Kurvendiskussion
In dieser Lektion lernst du, wie du den Graphen einer Funktion systematisch untersuchst. Du bestimmst Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte mit der ersten und zweiten Ableitung. Außerdem erfährst du, wie du Hoch- und Tiefpunkte sicher unterscheidest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Einen Graphen vollständig verstehen
Eine Kurvendiskussion ist eine feste Abfolge von Untersuchungen, mit der du den Verlauf eines Graphen beschreibst, ohne ihn zeichnen zu müssen. Typische Schritte sind Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten für sehr große und sehr kleine x. Am Ende kannst du eine saubere Skizze anfertigen, weil du alle markanten Punkte kennst.
Das zentrale Werkzeug ist die Ableitung. Die erste Ableitung f'(x) gibt die Steigung an. Wo der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, verläuft er waagerecht, also gilt dort f'(x) = 0. Die zweite Ableitung f''(x) beschreibt die Krümmung: Ist sie positiv, ist der Graph linksgekrümmt wie eine nach oben offene Schale, ist sie negativ, ist er rechtsgekrümmt. Wendepunkte liegen dort, wo die Krümmung wechselt.
Im Abitur ist die Kurvendiskussion fast immer Teil der Analysis-Aufgaben, oft eingebettet in einen Sachzusammenhang wie Temperaturverläufe oder Wachstum. Ein typischer Fehler: Schüler setzen f'(x) = 0, finden eine Stelle und nennen sie sofort Extremstelle. Doch f'(x) = 0 ist nur notwendig. Erst die zweite Ableitung oder ein Vorzeichenwechsel von f' zeigt, ob wirklich ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder nur ein Sattelpunkt vorliegt.
Hilfreich ist, sich die Rollen der drei Funktionen klarzumachen. Mit f berechnest du Höhen, also Nullstellen und die y-Koordinaten markanter Punkte. Mit f' findest du die Stellen mit waagerechter Tangente und die Bereiche, in denen der Graph steigt oder fällt. Mit f'' entscheidest du über die Art der Extrempunkte und findest Wendestellen. Wer diese Aufteilung im Kopf hat, verwechselt beim Rechnen nicht mehr, welche Funktion wann gebraucht wird.
Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Beide Punkte haben gemeinsam, dass die Tangente waagerecht ist, also f'(x₀) = 0 gilt. Der Unterschied steckt in der Krümmung, die du mit der zweiten Ableitung prüfst. Ist f''(x₀) = 0, liefert dieser Test keine Entscheidung – dann untersuchst du den Vorzeichenwechsel von f'.
Eine Eselsbrücke für die Vorzeichen: Ein positives f'' gehört zu einem lächelnden Mund, der nach oben offen ist, also zum Tiefpunkt. Ein negatives f'' gehört zu einem traurigen Mund, der nach unten offen ist, also zum Hochpunkt. Denk daran, dass Hoch- und Tiefpunkte zunächst nur lokal gelten. Ob ein Punkt auch den größten Wert der ganzen Funktion liefert, musst du gesondert prüfen, etwa mit den Randwerten.
Hochpunkt
Der Graph steigt vor der Stelle und fällt danach, er ist dort rechtsgekrümmt.
Beispiele
- f(x) = −x² hat bei x = 0 einen Hochpunkt
- f''(x₀) = −6 < 0 bedeutet Hochpunkt
Signalwörter
- f'(x₀) = 0
- f''(x₀) < 0
- f' wechselt von + nach −
- Maximum, höchster Wert
Tiefpunkt
Der Graph fällt vor der Stelle und steigt danach, er ist dort linksgekrümmt.
