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Extremwertaufgaben

In dieser Lektion lernst du, wie du Optimierungsprobleme mit der Ableitung löst. Du stellst Hauptbedingung und Nebenbedingung auf und bildest daraus eine Zielfunktion. Anschließend bestimmst du ihr Maximum oder Minimum.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 11
  • Thema: Analysis
  • Dauer: 20 Min
  • Niveau: Schwer
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Das Beste aus einer Situation herausholen

Bei Extremwertaufgaben geht es um Fragen wie: Welche Maße muss eine Verpackung haben, damit möglichst wenig Material verbraucht wird? Wie groß kann eine Weide werden, wenn nur 40 m Zaun zur Verfügung stehen? Solche Optimierungen kommen in Technik, Wirtschaft und im Abitur regelmäßig vor, meist als Teil einer größeren Analysis-Aufgabe.

Das Vorgehen ist immer gleich. Zuerst stellst du die Hauptbedingung auf: die Größe, die maximal oder minimal werden soll, etwa die Fläche A = x · y. Sie hängt meist von zwei Variablen ab. Die Nebenbedingung beschreibt die Einschränkung, zum Beispiel die feste Zaunlänge. Du löst sie nach einer Variablen auf und setzt sie in die Hauptbedingung ein. So entsteht eine Zielfunktion mit nur noch einer Variablen, die du wie bei der Kurvendiskussion untersuchst.

Ein typischer Fehler: Schüler leiten die Hauptbedingung ab, solange sie noch zwei Variablen enthält, oder sie vergessen den Definitionsbereich. Längen können nicht negativ sein, also musst du prüfen, ob die gefundene Stelle im sinnvollen Bereich liegt. Außerdem gehört zur vollständigen Lösung ein Antwortsatz mit Einheiten, denn gefragt ist meist nach konkreten Maßen und nicht nur nach x.

Der schwierigste Teil ist fast immer das Aufstellen der Gleichungen, nicht das Ableiten. Fertige deshalb zuerst eine Skizze an und beschrifte alle veränderlichen Längen mit Variablen. Frage dich dann zwei Dinge: Was soll möglichst groß oder klein werden? Und was ist fest vorgegeben? Die Antwort auf die erste Frage liefert die Hauptbedingung, die auf die zweite die Nebenbedingung. Mit dieser Routine wird aus einer langen Textaufgabe ein überschaubares Rechenproblem.

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Die Zielfunktion optimieren

Hast du die Nebenbedingung eingesetzt, bleibt eine Funktion A(x) übrig. Ihr Extremum findest du wie gewohnt über die notwendige Bedingung: Die Ableitung wird null gesetzt.

Ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, prüfst du mit der zweiten Ableitung. Ist A''(x) < 0, liegt ein Maximum vor, ist A''(x) > 0, ein Minimum. Kontrolliere zusätzlich die Ränder des Definitionsbereichs. Liegt dort ein größerer oder kleinerer Wert als an der gefundenen Stelle, ist der Rand die Lösung, auch wenn die Ableitung dort nicht null ist.

Den Definitionsbereich liest du aus dem Sachzusammenhang ab. Längen müssen positiv sein, und auch die aus der Nebenbedingung berechnete zweite Variable darf nicht negativ werden. Bei der Weide aus dem Beispiel muss deshalb 0 < x < 20 gelten, denn für x = 20 wäre die Seite y bereits null. Ein Ergebnis außerhalb dieses Bereichs ist mathematisch vielleicht korrekt, als Antwort aber wertlos.

A'(x)0
A
Zielfunktion, die optimiert werden soll (z. B. Fläche)
x
die einzige verbleibende Variable
MerkmalHauptbedingungNebenbedingung
Aufgabebeschreibt die zu optimierende Größebeschreibt die feste Vorgabe
Variablenzahlzunächst zwei Variablenverknüpft die zwei Variablen
Beispiel WeideA = x · y2x + y = 40
Weiterverarbeitungwird zur Zielfunktion umgeformtwird nach einer Variablen aufgelöst
Hauptbedingung und Nebenbedingung im Vergleich
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Beispiel 1: Eine Weide an einer Mauer

Eine rechteckige Weide soll an einer Mauer angelegt werden. Die drei übrigen Seiten werden mit 40 m Zaun begrenzt. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?

