Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall

Bei linearem Wachstum kommt in jedem Zeitschritt derselbe Betrag dazu: 50 € pro Monat, 3 cm pro Jahr. Bei exponentiellem Wachstum wird in jedem Zeitschritt mit demselben Faktor multipliziert. Das wirkt am Anfang harmlos, läuft später aber völlig anders: Wer 1 000 € zu 5 Prozent anlegt, bekommt im ersten Jahr 50 € Zinsen, im zwanzigsten Jahr schon über 120 €, weil die Zinsen mitwachsen.

Erkennen kannst du exponentielles Verhalten daran, wie in der Aufgabe formuliert wird. Steht dort „pro Jahr um 40 Stück mehr“, ist es linear. Steht dort „pro Jahr um 8 Prozent mehr“ oder „verdoppelt sich alle fünf Jahre“, ist es exponentiell. Prozentangaben beziehen sich immer auf den aktuellen Bestand, und der ändert sich ständig. In einer Wertetabelle zeigt sich das so: Teilst du einen Wert durch seinen Vorgänger, kommt immer dieselbe Zahl heraus.

Der Graph einer Exponentialfunktion mit q größer als 1 steigt zunächst flach und dann immer steiler an. Er schneidet die y-Achse beim Anfangswert c, weil q hoch 0 immer 1 ist. Nach links nähert er sich der x-Achse, berührt sie aber nie. Diese typische Form hilft dir, Graphen im Test schnell zuzuordnen: Eine Gerade ist linear, eine immer steiler werdende Kurve deutet auf exponentielles Wachstum hin.

Derselbe Ansatz beschreibt auch Abnahme. Ein Medikament wird im Körper pro Stunde um einen festen Prozentsatz abgebaut, radioaktives Material zerfällt, der Wert eines Autos sinkt jährlich um einen Anteil. Der häufigste Fehler dabei: Bei einer Abnahme um 20 Prozent wird nicht mit 0,2 multipliziert, sondern mit 0,8 – es bleiben ja 80 Prozent übrig. Mit 0,2 würdest du ausrechnen, was verloren geht, nicht was bleibt.

Der klassische Fehler ist die Verwechslung von Zuwachs und Faktor bei einer Abnahme: Bei 20 Prozent Abnahme wird oft fälschlich mit 0,2 statt mit 0,8 gerechnet. Merke dir immer: Der Faktor q gibt an, was übrig bleibt, nicht was verschwindet. Bei einer Zunahme gilt dasselbe Prinzip umgekehrt, dort wird oft vergessen, die 1 zum Prozentsatz zu addieren.

Ein zweiter Fehler ist, bei Halbwertszeit- oder Verdopplungsaufgaben die Zeit direkt als Exponenten einzusetzen, statt sie erst in Zeitschritte umzurechnen. Bei einer Halbwertszeit von 4 Tagen und einem Zeitraum von 12 Tagen ist x = 3, nicht x = 12. Wer x = 12 einsetzt, erhält ein völlig falsches, viel zu kleines Ergebnis.

Ein dritter Fehler betrifft das Runden von q. Rundest du q von 1,05 auf 1,1, wirkt der Unterschied nach einer Rechnung winzig, doch bei einem Exponenten wie x = 20 potenziert sich der Rundungsfehler gewaltig. Rechne deshalb mit möglichst vielen Nachkommastellen und runde erst das Endergebnis.

Lies zuerst genau, ob ein Vorgang wirklich exponentiell ist. Nur wenn sich eine Größe pro Zeitschritt um einen Prozentsatz oder um einen festen Faktor ändert, gehört sie hierher. Steht im Text ein fester Betrag pro Zeiteinheit, zum Beispiel „jeden Monat 30 € mehr“, ist das lineares Wachstum, und die Exponentialfunktion ist die falsche Wahl.

Notiere dir vor dem Rechnen c, q und x einzeln aus dem Text, bevor du sie in die Formel einsetzt. So vermeidest du, den Anfangswert mit dem Endwert zu verwechseln, was ein sehr häufiger Fehler unter Zeitdruck ist. Prüfe am Ende immer die Größenordnung: Wächst der Bestand, muss y größer als c sein, nimmt er ab, muss y kleiner als c sein.

Exponentialfunktionen beschreiben viele Alltagssituationen: die Verbreitung eines Trends in sozialen Netzwerken, das Wachstum von Sparguthaben über Zinseszins, den Abbau von Koffein im Körper über Nacht oder den Wertverlust eines Neuwagens. Wer diese Beispiele kennt, erkennt exponentielle Aufgaben in der Klassenarbeit schneller, weil die Formulierungen sich ähneln.