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Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall

In dieser Lektion lernst du, wie sich exponentielles Wachstum von linearem unterscheidet und was der Wachstumsfaktor bedeutet. Du übst, Zinsen und Zerfallsvorgänge zu berechnen. Außerdem erfährst du, warum eine Abnahme um 20 Prozent den Faktor 0,8 ergibt.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 10
  • Thema: Funktionen
  • Dauer: 18 Min
  • Niveau: Mittel
1

Wachsen in Schritten oder in Sprüngen

Bei linearem Wachstum kommt in jedem Zeitschritt derselbe Betrag dazu: 50 € pro Monat, 3 cm pro Jahr. Bei exponentiellem Wachstum wird in jedem Zeitschritt mit demselben Faktor multipliziert. Das wirkt am Anfang harmlos, läuft später aber völlig anders: Wer 1 000 € zu 5 Prozent anlegt, bekommt im ersten Jahr 50 € Zinsen, im zwanzigsten Jahr schon über 120 €, weil die Zinsen mitwachsen.

Erkennen kannst du exponentielles Verhalten daran, wie in der Aufgabe formuliert wird. Steht dort „pro Jahr um 40 Stück mehr“, ist es linear. Steht dort „pro Jahr um 8 Prozent mehr“ oder „verdoppelt sich alle fünf Jahre“, ist es exponentiell. Prozentangaben beziehen sich immer auf den aktuellen Bestand, und der ändert sich ständig.

Derselbe Ansatz beschreibt auch Abnahme. Ein Medikament wird im Körper pro Stunde um einen festen Prozentsatz abgebaut, radioaktives Material zerfällt, der Wert eines Autos sinkt jährlich um einen Anteil. Der häufigste Fehler dabei: Bei einer Abnahme um 20 Prozent wird nicht mit 0,2 multipliziert, sondern mit 0,8 – es bleiben ja 80 Prozent übrig.

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Die Funktionsgleichung

Der Anfangswert c steht am Anfang, also zum Zeitpunkt x = 0. Der Faktor q gibt an, womit in jedem Zeitschritt multipliziert wird. Ein Wachstum um p Prozent bedeutet q = 1 + p/100, eine Abnahme um p Prozent bedeutet q = 1 − p/100.

Für q größer als 1 wächst der Bestand, für q zwischen 0 und 1 nimmt er ab. Bei q = 1 bleibt alles gleich. Der Bestand erreicht dabei nie den Wert null, er kommt ihm nur immer näher.

yc · q^x
c
Anfangswert zum Zeitpunkt x = 0
q
Wachstumsfaktor pro Zeitschritt
x
Anzahl der Zeitschritte
3

Zinsen über mehrere Jahre

Du legst 2 000 € für 3 Jahre zu 5 Prozent Zinsen pro Jahr an. Wie viel Geld hast du am Ende?

Gegeben:

  • c2 000 €
  • Zinssatz: 5 Prozent pro Jahr
  • x3 Jahre

Gesucht:

Guthaben nach 3 Jahren

Lösung:

  1. Wachstumsfaktor: q1 + 51001,05
  2. y2 000 · 1,05^3
  3. 1,05^3 ist rund 1,157625
  4. y ist rund 2 315,25

Nach 3 Jahren hast du etwa 2 315,25 €. Bei einfacher Multiplikation mit 3 · 50 € kämen nur 2 150 € heraus – die Differenz sind die Zinsen auf die Zinsen.

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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Ein Bestand nimmt pro Jahr um 20 Prozent ab. Mit welchem Wachstumsfaktor q rechnest du?

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Das Wichtigste in Kürze

  • Exponentielles Wachstum multipliziert in jedem Schritt mit demselben Faktor.
  • Es gilt y = c · q^x mit dem Anfangswert c und dem Faktor q.
  • Wachstum um p Prozent: q = 1 + p/100. Abnahme um p Prozent: q = 1 − p/100.
  • q größer als 1 bedeutet Zunahme, q zwischen 0 und 1 bedeutet Abnahme.
  • Typischer Fehler: bei 20 Prozent Abnahme mit 0,2 statt mit 0,8 rechnen.

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Das solltest du vorher können

  • Prozentrechnungin Arbeit
  • Potenzen und Potenzgesetzein Arbeit

Das kommt als Nächstes