Quadratische Funktionen und Parabeln
In dieser Lektion lernst du, warum der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist und was die Zahlen in der Scheitelpunktform bedeuten. Du übst, Öffnung und Scheitelpunkt direkt abzulesen. Außerdem erfährst du, wie du Nullstellen findest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Funktionen
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Vom geraden Anstieg zur Kurve
Bei einer linearen Funktion wächst y immer im gleichen Tempo. Bei einer quadratischen Funktion kommt x² vor, und damit wächst y immer schneller, je weiter du von einer bestimmten Stelle weggehst. Der Graph ist deshalb keine Gerade, sondern eine Parabel: eine symmetrische Kurve mit einem tiefsten oder höchsten Punkt. Die einfachste Parabel ist die Normalparabel y = x², die durch (0 | 0), (1 | 1) und (2 | 4) verläuft.
Dieser besondere Punkt heißt Scheitelpunkt. Links und rechts davon verläuft die Parabel spiegelbildlich, die Spiegelachse geht senkrecht durch den Scheitelpunkt. Ist der Faktor vor x² positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Ist er negativ, öffnet sie sich nach unten und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.
Parabeln beschreiben überraschend viele Vorgänge: die Flugbahn eines geworfenen Balls, die Form einer Satellitenschüssel, den Zusammenhang zwischen Preis und Gewinn. Immer wenn es ein Optimum gibt – einen höchsten Gewinn, eine größte Höhe, eine kleinste Fläche –, steckt oft eine quadratische Funktion dahinter, und das Optimum liegt im Scheitelpunkt. Wer den Scheitelpunkt bestimmen kann, beantwortet also Fragen wie „Wie hoch fliegt der Ball?“.
Die Scheitelpunktform
In dieser Form kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen: Er liegt bei (d | e). Achte auf das Minuszeichen in der Klammer – bei y = (x − 3)² + 1 liegt der Scheitelpunkt bei (3 | 1), nicht bei (−3 | 1). Das ist der häufigste Fehler an dieser Stelle. Überleg dir, warum: Die Klammer wird genau dann null, wenn x = 3 ist, und dort liegt der tiefste Punkt.
Der Faktor a entscheidet über Öffnung und Form: Bei a größer als 1 ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, bei a zwischen 0 und 1 breiter, und bei negativem a ist sie nach unten geöffnet.
Du kannst dir die Scheitelpunktform auch als Verschiebung vorstellen. Die Normalparabel wird um d nach rechts und um e nach oben verschoben. Ist e negativ, geht es nach unten, und steht in der Klammer ein Plus, wandert die Parabel nach links.
- a
- Öffnungsfaktor – Richtung und Breite der Parabel
- d
- x-Wert des Scheitelpunkts – Verschiebung nach rechts
- e
- y-Wert des Scheitelpunkts – Verschiebung nach oben
| Funktion | Öffnung | Breite im Vergleich zu y = x² |
|---|---|---|
| y = 3 · x² | nach oben | schmaler |
| y = 0,5 · x² | nach oben | breiter |
| y = -3 · x² | nach unten | schmaler |
Beispiel 1: Scheitelpunkt und Nullstellen bestimmen
Gegeben ist die Funktion y = (x − 2)² − 9. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen.
Gegeben:
- y(x − 2)² − 9
Gesucht:
Scheitelpunkt und NullstellenLösung:
- Mit der Scheitelpunktform vergleichen: a = 1, d = 2 und e = −9, also Scheitelpunkt S(2 | −9)
- Da a = 1 positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben. S ist der tiefste Punkt und liegt unter der x-Achse, also gibt es zwei Nullstellen.
