlich mehr Rechenarbeit beim Kürzen am Ende, denn dafür müsstest du den ggT 12 erkennen. Plausibel ist das Ergebnis auch: Etwa vier Neuntel von drei Achteln müssen weniger als drei Achtel sein.
Beispiel 2: Anteil einer Menge berechnen
Ein Klassenausflug kostet 24 Euro pro Kind. 3/4 der Klasse zahlen den vollen Preis. Wie viel Geld kommt von diesem Anteil zusammen, wenn 32 Kinder in der Klasse sind?
Gegeben:
- 34 der Klasse
- 32 Kinder insgesamt
- 24 € pro Kind
Gesucht:
Gesamtbetrag der zahlenden KinderLösung:
- Anzahl der zahlenden Kinder: 3/4 von 32 = 3/4 · 32/1
- kürzen: 32 und 4 durch 4 teilen, ergibt 3 · 8/1 = 24
- 24 Kinder zahlen den vollen Preis
- Gesamtbetrag: 24 Kinder · 24 €576 €
Es kommen 576 Euro zusammen. Der erste Rechenschritt ist eine ganz normale Bruchmultiplikation: „3/4 von 32“ bedeutet 3/4 · 32, und erst das Ergebnis davon wird mit dem Preis pro Kind multipliziert.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Brüche vor dem Multiplizieren unnötig gleichnamig zu machen. Das kostet nur Zeit, denn Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner funktioniert auch bei völlig unterschiedlichen Nennern direkt. Gleichnamig machen brauchst du ausschließlich für Plus und Minus.
Ein zweiter Fehler ist, nur die Zähler zu multiplizieren und den Nenner eines der Brüche stehen zu lassen. Aus 2/5 · 3/5 wird dann fälschlich 6/5 statt 6/25. Beide Nenner müssen genauso multipliziert werden wie beide Zähler.
Ein dritter Fehler passiert beim Kürzen über Kreuz: Manche kürzen zwei Zähler gegeneinander oder zwei Nenner gegeneinander. Erlaubt ist das Kürzen aber immer nur zwischen einem Zähler und einem Nenner, egal aus welchem der beiden Brüche sie stammen.
Tipps für die Klassenarbeit
Lies bei Textaufgaben genau, ob das Wort „von“ vorkommt – das ist fast immer ein Signal für eine Multiplikation. „Drei Viertel von 20 Litern“ heißt 3/4 · 20, nicht 3/4 + 20 oder 3/4 : 20.
Im Alltag rechnest du mit Bruchmultiplikation öfter, als dir bewusst ist: Rabatte wie „ein Drittel reduziert“ auf einen Preis, Zutatenmengen für die Hälfte oder das Doppelte eines Rezepts, oder der Anteil einer Klasse, der an einer Umfrage teilnimmt. Überall dort wird ein Bruch mit einer Menge malgenommen.
Für die Klassenarbeit lohnt sich der Blick vor dem Rechnen: Lassen sich Zähler und Nenner über Kreuz kürzen? Das erkennst du, wenn eine Zahl im Zähler des einen Bruchs einen Teiler mit dem Nenner des anderen Bruchs teilt. Kürzt du frühzeitig, bleiben die Zahlen klein und Rechenfehler werden seltener.
Jetzt bist du dran!
Was musst du tun, um 2/5 · 3/7 zu berechnen?
Noch nicht. Beim Multiplizieren brauchst du keinen gemeinsamen Nenner: 2 · 3 = 6 und 5 · 7 = 35, also 6/35. Den zweiten Bruch umzudrehen gehört zum Dividieren, nicht zum Multiplizieren.
Das Wichtigste in Kürze
- Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
- Ein gemeinsamer Nenner ist dafür nicht nötig.
- Ganze Zahlen schreibst du als Bruch mit dem Nenner 1.
- Kürzen über Kreuz vor dem Rechnen hält die Zahlen klein.
- Das Wörtchen „von“ in Textaufgaben heißt multiplizieren.
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Häufige Fragen zu Brüche multiplizieren
- Wie multipliziert man Brüche?
- Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Der neue Zähler steht oben, der neue Nenner unten. Beispiel: 2/3 · 4/5 = 8/15. Einen gemeinsamen Nenner brauchst du dafür nicht. Am einfachsten wird es, wenn du vor dem Ausrechnen über Kreuz kürzt, dann bleiben die Zahlen klein und das Ergebnis ist meistens schon vollständig gekürzt.
- Wie multipliziere ich einen Bruch mit einer ganzen Zahl?
- Schreibe die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 und rechne dann wie gewohnt. Aus 5 · 2/3 wird 5/1 · 2/3 = 10/3. Praktisch heißt das: Nur der Zähler wird mit der ganzen Zahl multipliziert, der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis kannst du bei Bedarf in eine gemischte Zahl umwandeln, hier 3 1/3.
- Warum wird das Ergebnis beim Multiplizieren von Brüchen kleiner?
- Weil du einen Teil von einem Teil nimmst. Ein echter Bruch ist kleiner als 1, und wer eine Zahl mit etwas Kleinerem als 1 multipliziert, bekommt weniger heraus. Die Hälfte von einem Viertel ist ein Achtel. Nur wenn einer der Faktoren größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2, kann das Ergebnis größer werden als der andere Faktor.
- Was bedeutet Kürzen über Kreuz?
- Beim Kürzen über Kreuz teilst du einen Zähler des einen Bruchs und einen Nenner des anderen Bruchs durch denselben Teiler, bevor du multiplizierst. Bei 5/6 · 3/10 kürzt du 5 gegen 10 und 3 gegen 6 und rechnest dann 1/2 · 1/2 = 1/4. Das ist erlaubt, weil alle Faktoren am Ende in einem Bruch stehen. Beim Addieren geht das nicht.
- Wie multipliziert man gemischte Zahlen?
- Wandle jede gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um, bevor du multiplizierst. Aus 1 1/2 wird 3/2, aus 2 1/3 wird 7/3. Erst danach rechnest du wie gewohnt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: 1 1/2 · 2 1/3 = 3/2 · 7/3 = 21/6 = 3 1/2. Multiplizierst du die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt, kommt ein falsches Ergebnis heraus.
- Was bedeutet das Wort „von“ bei Brüchen?
- In Textaufgaben steht „von“ fast immer für eine Multiplikation. „Ein Viertel von 12“ bedeutet 1/4 · 12 = 3, nicht 1/4 + 12. Dieses Signalwort hilft dir dabei, aus einem Sachtext die richtige Rechenoperation herauszulesen, besonders wenn ein Anteil einer bestimmten Menge oder Anzahl gesucht ist.
- In welcher Klasse lernt man Brüche multiplizieren?
- Die Multiplikation von Brüchen steht in Deutschland meist in Klasse 6 auf dem Lehrplan, direkt nach dem Erweitern, Kürzen und Addieren von Brüchen. Sie gilt als der einfachere Teil der Bruchrechnung, weil kein gemeinsamer Nenner nötig ist. Danach folgt üblicherweise die Division von Brüchen mit dem Kehrwert.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.