Gegeben:

  • Hauptbedingung: Ax · y
  • Nebenbedingung: 2x + y40, also y40 − 2x

Gesucht:

maximale Fläche A

Lösung:

  1. Zielfunktion: A(x)x · (40 − 2x)40x − 2x² mit 0 < x < 20
  2. A'(x)40 − 4x0, also x10
  3. A''(x)−4 < 0, also Maximum; y40 − 2020
  4. A(10)10 · 20200

Die Weide ist 10 m breit und 20 m lang, ihre Fläche beträgt höchstens 200 m². Die Seite parallel zur Mauer ist dabei doppelt so lang wie die beiden anderen. Da x = 10 im Definitionsbereich liegt und A''(10) negativ ist, handelt es sich wirklich um das Maximum.

Die feste Routine einer Extremwertaufgabe, hier am Beispiel der Weide mit 40 m Zaun.
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Beispiel 2: Schachtel mit minimaler Oberfläche

Eine offene Schachtel mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge x und Höhe h soll ein Volumen von 32 cm³ fassen. Welche Maße benötigen möglichst wenig Material?

Gegeben:

  • Hauptbedingung: O = x² + 4xh (Boden plus vier Seitenflächen, kein Deckel)
  • Nebenbedingung: x²h32, also h32x²

Gesucht:

minimale Oberfläche O

Lösung:

  1. Zielfunktion: O(x)x² + 4x · 32x²x² + 128x mit x > 0
  2. O'(x)2x − 128x²0, also 2x³128, x³64, x4
  3. O''(x) = 2 + 256/x³ > 0 für alle x > 0, also Minimum; h = 32/16 = 2
  4. O(4)16 + 128416 + 3248

Die Schachtel benötigt mit x = 4 cm und h = 2 cm am wenigsten Material, die Oberfläche beträgt dann 48 cm². Anders als bei der Weide ist O''(x) hier für jedes x positiv, deshalb genügt ein einziger Blick auf die zweite Ableitung, um das Minimum zu bestätigen.

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Typische Fehler

Der häufigste Fehler ist, die Hauptbedingung abzuleiten, solange sie noch zwei Variablen enthält. Die Ableitung ist nur für eine Funktion mit einer Variablen definiert, deshalb muss die Nebenbedingung zwingend zuerst eingesetzt werden. Erst die fertige Zielfunktion A(x) oder O(x) darf abgeleitet werden.

Ein zweiter Fehler ist, die zweite Ableitung oder die Randwerte gar nicht zu prüfen. Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist nur ein Kandidat für ein Extremum, kein Beweis. Ohne den Vorzeichenwechsel oder die zweite Ableitung weißt du nicht, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder gar keinen Extrempunkt handelt.

Ein dritter Fehler ist, den Definitionsbereich zu ignorieren. Kommt als Lösung eine negative Länge oder ein Wert außerhalb des sinnvollen Bereichs heraus, ist entweder ein Rechenfehler passiert oder die eigentliche Lösung liegt am Rand des Bereichs. Ein Ergebnis ohne Prüfung des Definitionsbereichs zählt in der Klassenarbeit meist nicht als vollständig.

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Tipps für die Klassenarbeit

Zeichne bei jeder Extremwertaufgabe zuerst eine beschriftete Skizze, selbst wenn die Aufgabe keine verlangt. Die Skizze zeigt dir sofort, welche Längen zusammenhängen, und verhindert Vorzeichenfehler beim Aufstellen der Nebenbedingung. Nimm dir dafür bewusst Zeit, auch wenn die Uhr in der Klassenarbeit läuft.

Schreibe nach dem Rechnen immer einen vollständigen Antwortsatz mit Einheiten, zum Beispiel „Die Schachtel ist 4 cm breit, 4 cm tief und 2 cm hoch, die Oberfläche beträgt 48 cm².“ Nur das Ergebnis x = 4 hinzuschreiben reicht in den meisten Bewertungsschemata nicht für die volle Punktzahl.

