Ableitungen und Ableitungsregeln
In dieser Lektion lernst du, was die Ableitung anschaulich bedeutet und wie du sie mit der Potenzregel bestimmst. Du übst Faktor- und Summenregel an Polynomen. Außerdem erfährst du, warum die Ableitung einer Konstanten null ist.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Die Steigung an einer einzelnen Stelle
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich, du kannst sie mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Bei einer Kurve funktioniert das nicht mehr: Sie ist an jeder Stelle unterschiedlich steil. Die Ableitung löst dieses Problem. Sie ordnet jeder Stelle x die Steigung der Tangente zu, also die Steigung, die die Kurve genau an diesem Punkt hat.
Entstanden ist der Begriff aus einer einfachen Idee: Nimm zwei Punkte auf der Kurve und berechne die Steigung der Verbindungsgeraden. Schiebe den zweiten Punkt immer näher an den ersten heran. Je kleiner der Abstand wird, desto besser beschreibt diese Gerade die Kurve an der Stelle. Der Wert, dem sich die Steigung dabei annähert, ist die Ableitung.
Das ist mehr als eine geometrische Spielerei. Ist s(t) der zurückgelegte Weg, dann ist die Ableitung die Geschwindigkeit. Ist K(x) eine Kostenfunktion, sind die Grenzkosten ihre Ableitung. Und weil eine Kurve im Hoch- oder Tiefpunkt waagerecht verläuft, findest du Extremstellen, indem du die Ableitung null setzt. Genau dafür brauchst du die Ableitungsregeln.
Die Potenzregel
Die wichtigste Regel für Polynome lautet: Der Exponent wird als Faktor nach vorn gezogen und anschließend um 1 verkleinert. Aus x³ wird also 3x², aus x² wird 2x, und aus x wird 1, denn x ist x^1.
Dazu kommen zwei Hilfsregeln. Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt einfach stehen, aus 5x³ wird 15x². Summenregel: Eine Summe wird Summand für Summand abgeleitet. Und eine Konstante ohne x hat die Ableitung 0, weil eine waagerechte Gerade die Steigung 0 hat. Der häufigste Fehler ist, diese Konstante mitzuschleppen statt sie wegfallen zu lassen.
- n
- Exponent der Potenz in f(x) = x^n
- x
- Stelle, an der die Steigung betrachtet wird
- f
- die Funktion, die abgeleitet wird
Ein Polynom ableiten
Bestimme die Ableitung von f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 12 und berechne die Steigung an der Stelle x = 1.
Gegeben:
- f(x)4x³ − 5x² + 7x − 12
Gesucht:
f'(x) und f'(1)Lösung:
- Summandenweise ableiten: aus 4x³ wird 12x², aus −5x² wird −10x
- Aus 7x wird 7, die Konstante −12 fällt weg
- f'(x)12x² − 10x + 7
- f'(1)12 − 10 + 79
Die Ableitung lautet f'(x) = 12x² − 10x + 7, an der Stelle x = 1 beträgt die Steigung 9. Die Zahl −12 verschiebt den Graphen nur nach unten und ändert die Steigung nicht.
Jetzt bist du dran
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x⁵?
Noch nicht. Der Exponent 5 wird als Faktor nach vorn gezogen, danach steht im Exponenten 5 − 1 = 4. Es entsteht also 5x⁴.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einer Stelle an.
- Potenzregel: Exponent nach vorn ziehen, dann um 1 verkleinern.
- Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben unverändert stehen.
- Summenregel: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.
- Typischer Fehler: die Konstante ohne x mitschleppen statt sie wegfallen zu lassen.
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Das solltest du vorher können
- Quadratische Funktionen und Parabeln
- Potenzen und Potenzgesetzein Arbeit
Das kommt als Nächstes
- Integralrechnung: Stammfunktion und Fläche
- Kurvendiskussionin Arbeit