Analysis
Klasse 11–13
Ableiten und Integrieren bilden den Schwerpunkt der Oberstufe und den größten Block im Abitur. Hier geht es darum, was eine Ableitung anschaulich bedeutet, bevor die Regeln dazukommen.
25 Lektionen in diesem Bereich
Ableitung von Sinus und Kosinus
Die Ableitung von Sinus und Kosinus folgt zwei einfachen Regeln: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist −sin(x). In dieser Lektion lernst du, wie du diese Regeln anwendest, mit der Kettenregel auch Funktionen wie sin(3x + 1) ableitest und worauf du beim Bogenmaß achten musst.
Klasse 1118 MinAbleitungen und Ableitungsregeln
In dieser Lektion lernst du, was die Ableitung anschaulich bedeutet und wie du sie mit der Potenzregel bestimmst. Du übst Faktor- und Summenregel an Polynomen. Außerdem erfährst du, warum die Ableitung einer Konstanten null ist.
Klasse 1118 MinAchsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Funktionen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie beschreiben, ob der Graph einer Funktion spiegelsymmetrisch zur y-Achse oder drehsymmetrisch zum Ursprung ist. Mit der Rechenprobe f(−x) findest du das ohne eine einzige Zeichnung heraus – diese Lektion zeigt dir die Bedingungen, den Zusammenhang mit den Exponenten und den vollständigen Rechenweg an zwei Beispielen.
Klasse 1120 Mine-Funktion
In dieser Lektion lernst du die natürliche Exponentialfunktion f(x) = eˣ kennen, die wichtigste Funktion der Oberstufen-Analysis. Du erfährst, warum sie ihre eigene Ableitung ist, wie du Funktionen der Form e^(kx) ableitest und wie du typische Eigenschaften wie Monotonie und Grenzverhalten begründest.
Klasse 1120 MinExtremwertaufgaben
In dieser Lektion lernst du, wie du Optimierungsprobleme mit der Ableitung löst. Du stellst Hauptbedingung und Nebenbedingung auf und bildest daraus eine Zielfunktion. Anschließend bestimmst du ihr Maximum oder Minimum.
Klasse 1120 MinGanzrationale Funktionen: Eigenschaften und Nullstellen
Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzen mit natürlichen Exponenten. Ihr Grad bestimmt Nullstellen, Randverhalten und Form des Graphen. In dieser Lektion lernst du Aufbau und Eigenschaften kennen, untersuchst zwei Funktionen auf Symmetrie und Nullstellen und siehst, welche Fehler häufig vorkommen.
Klasse 1120 MinGebrochenrationale Funktionen
In dieser Lektion lernst du Funktionen kennen, bei denen die Variable im Nenner steht. Du bestimmst den Definitionsbereich, unterscheidest Polstellen von hebbaren Lücken und untersuchst das Verhalten am Rand mit Asymptoten. Das ist die Grundlage für viele Analysis-Aufgaben im Abitur.
Klasse 1120 MinGrenzwert berechnen – x gegen unendlich und Definitionslücken
Einen Grenzwert berechnen heißt: Du untersuchst, welchem Wert sich eine Funktion f(x) annähert, wenn sich x einer bestimmten Stelle nähert – etwa unendlich oder einer Definitionslücke. Diese Lektion zeigt dir die wichtigsten Verfahren für gebrochenrationale Funktionen und macht den Unterschied zwischen einem existierenden und einem nicht existierenden Grenzwert deutlich.
Klasse 1124 MinKurvendiskussion
In dieser Lektion lernst du, wie du den Graphen einer Funktion systematisch untersuchst. Du bestimmst Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte mit der ersten und zweiten Ableitung. Außerdem erfährst du, wie du Hoch- und Tiefpunkte sicher unterscheidest.
Klasse 1120 MinMittlere und lokale Änderungsrate: Sekante, Tangente und Ableitung
Die mittlere und lokale Änderungsrate zeigen, wie schnell sich eine Funktion ändert: im Durchschnitt über ein Intervall oder genau an einer Stelle. Du lernst den Differenzenquotienten, den Weg zur Ableitung und die Deutung im Sachzusammenhang. Dazu gibt es zwei vorgerechnete Beispiele und fünf Aufgaben.
Klasse 1120 MinMonotonie und Krümmung von Funktionsgraphen
In dieser Lektion lernst du, wie die erste und die zweite Ableitung einer Funktion Aussagen über den Verlauf ihres Graphen liefern. Du erfährst, wie du Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten bestimmst, und übst den vollständigen Rechenweg an zwei Beispielen.
Klasse 1122 MinProduktregel und Kettenregel
In dieser Lektion lernst du, wie du Produkte und verkettete Funktionen ableitest. Du erkennst, wann die Produktregel und wann die Kettenregel gebraucht wird. Außerdem übst du, beide Regeln sauber aufzuschreiben.
Klasse 1118 MinTangentengleichung
In dieser Lektion lernst du, wie du die Gleichung der Tangente an einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt aufstellst. Du nutzt dafür die Ableitung als Steigung und die Punkt-Steigungs-Form. Außerdem erfährst du, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.
Klasse 1120 MinWendepunkte berechnen und bestimmen
Wendepunkte berechnest du, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt und mit der dritten Ableitung prüfst, ob sich die Krümmung wirklich ändert. In dieser Lektion lernst du die notwendige und die hinreichende Bedingung, rechnest zwei Beispiele vor und erfährst, was ein Sattelpunkt ist und welche Fehler du vermeiden kannst.
Klasse 1120 MinDifferentialgleichung Wachstum: Lösung, Verdopplungszeit und Beispiele
Die Differentialgleichung Wachstum f'(t) = k · f(t) beschreibt, dass der Zuwachs proportional zum Bestand ist, und wird durch c · eᵏᵗ gelöst. Du lernst Ansatz, Anfangswert und Wachstumskonstante, rechnest Bakterien- und Bestandsbeispiele und übst mit fünf Aufgaben.
Klasse 1220 MinFlächen zwischen Kurven
In dieser Lektion lernst du, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnest. Du bestimmst die Schnittstellen, bildest die Differenzfunktion und integrierst sie über das passende Intervall. Das ist eine der häufigsten Aufgabenarten in der Integralrechnung des Abiturs.
Klasse 1220 MinFunktionenscharen
Eine Funktionenschar ist eine ganze Familie von Funktionen, die alle denselben Aufbau haben, sich aber durch einen Parameter unterscheiden, der wie eine zusätzliche Variable behandelt wird. In dieser Lektion lernst du, wie du Nullstellen und Extrempunkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter berechnest.
Klasse 1222 MinIntegralrechnung: Stammfunktion und Fläche
In dieser Lektion lernst du, was eine Stammfunktion ist und wie du sie mit der umgekehrten Potenzregel findest. Du übst, den Flächeninhalt unter einem Graphen zu berechnen. Außerdem erfährst du, warum bei Stammfunktionen immer eine Konstante dazugehört.
Klasse 1220 MinIntegration durch Substitution
Integration durch Substitution ist eine Methode, um Integrale verketteter Funktionen zu lösen, bei denen die innere Ableitung bereits als Faktor im Integranden auftaucht. In dieser Lektion lernst du, wie du eine passende Substitution wählst, das Integral in der neuen Variablen löst und am Ende durch Rücksubstitution wieder zur ursprünglichen Variablen zurückkehrst.
Klasse 1220 MinNewton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise berechnen
Das Newton-Verfahren berechnet Nullstellen näherungsweise: Du startest mit einem Schätzwert und verbesserst ihn mit der Formel x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). In dieser Lektion lernst du die Idee mit Tangenten, rechnest zwei Beispiele vor und erfährst, wann das Verfahren versagt.
Klasse 1220 MinPartielle Integration: Formel, Beispiele und Übungen
Die partielle Integration ist ein Verfahren, mit dem du Integrale von Produkten wie x · eˣ oder x · sin x berechnest, indem du die Produktregel des Ableitens umkehrst. Du lernst die Formel, die richtige Wahl der beiden Faktoren und rechnest ein unbestimmtes und ein bestimmtes Integral vor. Dazu kommen fünf Aufgaben.
Klasse 1220 MinRotationsvolumen berechnen mit dem Integral
Das Rotationsvolumen berechnest du, indem du den Graphen einer Funktion um die x-Achse drehst und das Volumen des entstehenden Körpers mit einem Integral bestimmst. In dieser Lektion lernst du die Formel, rechnest zwei Beispiele vor und siehst, wie du Zylinder, Kegel und Kugel als Rotationskörper erkennst.
Klasse 1222 MinStammfunktion
In dieser Lektion lernst du, wie du zu einer Funktion eine Stammfunktion findest, also den umgekehrten Weg zur Ableitung gehst. Du wendest die Potenzregel rückwärts an, lernst die Integrationskonstante kennen und rechnest Stammfunktionen von Summen und der e-Funktion.
Klasse 1220 MinStetigkeit und Differenzierbarkeit: Prüfen, Knick und Beispiele
Stetigkeit und Differenzierbarkeit zeigen, ob der Graph einer Funktion zusammenhängt und glatt verläuft. Du lernst die Definitionen, das Prüfverfahren an der Nahtstelle und die Bestimmung von Parametern. Zwei vorgerechnete Beispiele und fünf Aufgaben festigen das Thema.
Klasse 1220 MinUneigentliche Integrale: Berechnung, Beispiele, Übungen
Uneigentliche Integrale sind Integrale, bei denen eine Grenze unendlich ist oder die Funktion am Rand nicht definiert ist, und du berechnest sie über einen Grenzwert. Du lernst, wann die Fläche endlich bleibt, rechnest ein konvergentes und ein divergentes Beispiel vor und übst mit fünf Aufgaben.
Klasse 1218 Min
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