Produktregel und Kettenregel
In dieser Lektion lernst du, wie du Produkte und verkettete Funktionen ableitest. Du erkennst, wann die Produktregel und wann die Kettenregel gebraucht wird. Außerdem übst du, beide Regeln sauber aufzuschreiben.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Schwer
Wenn die Potenzregel nicht mehr reicht
Mit Potenz-, Faktor- und Summenregel kannst du jedes Polynom ableiten. Viele Funktionen im Abitur sind aber zusammengesetzt: f(x) = x² · eˣ ist ein Produkt aus zwei Funktionen, f(x) = (3x + 1)⁵ ist eine Verkettung, bei der eine innere Funktion in eine äußere eingesetzt wird. Für beide Fälle gibt es eigene Regeln.
Die Produktregel lautet: Ist f(x) = u(x) · v(x), dann gilt f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). Du leitest also abwechselnd einen Faktor ab und lässt den anderen stehen. Die Kettenregel lautet: Ist f(x) = g(h(x)), dann gilt f'(x) = g'(h(x)) · h'(x). Merksatz: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Funktion bleibt dabei in der äußeren Ableitung unverändert stehen.
Ein typischer Fehler ist, bei einem Produkt einfach beide Faktoren einzeln abzuleiten und zu multiplizieren, also u' · v' zu rechnen. Das ergibt fast immer ein falsches Ergebnis. Genauso häufig wird bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen: Aus (3x + 1)⁵ wird dann nur 5(3x + 1)⁴, obwohl noch der Faktor 3 fehlt. Prüfe deshalb vor jedem Ableiten, wie die Funktion aufgebaut ist.
Warum die Produktregel zwei Summanden hat, lässt sich an einem Rechteck verstehen. Seine Fläche ist u · v. Wachsen beide Seiten ein kleines Stück, kommt ein Streifen an der einen Seite und ein Streifen an der anderen Seite hinzu. Der eine Streifen ist u' · v, der andere u · v'. Das winzige Eckstück, das entsteht, ist so klein, dass es beim Ableiten keine Rolle spielt. Genau deshalb ist u' · v' falsch.
Produktregel oder Kettenregel?
Entscheidend ist die Frage: Werden zwei Funktionen multipliziert, oder steckt eine Funktion in einer anderen? Manchmal brauchst du beide Regeln in einer Aufgabe, etwa bei f(x) = x · e^(2x).
Ein Warnsignal ist ein Faktor ohne x. Bei f(x) = 5 · eˣ brauchst du keine Produktregel, denn 5 ist eine Konstante, und die Faktorregel genügt. Umgekehrt ist nicht jede Klammer eine Verkettung: (x + 1) · (x − 1) ist ein Produkt aus zwei Klammern. Schreibe dir bei unübersichtlichen Termen u, v oder g und h ausdrücklich auf, bevor du rechnest.
Beim Aufschreiben hilft eine feste Reihenfolge. Notiere zuerst die Bausteine mit ihren Ableitungen, setze sie dann in die Regel ein und fasse erst ganz am Ende zusammen. Kommt eˣ in beiden Summanden vor, klammerst du es aus. Das macht das Ergebnis kürzer und bereitet das spätere Nullsetzen vor.
Produktregel
Zwei Terme mit x werden miteinander multipliziert: f(x) = u(x) · v(x).
Beispiele
- f(x) = x² · eˣ
- f(x) = (x + 1) · sin(x)
- f'(x) = u' · v + u · v'
Signalwörter
- Malpunkt zwischen zwei x-Termen
- zwei Faktoren
- beide Faktoren hängen von x ab
Kettenregel
Ein Term mit x steht innerhalb einer anderen Funktion: f(x) = g(h(x)).
Beispiele
- f(x) = (3x + 1)⁵
- f(x) = e^(2x)
- f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
Signalwörter
- Klammer hoch Exponent
- x im Exponenten oder im Argument
- innere und äußere Funktion
- äußere mal innere Ableitung
| Produktregel | Kettenregel | |
|---|---|---|
| Aufbau | u(x) · v(x) | g(h(x)) |
| Formel | u' · v + u · v' | g'(h(x)) · h'(x) |
| Merksatz | Ableitung erster Faktor mal zweiter, plus erster Faktor mal Ableitung zweiter | äußere Ableitung mal innere Ableitung |
Beispiel 1: Die Kettenregel anwenden
Bestimme die Ableitung von f(x) = (3x² + 1)⁴.
Gegeben:
- f(x)(3x² + 1)⁴
- äußere Funktion: g(z)z⁴
- innere Funktion: h(x)3x² + 1
Gesucht:
f'(x)Lösung:
- Äußere Ableitung: g'(z)4z³, also 4(3x² + 1)³
- Innere Ableitung: h'(x)6x
- Multiplizieren: f'(x)4(3x² + 1)³ · 6x
- Zusammenfassen: f'(x)24x(3x² + 1)³
Die Ableitung lautet f'(x) = 24x(3x² + 1)³. Die Klammer musst du nicht ausmultiplizieren – das würde nur Fehler provozieren.
Beispiel 2: Produkt- und Kettenregel kombiniert
Bestimme die Ableitung von f(x) = x · e^(2x).
Gegeben:
- f(x)x · e^(2x)
- u(x)x
- v(x)e^(2x)
Gesucht:
f'(x)Lösung:
- Äußerste Struktur ist ein Produkt: u = x, v = e^(2x)
- u' bestimmen: u'(x)1
- v' mit der Kettenregel bestimmen: v'(x) = 2 · e^(2x)
- In die Produktregel einsetzen: f'(x)1 · e^(2x) + x · 2e^(2x)
- Ausklammern: f'(x)e^(2x) · (1 + 2x)
Die Ableitung lautet f'(x) = e^(2x) · (1 + 2x). Innerhalb der Produktregel wurde für v' zusätzlich die Kettenregel gebraucht, weil e^(2x) eine verkettete Funktion ist. Das Ausklammern von e^(2x) macht das Ergebnis übersichtlich und erleichtert das spätere Nullsetzen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler bei der Produktregel ist, u' · v' statt u' · v + u · v' zu rechnen. Beide Summanden gehören zwingend dazu, keiner darf entfallen.
Bei der Kettenregel wird am häufigsten die innere Ableitung vergessen oder falsch übernommen. Bei f(x) = sin(5x) muss die innere Ableitung 5 als Faktor stehen bleiben: f'(x) = 5 · cos(5x), nicht nur cos(5x).
Ein dritter Fehler ist, bei kombinierten Aufgaben die Reihenfolge zu verwechseln und zuerst die innere Ableitung einer Kettenregel-Teilfunktion zu bilden, bevor überhaupt geklärt ist, ob die äußerste Struktur ein Produkt oder eine Kette ist. Bestimme deshalb immer zuerst die äußerste Struktur der gesamten Funktion.
Tipps für die Abiturprüfung
Schreibe bei jeder Aufgabe zuerst u, v beziehungsweise g, h explizit auf, bevor du ableitest. Das verhindert, dass du beim Einsetzen durcheinanderkommst, besonders bei längeren, kombinierten Termen.
Klammere gemeinsame Faktoren im Ergebnis aus, wann immer das möglich ist, etwa e-Funktionen oder Potenzen. Das macht nicht nur das Ergebnis übersichtlicher, sondern ist bei nachfolgenden Aufgaben wie dem Bestimmen von Extremstellen fast immer notwendig.
Jetzt bist du dran
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x² · eˣ?
Noch nicht. Nach der Produktregel ist u = x², u' = 2x, v = eˣ und v' = eˣ. Also gilt f'(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ.
Das Wichtigste in Kürze
- Produktregel: f'(x) = u' · v + u · v'.
- Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
- Vor dem Ableiten erst den Aufbau der Funktion bestimmen.
- In schweren Aufgaben kommen beide Regeln zusammen vor.
- Typischer Fehler: bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen.
- Nach dem Ableiten gemeinsame Faktoren ausklammern, das erleichtert die weitere Rechnung.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Produktregel und Kettenregel
- Wie erkenne ich, ob ich die Kettenregel brauche?
- Frage dich, ob in der Funktion ein ganzer Term an der Stelle steht, an der normalerweise nur x steht. Bei (3x + 1)⁵ steht die Klammer statt x unter der Potenz, bei e^(2x) steht 2x statt x im Exponenten, bei sin(x²) steht x² im Argument. In all diesen Fällen gibt es eine innere und eine äußere Funktion, und du brauchst die Kettenregel.
- Kann ich statt der Produktregel nicht einfach ausmultiplizieren?
- Bei zwei Polynomen ja: x · (x + 2) kannst du zu x² + 2x ausmultiplizieren und mit der Potenzregel ableiten. Das Ergebnis ist dasselbe. Bei Produkten mit eˣ, sin(x) oder Wurzeln geht das aber nicht, dort ist die Produktregel der einzige Weg. Im Abitur kommen genau solche Funktionen vor, deshalb solltest du die Regel sicher beherrschen.
- Wie leite ich e^(2x) ab?
- Die äußere Funktion ist e^z, ihre Ableitung ist wieder e^z. Die innere Funktion ist 2x mit der Ableitung 2. Nach der Kettenregel gilt also f'(x) = e^(2x) · 2 = 2e^(2x). Allgemein gilt für e^(kx) die Ableitung k · e^(kx). Diese Form begegnet dir ständig bei Wachstums- und Zerfallsprozessen, deshalb lohnt es sich, sie auswendig zu kennen.
- Was mache ich, wenn Produkt- und Kettenregel zusammen vorkommen?
- Du beginnst mit der äußersten Struktur. Bei f(x) = x · e^(2x) ist das ein Produkt, also setzt du u = x und v = e^(2x). Für v' brauchst du dann innerhalb der Produktregel die Kettenregel: v' = 2e^(2x). Eingesetzt ergibt sich f'(x) = e^(2x) + 2x · e^(2x). Zum Schluss klammerst du e^(2x) aus: f'(x) = e^(2x) · (1 + 2x).
- Warum soll ich e^x im Ergebnis ausklammern?
- Weil du die Ableitung meist weiterverwendest, etwa um Extremstellen zu finden. Ist f'(x) = e^x · (1 + x), setzt du nur noch die Klammer null, denn e^x ist niemals null. So erhältst du sofort x = −1. Ohne Ausklammern müsstest du eine unübersichtliche Gleichung lösen. Dieser Satz vom Nullprodukt spart im Abitur viel Zeit.
- In welcher Klasse lernt man Produktregel und Kettenregel?
- Beide Regeln stehen in den meisten Bundesländern in der Oberstufe auf dem Lehrplan, meist in Klasse 11 oder in der Einführungsphase. Sie folgen direkt auf die einfachen Ableitungsregeln wie Potenz-, Faktor- und Summenregel und sind Voraussetzung für Kurvendiskussionen und Extremwertaufgaben mit zusammengesetzten Funktionen wie x² · eˣ.
- Gibt es auch eine Regel für den Quotienten zweier Funktionen?
- Ja, das ist die Quotientenregel. Sie wird für Brüche der Form u(x)/v(x) gebraucht und lautet f'(x) = (u' · v − u · v')/v². Sie lässt sich aus der Produktregel herleiten, indem man den Bruch als Produkt aus u(x) und v(x) hoch −1 schreibt und die Kettenregel auf den zweiten Faktor anwendet.
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