Beispiele
- f(x) = x² hat bei x = 0 einen Tiefpunkt
- f''(x₀) = 6 > 0 bedeutet Tiefpunkt
Signalwörter
- f'(x₀) = 0
- f''(x₀) > 0
- f' wechselt von − nach +
- Minimum, niedrigster Wert
| Bedingung | Extremum | Wendepunkt |
|---|---|---|
| notwendig | f'(x₀) = 0 | f''(x₀) = 0 |
| hinreichend | f''(x₀) ≠ 0 | f'''(x₀) ≠ 0 |
| bei Gleichheit 0 | Vorzeichenwechsel von f' prüfen | kein Wendepunkt, weiter untersuchen |
Extrempunkte einer kubischen Funktion
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 3x und entscheide jeweils, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Gegeben:
- f(x)x³ − 3x
Gesucht:
Lage und Art der ExtrempunkteLösung:
- Ableitungen: f'(x)3x² − 3 und f''(x)6x
- f'(x)0: 3x² − 30, also x²1 und x1 oder x−1
- f''(1)6 > 0, also Tiefpunkt; f(1)1 − 3−2
- f''(−1)−6 < 0, also Hochpunkt; f(−1)−1 + 32
Der Graph hat den Hochpunkt H(−1 | 2) und den Tiefpunkt T(1 | −2). Die y-Werte berechnest du immer mit f, nicht mit f' – sonst erhältst du die Steigung statt der Höhe.
Den Wendepunkt einer kubischen Funktion bestimmen
Bestimme den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x².
Gegeben:
- f(x)x³ − 3x²
Gesucht:
Lage des WendepunktsLösung:
- Ableitungen bilden: f'(x)3x² − 6x, f''(x)6x − 6, f'''(x)6.
- f''(x)0 setzen: 6x − 60, also x1.
- Krümmungswechsel prüfen: f'''(1) = 6 ist ungleich 0, also liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.
- y-Wert berechnen: f(1)1³ − 3 · 1²1 − 3−2.
- Wendepunkt notieren: W (1 | −2).
Der Graph hat den Wendepunkt W (1 | −2). Dort wechselt die Krümmung von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt, der Graph geht also von einer Rechts- in eine Linkskurve über.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, jede Lösung von f'(x) = 0 ungeprüft als Extremstelle zu bezeichnen. Diese Bedingung ist nur notwendig, nicht hinreichend. Ohne den Test mit f'' oder den Vorzeichenwechsel von f' kann es sich auch um einen Sattelpunkt handeln, an dem der Graph trotz waagerechter Tangente weiter in dieselbe Richtung verläuft.
Ein zweiter Fehler ist, die y-Koordinate mit der falschen Funktion zu berechnen. Die Höhe eines Punktes ergibt sich immer aus f, niemals aus f' oder f''. Setzt du versehentlich in f' ein, bekommst du die Steigung an dieser Stelle statt der gesuchten Höhe.
Ein dritter Fehler betrifft Wendepunkte: f''(x₀) = 0 allein reicht nicht aus. Ohne die Bestätigung durch f'''(x₀) ungleich 0 oder einen geprüften Krümmungswechsel könnte an dieser Stelle auch gar keine Änderung der Krümmung vorliegen.
Tipps für die Klausur
Arbeite die Schritte in fester Reihenfolge ab: erst Ableitungen bilden, dann Nullstellen von f' für Extremstellen, dann Nullstellen von f'' für Wendestellen. Wer wahllos zwischen den Ableitungen springt, verliert leicht den Überblick, welche Bedingung gerade geprüft wird.
Kontrolliere jedes Ergebnis mit einer kurzen Skizze oder zumindest einer Wertetabelle. Passt ein berechneter Hochpunkt zum ungefähren Verlauf des Graphen, den du dir vorstellst, stimmt die Rechnung wahrscheinlich. Bei Sachaufgaben lohnt sich außerdem ein Blick auf den Definitionsbereich, denn nicht jede rechnerische Lösung ist im Sachzusammenhang sinnvoll.
Jetzt bist du dran
An der Stelle x₀ gilt f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = −4. Was liegt dort vor?
Noch nicht. Die Tangente ist waagerecht und die zweite Ableitung ist negativ, der Graph ist also rechtsgekrümmt. Damit liegt ein Hochpunkt vor. Ein Wendepunkt käme nur infrage, wenn f''(x₀) = 0 wäre.
Das Wichtigste in Kürze
- Extremstellen suchst du mit der Bedingung f'(x) = 0.
- f''(x₀) < 0 bedeutet Hochpunkt, f''(x₀) > 0 bedeutet Tiefpunkt.
