Partielle Integration: Formel, Beispiele und Übungen

Die partielle Integration ist das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten. Sie verwandelt ein Integral über ein Produkt in ein einfacheres Integral, sodass du die Stammfunktion Stück für Stück bestimmen kannst. Du brauchst sie immer dann, wenn der Integrand aus zwei Faktoren besteht, die sich nicht mit einer einfachen Regel integrieren lassen, zum Beispiel x · eˣ.

Der Gedanke dahinter ist kurz erklärt. Die Produktregel besagt (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Wenn du beide Seiten integrierst, steht links u · v und rechts die Summe zweier Integrale. Stellst du die Gleichung um, ergibt sich die Formel der partiellen Integration. Sie ist also nichts Neues, sondern die Produktregel von der anderen Seite gelesen.

Der Trick liegt in der Wahl der Faktoren. Du entscheidest, welcher Faktor integriert und welcher abgeleitet wird. Der abgeleitete Faktor soll dabei einfacher werden: Ein Polynom wie x wird beim Ableiten zur 1, ein Logarithmus ln x zu 1 : x. Der integrierte Faktor muss sich leicht integrieren lassen, wie eˣ, sin x oder cos x. Wählst du falsch, wird das neue Integral schwerer statt leichter.

Für viele Standardfälle gibt es eine feste Reihenfolge, die du dir merken kannst. Polynome und Logarithmen leitest du ab, e-Funktionen, Sinus und Kosinus integrierst du. Damit löst du die meisten Schulaufgaben in zwei bis drei Zeilen.

Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen. Die Formel hat ein Minus vor dem Restintegral, und das geht in der Eile leicht verloren. Besonders heikel wird es, wenn das Restintegral selbst ein Minus enthält, etwa bei ∫ x · cos x dx. Schreibe den Rest immer in Klammern und löse die Klammer erst ganz am Ende auf.

Der zweite Fehler ist die falsche Wahl der Faktoren. Wer bei x · eˣ den Faktor x integriert, bekommt x²/2 · eˣ minus ein Integral mit x² und ist weiter vom Ziel entfernt als am Anfang. Die Faustregel hilft: Das Polynom wird abgeleitet. Wenn dein neues Integral komplizierter aussieht als das alte, wechsle die Rollen. Bei x² · eˣ musst du die partielle Integration zweimal anwenden, weil das Polynom erst bei der zweiten Ableitung zur Konstanten wird.

Der dritte Fehler passiert bei bestimmten Integralen: Die Grenzen werden nur beim Restintegral eingesetzt, aber nicht bei u · v. Der Term u · v muss ebenfalls zwischen den Grenzen ausgewertet werden. Außerdem vergessen viele die Konstante C beim unbestimmten Integral. Eine Probe durch Ableiten deckt alle drei Fehler auf.

In Klausuren der Oberstufe taucht die partielle Integration meist in drei Formen auf. Du berechnest eine Stammfunktion, ein bestimmtes Integral oder eine Fläche unter einer Kurve. Schreibe immer ausdrücklich auf, welche Faktoren du wählst, denn dafür gibt es Punkte. Der Ansatz ist wichtiger als die Rechnung. Bei Aufgaben wie ∫ von 0 bis π über x · sin x dx wählst du u′ = sin x und v = x und erhältst als Ergebnis π.

Sonderfälle erkennst du an der Form des Integranden. Bei x² · eˣ brauchst du zwei Durchgänge. Das Ergebnis des bestimmten Integrals von 0 bis 1 ist e − 2 ≈ 0,718. Bei eˣ · sin x kommt nach zwei Durchgängen das Ausgangsintegral wieder vor, und du löst die entstehende Gleichung nach dem Integral auf. Diese Fälle sind aber eher Aufgaben für Leistungskurse.

Sinnvoll ist die partielle Integration auch dort, wo kein offensichtliches Produkt steht. Die Stammfunktion von ln x ist so ein Fall. Zudem begegnen dir die Formel und das Prinzip später in Physik und Statistik, etwa bei der Berechnung von Erwartungswerten stetiger Verteilungen.