- Nullstellen: y0 setzen, also (x − 2)² − 90
- 9 auf beide Seiten addieren: (x − 2)² = 9
- Die Klammer ist 3 oder −3, denn beide ergeben quadriert 9: x − 2 = 3 oder x − 2 = −3
- x₁5 und x₂−1
- Probe mit x5: (5 − 2)² − 99 − 90
Der Scheitelpunkt liegt bei (2 | −9), die Nullstellen bei x = 5 und x = −1. Beide liegen symmetrisch im Abstand 3 um die Achse x = 2. Diese Symmetrie ist eine gute Kontrolle: Der Mittelwert der beiden Nullstellen ist immer der x-Wert des Scheitelpunkts.
Beispiel 2: Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Wandle y = x² − 6x + 5 in die Scheitelpunktform um und lies den Scheitelpunkt ab.
Gegeben:
- yx² − 6x + 5
Gesucht:
Scheitelpunktform und ScheitelpunktLösung:
- Quadratische Ergänzung: Die Hälfte von −6 ist −3, ihr Quadrat ist 9. Addiere und subtrahiere 9: y = x² − 6x + 9 − 9 + 5.
- Die ersten drei Summanden bilden ein Quadrat: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
- Zusammenfassen: y(x − 3)² − 9 + 5(x − 3)² − 4.
- Scheitelpunkt ablesen: d3, e−4, also S(3 | −4).
Die Scheitelpunktform lautet y = (x − 3)² − 4, der Scheitelpunkt liegt bei (3 | −4). Probe durch Ausmultiplizieren: (x − 3)² − 4 = x² − 6x + 9 − 4 = x² − 6x + 5, das entspricht wieder der ursprünglichen Normalform.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist es, das Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform nicht umzudrehen. Bei y = (x − 3)² + 1 liegt der Scheitelpunkt bei (3 | 1), nicht bei (−3 | 1), denn die Klammer wird genau dann null, wenn x = 3 eingesetzt wird. Bei y = (x + 4)² − 3 ist entsprechend d = −4, weil x + 4 dasselbe ist wie x − (−4).
Ein zweiter Fehler passiert bei der quadratischen Ergänzung: Manche vergessen, die addierte Zahl auch wieder zu subtrahieren, und verändern dadurch versehentlich den Funktionswert der ganzen Funktion. Die Ergänzung muss immer als „plus und wieder minus derselben Zahl“ eingefügt werden, damit am Ende dieselbe Funktion herauskommt, nur anders geschrieben.
Ein dritter Fehler ist bei den Nullstellen, beim Wurzelziehen nur die positive Lösung zu notieren. Aus (x − 2)² = 9 folgt nicht nur x − 2 = 3, sondern auch x − 2 = −3, denn beide Zahlen ergeben quadriert 9. Wer die zweite Lösung vergisst, findet nur eine von zwei Nullstellen.
Tipps für die Klassenarbeit
Kontrolliere jeden abgelesenen Scheitelpunkt sofort, indem du den x-Wert in die Funktion einsetzt: Das Ergebnis muss genau der y-Wert des Scheitelpunkts sein, denn die Klammer wird an dieser Stelle null. Diese Probe dauert nur wenige Sekunden und deckt den häufigsten Fehler, das falsche Vorzeichen, zuverlässig auf.
Skizziere dir bei jeder Aufgabe kurz die grobe Form der Parabel: Öffnung nach oben oder unten anhand des Vorzeichens von a, ungefähre Breite anhand des Betrags von a, und den Scheitelpunkt als markanten Punkt. Schon eine grobe Skizze zeigt dir, ob eine berechnete Nullstelle überhaupt plausibel sein kann.
Im Alltag beschreiben Parabeln viele Vorgänge mit einem Optimum: die Flugbahn eines Balls, den Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Gewinn eines Produkts oder die Form einer Hängebrücke. Wer versteht, dass das Optimum immer im Scheitelpunkt liegt, kann solche Sachaufgaben zielsicher lösen, statt nur stur Formeln anzuwenden.
Jetzt bist du dran
Wo liegt der Scheitelpunkt von y = 2 · (x + 4)² − 3?
Noch nicht. In der Klammer steht x + 4, das entspricht x − (−4). Der Scheitelpunkt liegt deshalb bei (−4 | −3): Das Vorzeichen in der Klammer dreht sich um, das der Zahl dahinter nicht. Der Faktor 2 verändert nur die Breite, nicht die Lage.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit Scheitelpunkt.