- Wendestellen findest du über f''(x) = 0 mit Krümmungswechsel.
- Die y-Koordinate eines Punktes berechnest du immer mit f.
- Typischer Fehler: jede Nullstelle von f' ungeprüft als Extremstelle angeben.
- Wendepunkte bestätigst du mit f'''(x₀) ungleich 0 oder einem Krümmungswechsel.
Weiter üben
Neue Aufgaben, so viele du willst – jedes Mal mit anderen Zahlen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Kurvendiskussion
- Welche Schritte gehören zu einer vollständigen Kurvendiskussion?
- Üblich sind: Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkt mit der y-Achse, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten für x gegen plus und minus unendlich. Am Ende steht eine Skizze. Im Abitur wird selten alles verlangt, sondern gezielt einzelne Schritte, oft in einen Sachzusammenhang eingebettet. Lies deshalb genau, was gefragt ist, statt automatisch das ganze Programm abzuarbeiten.
- Was ist ein Sattelpunkt?
- Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Dort gilt f'(x₀) = 0, aber f' wechselt das Vorzeichen nicht: Der Graph steigt vorher und nachher, oder er fällt vorher und nachher. Das klassische Beispiel ist f(x) = x³ an der Stelle 0. Hier ist auch f''(0) = 0, der Test mit der zweiten Ableitung liefert also keine Entscheidung.
- Was mache ich, wenn f''(x₀) = 0 ist?
- Dann hilft die zweite Ableitung nicht weiter, und du prüfst den Vorzeichenwechsel von f'. Setze dazu einen Wert knapp links und einen knapp rechts von x₀ in f' ein. Wechselt das Vorzeichen von plus nach minus, liegt ein Hochpunkt vor, von minus nach plus ein Tiefpunkt. Bleibt das Vorzeichen gleich, ist es ein Sattelpunkt. Dieses Kriterium funktioniert immer.
- Wie berechne ich Nullstellen bei Funktionen dritten Grades?
- Fehlt das absolute Glied, klammerst du x aus: Aus x³ − 4x wird x · (x² − 4), und du erhältst x = 0, x = 2 und x = −2. Ist ein absolutes Glied vorhanden, rätst du eine Nullstelle unter den Teilern dieser Zahl und führst dann eine Polynomdivision durch. Übrig bleibt eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel löst.
- Wie erkenne ich die Symmetrie eines Graphen?
- Bei ganzrationalen Funktionen genügt ein Blick auf die Exponenten. Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, zum Beispiel bei x⁴ − 2x² + 1. Kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung, etwa bei x³ − 3x. Beachte: Eine Konstante zählt als x⁰, also als gerader Exponent. Bei gemischten Exponenten liegt keine dieser Symmetrien vor.
- Wie unterscheide ich Extremstelle und Wendestelle beim Rechnen?
- Eine Extremstelle findest du über f'(x) = 0, bestätigt durch f''(x₀) ungleich 0. Eine Wendestelle findest du dagegen über f''(x) = 0, bestätigt durch f'''(x₀) ungleich 0. Die Bedingungen unterscheiden sich also jeweils um eine Ableitungsstufe: Extremstellen betreffen Steigung und Krümmung, Wendestellen betreffen Krümmung und deren Änderung.
- Was bedeutet es, wenn f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0 gleichzeitig gelten?
- Dann liefert der Standardtest keine Entscheidung, und es könnte ein Sattelpunkt vorliegen, also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Prüfe in diesem Fall den Vorzeichenwechsel von f' in der Umgebung von x0. Bleibt das Vorzeichen gleich, handelt es sich um einen Sattelpunkt und nicht um ein echtes Extremum.
- Warum braucht man für eine vollständige Kurvendiskussion auch das Verhalten im Unendlichen?
- Das Verhalten für x gegen plus und minus unendlich zeigt, wie der Graph an den Rändern verläuft, etwa ob er ins Unendliche steigt, fällt oder sich einem Wert annähert. Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der Grad und das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten dieses Verhalten. Ohne diese Information wüsstest du zwar die markanten Punkte, aber nicht, wie der Graph insgesamt aussieht.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.