Quadratische Funktionen und Parabeln
In dieser Lektion lernst du, warum der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist und was die Zahlen in der Scheitelpunktform bedeuten. Du übst, Öffnung und Scheitelpunkt direkt abzulesen. Außerdem erfährst du, wie du Nullstellen findest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Funktionen
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Vom geraden Anstieg zur Kurve
Bei einer linearen Funktion wächst y immer im gleichen Tempo. Bei einer quadratischen Funktion kommt x² vor, und damit wächst y immer schneller, je weiter du von einer bestimmten Stelle weggehst. Der Graph ist deshalb keine Gerade, sondern eine Parabel: eine symmetrische Kurve mit einem tiefsten oder höchsten Punkt.
Dieser besondere Punkt heißt Scheitelpunkt. Links und rechts davon verläuft die Parabel spiegelbildlich, die Spiegelachse geht senkrecht durch den Scheitelpunkt. Ist der Faktor vor x² positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Ist er negativ, öffnet sie sich nach unten und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.
Parabeln beschreiben überraschend viele Vorgänge: die Flugbahn eines geworfenen Balls, die Form einer Satellitenschüssel, den Zusammenhang zwischen Preis und Gewinn. Immer wenn es ein Optimum gibt – einen höchsten Gewinn, eine größte Höhe, eine kleinste Fläche –, steckt oft eine quadratische Funktion dahinter, und das Optimum liegt im Scheitelpunkt.
Die Scheitelpunktform
In dieser Form kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen: Er liegt bei (d | e). Achte auf das Minuszeichen in der Klammer – bei y = (x − 3)² + 1 liegt der Scheitelpunkt bei (3 | 1), nicht bei (−3 | 1). Das ist der häufigste Fehler an dieser Stelle.
Der Faktor a entscheidet über Öffnung und Form: Bei a größer als 1 ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, bei a zwischen 0 und 1 breiter, und bei negativem a ist sie nach unten geöffnet.
- a
- Öffnungsfaktor – Richtung und Breite der Parabel
- d
- x-Wert des Scheitelpunkts – Verschiebung nach rechts
- e
- y-Wert des Scheitelpunkts – Verschiebung nach oben
Scheitelpunkt und Nullstellen bestimmen
Gegeben ist die Funktion y = (x − 2)² − 9. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen.
Gegeben:
- y(x − 2)² − 9
Gesucht:
Scheitelpunkt und NullstellenLösung:
- Ablesen: d2 und e−9, also Scheitelpunkt S(2 | −9)
- Nullstellen: (x − 2)² − 90, also (x − 2)²9
- Die Klammer ist 3 oder −3: x − 23 oder x − 2−3
- x₁5 und x₂−1
Der Scheitelpunkt liegt bei (2 | −9), die Nullstellen bei x = 5 und x = −1. Beide liegen symmetrisch im Abstand 3 um die Achse x = 2.
Jetzt bist du dran
Wo liegt der Scheitelpunkt von y = 2 · (x + 4)² − 3?
Noch nicht. In der Klammer steht x + 4, das entspricht x − (−4). Der Scheitelpunkt liegt deshalb bei (−4 | −3): Das Vorzeichen in der Klammer dreht sich um, das der Zahl dahinter nicht.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt.
- In der Scheitelpunktform y = a · (x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt bei (d | e).
- Positives a: nach oben geöffnet. Negatives a: nach unten geöffnet.
- Betrag von a größer als 1 macht die Parabel schmaler, kleiner als 1 breiter.
- Typischer Fehler: das Vorzeichen in der Klammer nicht umdrehen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.