Extremwertaufgaben stecken auch im Alltag: Getränkedosen werden so geformt, dass möglichst wenig Blech für ein bestimmtes Volumen gebraucht wird, und Paketdienste berechnen die günstigste Kombination aus Umfang und Länge für ihre Tarife. Wer das Prinzip einmal verstanden hat, erkennt es in vielen Zusammenhängen wieder, nicht nur im Matheunterricht.

Das feste Vorgehen bei Extremwertaufgaben, zum Wiederholen vor der Klassenarbeit.
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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Ein Rechteck soll bei einem Umfang von 24 cm möglichst groß sein. Welche Gleichung ist die Nebenbedingung?

Ein Rechteck soll bei einem Umfang von 24 cm möglichst groß sein. Welche Gleichung ist die Nebenbedingung?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Hauptbedingung: die Größe, die optimiert werden soll.
  • Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und einsetzen.
  • Die Zielfunktion hat nur noch eine Variable und wird abgeleitet.
  • Definitionsbereich prüfen und mit Einheiten antworten.
  • Typischer Fehler: ableiten, solange noch zwei Variablen im Term stehen.

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Häufige Fragen zu Extremwertaufgaben

Was ist der Unterschied zwischen Hauptbedingung und Nebenbedingung?
Die Hauptbedingung ist die Formel für die Größe, die optimal werden soll, etwa Fläche, Volumen, Kosten oder Oberfläche. Die Nebenbedingung ist eine Gleichung, die festlegt, was vorgegeben ist, zum Beispiel ein fester Umfang oder ein festes Volumen. Mit ihr verknüpfst du die Variablen, sodass in der Hauptbedingung nur noch eine übrig bleibt. Erst dann kannst du ableiten.
Wie finde ich die Nebenbedingung in einer Textaufgabe?
Suche nach der Angabe, die fest vorgegeben ist und sich nicht ändern darf. Typische Signale sind Formulierungen wie „mit 40 m Zaun“, „ein Volumen von 1 Liter“ oder „der Punkt liegt auf dem Graphen von f“. Schreibe diese Angabe als Gleichung mit deinen Variablen. Eine Skizze mit beschrifteten Seiten hilft enorm, weil du die Beziehungen dann direkt ablesen kannst.
Warum muss ich die Randwerte prüfen?
Weil das Extremum auch am Rand des Definitionsbereichs liegen kann. Die Ableitung findet nur Stellen mit waagerechter Tangente im Inneren. Ist die Zielfunktion zum Beispiel auf dem ganzen Intervall steigend, liegt ihr größter Wert am rechten Rand, obwohl A'(x) dort nicht null ist. Vergleiche deshalb den Wert an der gefundenen Stelle mit den Werten an den Rändern.
Welche Extremwertaufgaben kommen im Abitur häufig vor?
Sehr beliebt sind Rechtecke unter einem Graphen, deren Fläche maximal werden soll, Dosen mit minimaler Oberfläche bei festem Volumen und Schachteln, die aus einem Blatt gefaltet werden. Auch der kleinste Abstand eines Punktes zu einem Graphen und Gewinnmaximierung in der Wirtschaft tauchen auf. Das Lösungsschema ist dabei immer dasselbe, nur die Nebenbedingung sieht jeweils anders aus.
Woher weiß ich, ob ein Maximum oder ein Minimum gesucht ist?
Das steht in der Aufgabenstellung: Wörter wie „möglichst groß“, „maximal“ oder „größtmöglich“ verlangen ein Maximum, Wörter wie „möglichst wenig“, „minimal“ oder „geringstmöglich“ ein Minimum. Rechnerisch unterscheidest du beide über die zweite Ableitung an der gefundenen Stelle: negativ bedeutet Maximum, positiv bedeutet Minimum. Das Vorgehen bis zur Ableitung ist in beiden Fällen identisch.
Muss ich bei Extremwertaufgaben immer die zweite Ableitung bilden?
Nicht zwingend, du kannst stattdessen einen Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle nachweisen, etwa mit einer kleinen Wertetabelle links und rechts davon. In der Praxis ist die zweite Ableitung meist schneller, besonders bei einfachen Zielfunktionen wie quadratischen oder einfachen gebrochenrationalen Termen. Manche Lehrkräfte verlangen ausdrücklich eine der beiden Methoden, das lohnt sich vorher zu klären.

Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.

Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes