Uneigentliche Integrale: Berechnung, Beispiele, Übungen

Uneigentliche Integrale berechnen die Fläche unter einem Graphen, die sich ins Unendliche erstreckt oder bis an eine Stelle reicht, an der die Funktion nicht definiert ist. Du rechnest sie, indem du die Problemstelle durch eine Variable b ersetzt, normal integrierst und dann b gegen die Problemstelle laufen lässt. Das Ergebnis ist ein Grenzwert.

Das Überraschende daran: Eine Fläche, die unendlich weit reicht, kann trotzdem einen endlichen Inhalt haben. Der Graph von f(x) = 1 : x² nähert sich der x-Achse so schnell an, dass die Fläche rechts von x = 1 genau 1 Flächeneinheit beträgt. Der Graph von 1 : x sinkt dagegen langsamer, und seine Fläche wächst ohne Grenze. Beide sehen ähnlich aus, verhalten sich aber völlig anders.

Es gibt zwei Typen. Beim ersten Typ ist eine Integrationsgrenze unendlich, zum Beispiel ∫ von 1 bis ∞. Beim zweiten Typ ist die Funktion an einer Grenze nicht definiert, etwa ∫ von 0 bis 1 über 1 : √x, weil bei x = 0 durch null geteilt würde. In beiden Fällen kannst du nicht einfach die Grenze einsetzen und musst den Umweg über den Grenzwert gehen.

Hat der Grenzwert einen endlichen Wert, heißt das Integral konvergent. Existiert er nicht oder ist er unendlich, heißt das Integral divergent. Zu klären, welcher Fall vorliegt, ist die eigentliche Aufgabe, und danach folgt meist die Frage nach dem Wert.

Der erste typische Fehler ist, das Unendlichzeichen direkt in die Stammfunktion einzusetzen. Wer −1 : ∞ rechnet, bekommt zwar oft das richtige Ergebnis, aber die Schreibweise ist nicht zulässig und kostet in Klausuren Punkte. Führe immer die Variable b ein und schreibe den Grenzwert hin. Beim Aufschreiben hilft das Zeichen lim mit dem Pfeil unter dem Wort.

Der zweite Fehler ist, aus dem Verhalten des Integranden auf das Integral zu schließen. Wenn f(x) gegen null geht, bedeutet das nicht, dass das Integral konvergiert. Das beste Gegenbeispiel ist 1 : x: Der Funktionswert geht gegen null, die Fläche aber nicht. Entscheidend ist, wie schnell die Funktion abfällt. Funktionen wie 1 : x² oder e⁻ˣ fallen schnell genug, 1 : x und 1 : √x nicht.

Der dritte Fehler betrifft Integrale mit Lücke in der Mitte. Wenn die Funktion zwischen den Grenzen eine Polstelle hat, etwa ∫ von −1 bis 1 über 1 : x², musst du das Integral an der Stelle aufteilen und beide Teile einzeln untersuchen. Rechnest du einfach durch, erhältst du ein falsches, scheinbar endliches Ergebnis. Ein Teil divergiert, damit divergiert das ganze Integral.

In Klausuren der Oberstufe kommen uneigentliche Integrale vor allem in zwei Formen vor. Bei der ersten sollst du entscheiden, ob ein Integral konvergiert, und gegebenenfalls den Wert berechnen. Bei der zweiten geht es um Flächen unter Graphen, die sich ins Unendliche erstrecken, etwa unter e⁻ˣ. Schreibe immer den Ansatz mit b und dem Grenzwert hin. Ein richtig aufgeschriebener Ansatz bringt Punkte, auch wenn die Rechnung danach hakt.

Besonders gern wird e⁻ˣ gefragt, weil der Grenzwert von e⁻ᵇ für b gegen unendlich sicher null ist. Es gilt ∫ von 0 bis ∞ über e⁻ˣ dx = 1. Das spielt in der Stochastik eine Rolle, denn die Exponentialverteilung hat eine solche Dichte. Auch das Rotationsvolumen eines unendlich langen Körpers wird mit einem uneigentlichen Integral untersucht.

Ein berühmtes Beispiel ist das Gabriel-Horn: Der Körper, der entsteht, wenn der Graph von 1 : x ab x = 1 um die x-Achse rotiert, hat ein endliches Volumen von π, aber eine unendlich große Oberfläche. Man könnte ihn füllen, aber nie ganz anstreichen. Das zeigt, wie unterschiedlich Konvergenz und Divergenz sich anfühlen können.