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Integralrechnung: Stammfunktion und Fläche

In dieser Lektion lernst du, was eine Stammfunktion ist und wie du sie mit der umgekehrten Potenzregel findest. Du übst, den Flächeninhalt unter einem Graphen zu berechnen. Außerdem erfährst du, warum bei Stammfunktionen immer eine Konstante dazugehört.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 12
  • Thema: Analysis
  • Dauer: 20 Min
  • Niveau: Schwer
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Ableiten rückwärts gelesen

Beim Ableiten gehst du von einer Funktion zu ihrer Steigung. Die Integralrechnung geht denselben Weg zurück: Gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist. Eine solche Funktion heißt Stammfunktion. Wenn du weißt, wie schnell ein Auto in jedem Moment fährt, kannst du damit den zurückgelegten Weg rekonstruieren.

Der eigentliche Grund, warum das im Unterricht so wichtig ist, liegt in der Fläche. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zwischen zwei Grenzen lässt sich über die Stammfunktion berechnen: Du setzt die obere Grenze ein, setzt die untere Grenze ein und bildest die Differenz. Diese Verbindung zwischen Steigung und Fläche ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Wichtig ist dabei das Vorzeichen. Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, kommt ein negativer Wert heraus. Wer den Flächeninhalt eines Graphen berechnen soll, der die x-Achse zwischen den Grenzen schneidet, darf deshalb nicht einfach durchrechnen: Die positiven und negativen Anteile würden sich teilweise aufheben. Man zerlegt in Abschnitte an den Nullstellen und addiert die Beträge. Genau das wird am häufigsten übersehen.

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Die Stammfunktion

Eine Funktion F ist Stammfunktion von f, wenn ihre Ableitung wieder f ergibt. Praktisch drehst du die Potenzregel um: Der Exponent wird um 1 erhöht, und anschließend teilst du durch den neuen Exponenten. Aus x² wird also x³ geteilt durch 3, aus x wird x² geteilt durch 2, und aus einer Zahl a wird a · x.

Weil jede Konstante beim Ableiten wegfällt, ist die Stammfunktion nie eindeutig: F(x) + 5 ist genauso eine Stammfunktion wie F(x). Deshalb schreibt man beim unbestimmten Integrieren immer eine Konstante dazu. Beim Berechnen einer Fläche darfst du sie weglassen – sie kürzt sich beim Bilden der Differenz ohnehin heraus.

F'(x)f(x)
F
Stammfunktion – ihre Ableitung ergibt f
f
die gegebene Funktion, die integriert wird
x
Stelle, an der beide Funktionen betrachtet werden
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Eine Fläche unter dem Graphen berechnen

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x² und der x-Achse im Bereich von x = 0 bis x = 3.

Gegeben:

  • f(x)x²
  • untere Grenze 0, obere Grenze 3

Gesucht:

Flächeninhalt

Lösung:

  1. Stammfunktion bilden: Exponent um 1 erhöhen, dann teilen, also F(x)x³3
  2. Obere Grenze einsetzen: F(3)2739
  3. Untere Grenze einsetzen: F(0)0
  4. Differenz bilden: 9 − 09

Die Fläche beträgt 9 Flächeneinheiten. Weil der Graph im gesamten Bereich oberhalb der x-Achse verläuft, ist das Ergebnis direkt der Flächeninhalt.

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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x²?

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x²?
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Das Wichtigste in Kürze

  • F ist Stammfunktion von f, wenn F'(x) = f(x) gilt.
  • Beim Integrieren wird der Exponent um 1 erhöht und dann durch ihn geteilt.
  • Die Fläche berechnest du als Differenz der Stammfunktion an oberer und unterer Grenze.
  • Zu jeder Stammfunktion gehört eine Konstante, die bei der Differenz wegfällt.
  • Typischer Fehler: über eine Nullstelle hinweg durchrechnen – Flächen unter der Achse zählen negativ.

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Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes

  • Flächen zwischen zwei Graphenin Arbeit
  • Rotationskörperin Arbeit