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Lineare Funktionen

In dieser Lektion lernst du, was die beiden Zahlen in y = m · x + b bedeuten, wie du eine Gerade daraus zeichnest und wie du die Steigung aus zwei Punkten berechnest.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 8
  • Thema: Funktionen
  • Dauer: 15 Min
  • Niveau: Mittel
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Was eine lineare Funktion beschreibt

Eine lineare Funktion beschreibt einen gleichmäßigen Zusammenhang: Wenn sich die eine Größe um einen festen Betrag ändert, ändert sich die andere ebenfalls um einen festen Betrag. Im Koordinatensystem ergibt das immer eine Gerade.

Ein Handytarif mit 5 € Grundgebühr und 0,10 € pro Minute ist genau so ein Zusammenhang. Die Grundgebühr fällt an, auch wenn du null Minuten telefonierst – sie ist der Startwert. Die 10 Cent pro Minute bestimmen, wie steil die Kosten ansteigen.

Diese beiden Zahlen genügen bereits, um die ganze Gerade festzulegen: der Startwert und die Frage, wie stark sich der Wert pro Schritt ändert. Deshalb kannst du jede lineare Funktion zeichnen, sobald du sie kennst – ein Punkt auf der senkrechten Achse, von dort aus ein Steigungsdreieck, fertig.

Wichtig ist dabei, dass die Änderung wirklich gleichmäßig ist. Kostet die erste Minute 10 Cent und jede weitere 20, ist der Zusammenhang nicht mehr linear – die Kurve würde knicken. Das ist der häufigste Grund, warum eine Sachaufgabe doch keine lineare Funktion beschreibt.

b = 1+2+1
Die Gerade y = 0,5x + 1 schneidet die y-Achse bei 1. Das Steigungsdreieck zeigt: zwei nach rechts, eins nach oben.
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Die Funktionsgleichung

Jede lineare Funktion lässt sich in dieser Form schreiben. Die beiden Zahlen m und b legen die Gerade eindeutig fest.

Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie. Bei m = 0 verläuft sie waagerecht.

ym · x + b
m
Steigung – wie steil die Gerade verläuft
b
y-Achsenabschnitt – wo die Gerade startet
x
beliebiger Wert auf der x-Achse
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Steigung aus zwei Punkten berechnen

Eine Gerade geht durch die Punkte P(1|3) und Q(5|11). Wie groß ist ihre Steigung?

Gegeben:

  • P(1|3)
  • Q(5|11)

Gesucht:

m

Lösung:

  1. m11 - 35 - 1
  2. m84
  3. m2

Die Steigung beträgt 2. Pro Schritt nach rechts geht die Gerade also zwei Einheiten nach oben.

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Jetzt bist du dran!

Aufgabe 1 von 3

Wo schneidet die Gerade y = 3x − 4 die y-Achse?

Wo schneidet die Gerade y = 3x − 4 die y-Achse?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Jede lineare Funktion hat die Form y = m · x + b.
  • m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
  • Die Steigung berechnest du mit m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
  • Positives m: die Gerade steigt. Negatives m: sie fällt.
  • Zum Zeichnen genügen der Punkt (0|b) und ein Steigungsdreieck.

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