- In der Scheitelpunktform y = a · (x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt bei (d | e).
- Positives a: nach oben geöffnet. Negatives a: nach unten geöffnet.
- Betrag von a größer als 1 macht die Parabel schmaler, kleiner als 1 breiter.
- Typischer Fehler: das Vorzeichen in der Klammer nicht umdrehen.
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Häufige Fragen zu Quadratische Funktionen und Parabeln
- Wie lese ich den Scheitelpunkt einer Parabel ab?
- Steht die Funktion in Scheitelpunktform y = a · (x − d)² + e, liegt der Scheitelpunkt bei (d | e). Die Zahl in der Klammer übernimmst du mit umgekehrtem Vorzeichen, die Zahl hinter der Klammer so, wie sie ist. Aus y = (x + 1)² + 5 wird also S(−1 | 5). Bei der allgemeinen Form musst du vorher umformen.
- Was ist der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform?
- Beide beschreiben dieselbe Parabel, nur unterschiedlich notiert. In der Normalform y = x² + p · x + q siehst du sofort den Schnittpunkt mit der y-Achse, nämlich q. In der Scheitelpunktform siehst du dafür direkt den Scheitelpunkt. Durch Ausmultiplizieren kommst du von der Scheitelpunktform zur Normalform, mit der quadratischen Ergänzung in die andere Richtung.
- Wie berechne ich die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
- Du setzt y = 0 und löst die entstehende quadratische Gleichung. In Scheitelpunktform stellst du nach der Klammer um und ziehst die Wurzel, wobei du die positive und die negative Lösung beachtest. In Normalform nutzt du die pq-Formel. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben, je nachdem, wo ihr Scheitelpunkt liegt.
- Woran erkenne ich, ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist?
- Am Vorzeichen des Faktors vor x² beziehungsweise vor der Klammer. Ist er positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. Ist er negativ, ist sie nach unten geöffnet, und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. Steht vor x² gar keine Zahl, ist der Faktor 1, also positiv.
- In welcher Klasse lernt man quadratische Funktionen?
- Quadratische Funktionen stehen in den meisten Bundesländern in Klasse 9 auf dem Lehrplan, manchmal schon in Klasse 8. Sie folgen auf die linearen Funktionen und werden meist zusammen mit quadratischen Gleichungen behandelt. In der Oberstufe sind Parabeln die Grundlage für ganzrationale Funktionen und die Kurvendiskussion, deshalb lohnt es sich, hier sicher zu werden.
- Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?
- Bei der quadratischen Ergänzung halbierst du den Koeffizienten vor x, quadrierst das Ergebnis und addierst diese Zahl, subtrahierst sie aber im selben Schritt sofort wieder, damit sich der Funktionswert nicht ändert. So entsteht aus den ersten drei Summanden ein vollständiges Quadrat, das du als Klammer schreiben kannst. Der Rest ergibt zusammen mit der subtrahierten Zahl den Wert e der Scheitelpunktform.
- Wie viele Nullstellen kann eine Parabel haben?
- Eine Parabel kann zwei, eine oder gar keine Nullstelle haben. Liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse und ist die Parabel nach oben geöffnet, schneidet sie die x-Achse zweimal. Liegt der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse, gibt es nur eine Nullstelle, die zugleich der Scheitelpunkt ist. Liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse bei einer nach oben geöffneten Parabel, gibt es keine reelle Nullstelle.
- Was bedeutet die Symmetrieachse einer Parabel?
- Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt, an der die Parabel spiegelbildlich verläuft. Ihre Gleichung lautet x = d, wobei d der x-Wert des Scheitelpunkts ist. Hat eine Parabel zwei Nullstellen, liegt die Symmetrieachse immer genau in der Mitte zwischen ihnen, das heißt, d ist der Mittelwert der beiden Nullstellen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.