Lineare Funktionen
In dieser Lektion lernst du, was die beiden Zahlen in y = m · x + b bedeuten, wie du eine Gerade daraus zeichnest und wie du die Steigung aus zwei Punkten berechnest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Funktionen
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Was eine lineare Funktion beschreibt
Eine lineare Funktion beschreibt einen gleichmäßigen Zusammenhang: Wenn sich die eine Größe um einen festen Betrag ändert, ändert sich die andere ebenfalls um einen festen Betrag. Jedem x-Wert wird dabei genau ein y-Wert zugeordnet. Im Koordinatensystem ergibt das immer eine Gerade. Deshalb reicht es, zwei Punkte zu kennen: Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade, und damit liegt auch die ganze Funktion fest.
Ein Handytarif mit 5 € Grundgebühr und 0,10 € pro Minute ist genau so ein Zusammenhang. Die Grundgebühr fällt an, auch wenn du null Minuten telefonierst – sie ist der Startwert. Die 10 Cent pro Minute bestimmen, wie steil die Kosten ansteigen. Als Funktion geschrieben heißt das y = 0,1x + 5, wobei x die Minuten und y die Kosten in Euro sind. Nach 100 Minuten zahlst du 0,1 · 100 + 5 = 15 €.
Diese beiden Zahlen genügen, um die Gerade zu zeichnen. Markiere zuerst den Startwert auf der y-Achse. Von dort gehst du mit einem Steigungsdreieck weiter: eine Einheit nach rechts und so viele Einheiten nach oben, wie die Steigung angibt. Bei einer negativen Steigung gehst du nach unten. Ist die Steigung ein Bruch wie 0,5, gehst du bequemer zwei nach rechts und eins nach oben. Durch die beiden Punkte legst du dann das Lineal.
Wichtig ist dabei, dass die Änderung wirklich gleichmäßig ist. Kostet die erste Minute 10 Cent und jede weitere 20, ist der Zusammenhang nicht mehr linear – die Kurve würde knicken. Der typische Rechenfehler liegt woanders: Beim Ablesen werden m und b vertauscht. In y = 3x − 4 ist 3 die Steigung und −4 der Startwert, auch wenn die −4 hinten steht. Die Steigung ist immer die Zahl direkt vor dem x.
Die Funktionsgleichung
Jede lineare Funktion lässt sich in dieser Form schreiben. Die beiden Zahlen m und b legen die Gerade eindeutig fest. b liest du direkt ab, weil für x = 0 nur y = b übrig bleibt. Deshalb schneidet jede Gerade die y-Achse im Punkt (0|b).
Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie. Bei m = 0 verläuft sie waagerecht. Je größer der Betrag von m, desto steiler ist die Gerade: y = 3x steigt stärker als y = 0,5x.
Kennst du zwei Punkte, berechnest du die Steigung als Quotient aus Höhenunterschied und Breitenunterschied: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Das ist genau das Steigungsdreieck, nur ausgerechnet statt gezeichnet.
- m
- Steigung – wie steil die Gerade verläuft
- b
- y-Achsenabschnitt – wo die Gerade startet
- x
- beliebiger Wert auf der x-Achse
| Wert | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| m > 0 | Gerade steigt | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Gerade fällt | y = −0,5x + 3 |
| m = 0 | Gerade waagerecht | y = 5 |
| b = 0 | Gerade durch den Ursprung | y = 4x |
Beispiel 1: Steigung aus zwei Punkten berechnen
Eine Gerade geht durch die Punkte P(1|3) und Q(5|11). Wie groß ist ihre Steigung?
Gegeben:
- P(1|3)
- Q(5|11)
Gesucht:
mLösung:
- Höhenunterschied: y₂ − y₁11 − 38
- Breitenunterschied: x₂ − x₁5 − 14
- m84
- m2
- Zusatz: b aus P bestimmen, 3 = 2 · 1 + b, also b = 1
- Kontrolle mit Q: 2 · 5 + 111 stimmt
Die Steigung beträgt 2. Pro Schritt nach rechts geht die Gerade also zwei Einheiten nach oben. Mit b = 1 lautet die vollständige Gleichung y = 2x + 1, und beide Punkte erfüllen sie. Wichtig ist, oben und unten dieselbe Reihenfolge der Punkte zu verwenden.
Beispiel 2: Handytarif als lineare Funktion
Ein Handytarif kostet 5 € Grundgebühr im Monat plus 0,10 € pro Telefonminute. Wie hoch sind die Kosten nach 100 Minuten, und wie viele Minuten sind bei 18 € Kosten enthalten?
Gegeben:
- Grundgebühr b5 €
- Preis pro Minute m0,1 €
- x100 Minuten bzw. y18 €
Gesucht:
y bei x100, x bei y18Lösung:
- Funktionsgleichung aufstellen: y0,1x + 5
- x100 einsetzen: y0,1 · 100 + 515
- Für die zweite Frage nach x umstellen: 18 = 0,1x + 5
- 18 − 513, also 0,1x13
- x130,1130
Nach 100 Minuten kosten die Anrufe 15 €. Umgekehrt sind bei 18 € bereits 130 Minuten telefoniert worden. Die Grundgebühr von 5 € fällt dabei immer an, auch bei null Minuten – sie ist der y-Achsenabschnitt des Tarifs.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist das Vertauschen von m und b, wie oben schon erwähnt. Ein zweiter Klassiker ist die falsche Reihenfolge beim Berechnen der Steigung: Im Zähler steht immer der Höhenunterschied der y-Werte, im Nenner der Breitenunterschied der x-Werte – wer die Werte mischt, erhält den Kehrwert der richtigen Steigung.
Ebenso häufig ist ein Vorzeichenfehler, wenn einer der Punkte negative Koordinaten hat. Bei P(−2|4) und Q(3|−1) muss sorgfältig subtrahiert werden: y₂ − y₁ = −1 − 4 = −5, nicht −1 + 4. Am besten schreibst du dir die Klammern mit, etwa (−1) − 4, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Ein dritter Fehler betrifft das Zeichnen: Wird das Steigungsdreieck an der falschen Stelle angelegt, etwa ausgehend von einem beliebigen Punkt statt vom y-Achsenabschnitt, verschiebt sich die ganze Gerade parallel. Beginne deshalb immer beim Punkt (0|b) auf der y-Achse.
Tipps für die Klassenarbeit
Kontrolliere jedes Ergebnis, indem du die berechnete Gleichung in beide gegebenen Punkte einsetzt. Stimmen beide Rechnungen, hast du sicher richtig gerechnet. Diese Probe dauert nur wenige Sekunden, verhindert aber, dass ein Vorzeichenfehler unbemerkt bleibt.
Zeichne dir bei Textaufgaben immer zuerst eine kleine Skizze mit den beiden bekannten Punkten oder Werten. So siehst du sofort, ob die Gerade steigen oder fallen muss, und kannst ein unplausibles Rechenergebnis erkennen, bevor du es aufschreibst.
Jetzt bist du dran!
Wo schneidet die Gerade y = 3x − 4 die y-Achse?
Noch nicht. Der y-Achsenabschnitt ist immer die Zahl ohne x, hier also −4. Man erhält ihn auch, indem man x = 0 einsetzt: 3 · 0 − 4 = −4. Die 3 ist die Steigung und sagt nur, wie steil die Gerade verläuft.
Das Wichtigste in Kürze
- Jede lineare Funktion hat die Form y = m · x + b.
- m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
- Die Steigung berechnest du mit m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- Positives m: die Gerade steigt. Negatives m: sie fällt.
- Zum Zeichnen genügen der Punkt (0|b) und ein Steigungsdreieck.
- Typischer Fehler: m und b vertauschen oder Zähler und Nenner der Steigungsformel in unterschiedlicher Reihenfolge bilden.
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Häufige Fragen zu Lineare Funktionen
- Was bedeuten m und b in y = mx + b?
- m ist die Steigung. Sie gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 größer wird. b ist der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert an der Stelle x = 0. Dort schneidet die Gerade die y-Achse. Im Sachzusammenhang ist b oft ein fester Grundbetrag und m der Betrag, der pro Einheit dazukommt, etwa pro Minute oder pro Kilometer.
- Wie zeichne ich eine lineare Funktion?
- Trage zuerst den Punkt (0|b) auf der y-Achse ein. Von dort zeichnest du ein Steigungsdreieck: eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben, bei negativem m nach unten. Den neuen Punkt verbindest du mit dem ersten und verlängerst die Linie in beide Richtungen. Bei Brüchen wie m = 2/3 gehst du drei nach rechts und zwei nach oben.
- Wie stelle ich die Funktionsgleichung aus zwei Punkten auf?
- Berechne zuerst die Steigung mit m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setze dann m und die Koordinaten eines der beiden Punkte in y = mx + b ein und löse nach b auf. Bei den Punkten (2|5) und (4|9) ist m = 2, und aus 5 = 2 · 2 + b folgt b = 1. Die Gleichung lautet y = 2x + 1.
- Wie berechne ich die Nullstelle einer linearen Funktion?
- Die Nullstelle ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet. Dort gilt y = 0. Du setzt also 0 = mx + b und löst nach x auf: x = −b/m. Bei y = 2x − 6 ergibt sich 0 = 2x − 6, also x = 3. Eine waagerechte Gerade mit m = 0 hat keine Nullstelle, außer sie liegt direkt auf der x-Achse.
- In welcher Klasse lernt man lineare Funktionen?
- Lineare Funktionen stehen in den meisten Bundesländern in Klasse 8 auf dem Lehrplan, manchmal beginnen sie schon am Ende von Klasse 7 mit proportionalen Zuordnungen. Sie sind die Grundlage für Gleichungssysteme, quadratische Funktionen und später die Differentialrechnung, bei der die Steigung von Kurven berechnet wird.
- Was ist der Unterschied zwischen einer linearen und einer proportionalen Funktion?
- Eine proportionale Funktion ist eine lineare Funktion mit b = 0, ihre Gerade verläuft also immer durch den Ursprung. Bei einer allgemeinen linearen Funktion darf b jeden beliebigen Wert annehmen, die Gerade startet dann irgendwo auf der y-Achse. Verdoppelst du bei einer proportionalen Funktion x, verdoppelt sich auch y – bei einer linearen Funktion mit b ≠ 0 gilt das nicht mehr.
- Wie erkenne ich, ob zwei Geraden parallel sind?
- Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie dieselbe Steigung m haben, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt b. Die Geraden y = 2x + 1 und y = 2x − 3 sind parallel, weil beide die Steigung 2 haben. Wäre auch b gleich, handelte es sich nicht um zwei parallele Geraden, sondern um dieselbe Gerade.
- Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?
- Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich, weil an der Schnittstelle beide Geraden denselben y-Wert haben. Aus m₁x + b₁ = m₂x + b₂ löst du nach x auf und setzt das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen ein, um y zu erhalten. Dieses Verfahren heißt Gleichsetzungsverfahren und ist der Einstieg in lineare Gleichungssysteme.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.