Quadratische Gleichungen und die pq-Formel
In dieser Lektion lernst du, wie du eine quadratische Gleichung in die Normalform bringst und wann du die pq-Formel brauchst. Du siehst außerdem, wann der Satz vom Nullprodukt viel schneller ist. Am Ende weißt du, woran du die Anzahl der Lösungen erkennst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Was eine quadratische Gleichung besonders macht
Eine Gleichung ist quadratisch, wenn die Unbekannte in der zweiten Potenz vorkommt, also x² auftaucht. Das klingt nach einem kleinen Unterschied zu linearen Gleichungen, ändert aber alles: Du kannst nicht mehr einfach nach x umstellen, weil x an zwei Stellen mit unterschiedlicher Potenz steht. Deshalb brauchst du ein eigenes Lösungsverfahren.
Der zweite Unterschied ist die Anzahl der Lösungen. Eine lineare Gleichung hat in der Regel genau eine Lösung. Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben. Geometrisch ist das leicht zu sehen: Der Graph ist eine Parabel, und die kann die x-Achse zweimal schneiden, sie einmal berühren oder vollständig über beziehungsweise unter ihr verlaufen.
Bevor du irgendetwas rechnest, bringst du die Gleichung in die Normalform x² + p · x + q = 0. Das heißt: alles auf eine Seite, null auf die andere, und der Faktor vor x² muss 1 sein. Steht dort etwa 2x², teilst du die ganze Gleichung durch 2.
pq-Formel oder Satz vom Nullprodukt?
Für quadratische Gleichungen gibt es nicht nur einen Weg. Die pq-Formel funktioniert immer, ist aber rechenaufwendig. Der Satz vom Nullprodukt ist deutlich schneller, aber nur in bestimmten Fällen anwendbar. Schau dir die Gleichung deshalb erst an, bevor du losrechnest.
Der Satz vom Nullprodukt sagt: Ist ein Produkt null, muss mindestens einer der Faktoren null sein. Lässt sich eine Gleichung also in Faktoren zerlegen, kannst du die Lösungen direkt ablesen.
Die pq-Formel lautet ausgeschrieben: x = −p/2 plus oder minus Wurzel aus ((p/2)² − q). Den Term unter der Wurzel nennt man Diskriminante. Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, ist er null, eine, und ist er negativ, keine.
pq-Formel
Die Gleichung steht in Normalform x² + p · x + q = 0 und lässt sich nicht bequem faktorisieren. Du berechnest zuerst die Hälfte von p mit umgekehrtem Vorzeichen und prüfst dann über den Term unter der Wurzel, wie viele Lösungen es gibt.
Beispiele
- x² − 6x + 8 = 0 mit p = −6 und q = 8
- x² + 4x − 5 = 0 mit p = 4 und q = −5
Signalwörter
- Es gibt ein x², ein einzelnes x und eine Zahl ohne x.
- Der Faktor vor x² ist 1 oder lässt sich durch Teilen auf 1 bringen.
- Die Zahlen lassen sich nicht auf den ersten Blick als Produkt erkennen.
- Du sollst die Anzahl der Lösungen begründen.
Satz vom Nullprodukt
Die Gleichung ist bereits ein Produkt, das null ergibt, oder du kannst x ausklammern. Dann setzt du jeden Faktor einzeln gleich null und bist fertig.
Beispiele
- (x − 3) · (x + 5) = 0 hat die Lösungen 3 und −5
- x² − 7x = 0 wird zu x · (x − 7) = 0 mit den Lösungen 0 und 7
Signalwörter
- Die Gleichung besteht aus Klammern, die miteinander multipliziert werden.
- Es gibt keine Zahl ohne x, du kannst also x ausklammern.
- Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Null.
- Die Lösungen lassen sich direkt ablesen.
| Gleichung | Bestes Verfahren | Lösungen |
|---|---|---|
| x² − 6x + 8 = 0 | pq-Formel | x1 = 4, x2 = 2 |
| (x − 3) · (x + 5) = 0 | Satz vom Nullprodukt | x1 = 3, x2 = -5 |
| x² − 7x = 0 | x ausklammern | x1 = 0, x2 = 7 |
Beispiel 1: Eine Gleichung mit der pq-Formel lösen
Löse die Gleichung 2x² − 12x + 16 = 0.
Gegeben:
- 2x² − 12x + 160
Gesucht:
alle Lösungen für xLösung:
- Durch 2 teilen, damit Normalform entsteht: x² − 6x + 8 = 0
- Ablesen mit Vorzeichen: p = −6 und q = 8
- Hälfte von p mit umgekehrtem Vorzeichen: −p/2 = 3
- Term unter der Wurzel: 3² − 8 = 9 − 8 = 1. Er ist positiv, also gibt es zwei Lösungen.
- Wurzel aus 1 ist 1, also x₁ = 3 + 1 = 4 und x₂ = 3 − 1 = 2
- Probe mit x = 4 in der Ausgangsgleichung: 2 · 16 − 48 + 16 = 0
Die Lösungen sind x₁ = 4 und x₂ = 2. Zur Kontrolle: 4 · 2 = 8 ergibt q, und 4 + 2 = 6 ist das Gegenteil von p.
Beispiel 2: Der Satz vom Nullprodukt
Löse die Gleichung (x − 3) · (x + 5) = 0.
Gegeben:
- (x − 3) · (x + 5)0
Gesucht:
alle Lösungen für xLösung:
- Die Gleichung steht bereits als Produkt zweier Klammern, das null ergibt.
- Satz vom Nullprodukt: Mindestens einer der beiden Faktoren muss null sein.
- Erster Fall: x − 30, also x₁3.
- Zweiter Fall: x + 50, also x₂−5.
Die Lösungen sind x₁ = 3 und x₂ = −5. Diesen Weg über die pq-Formel zu lösen wäre umständlicher: Erst müsste man die Klammern ausmultiplizieren, um überhaupt in Normalform zu kommen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die pq-Formel auf eine Gleichung anzuwenden, die noch nicht in Normalform steht. Bei 2x² − 12x + 16 = 0 musst du zuerst durch 2 teilen, sonst stimmt das Ergebnis nie, weil p und q dann falsch abgelesen werden. Kontrolliere deshalb vor jeder Anwendung der Formel, ob der Faktor vor x² wirklich 1 ist.
Ein zweiter Fehler ist, bei einer Gleichung wie x² − 5x = 0 durch x zu teilen, um schneller zum Ergebnis zu kommen. Dabei geht die Lösung x = 0 verloren, denn Teilen durch x ist nur erlaubt, wenn x garantiert nicht null ist. Richtig ist, x auszuklammern: x · (x − 5) = 0, und daraus beide Lösungen abzulesen.
Ein dritter Fehler betrifft die Diskriminante: Wird sie negativ berechnet, aber ein Schüler zieht trotzdem eine Wurzel und gibt eine Lösung an, ist das falsch. Eine negative Zahl unter der Wurzel bedeutet im Bereich der reellen Zahlen, dass es keine Lösung gibt, und die richtige Antwort ist die leere Lösungsmenge, nicht ein erfundener Zahlenwert.
Alltagsbezug: Wo quadratische Gleichungen vorkommen
Quadratische Gleichungen tauchen überall dort auf, wo eine Fläche oder ein Produkt aus zwei zusammenhängenden Größen berechnet wird. Willst du wissen, wie lang die Seiten eines rechteckigen Gartens sein müssen, damit er eine bestimmte Fläche hat und der Umfang vorgegeben ist, führt das direkt auf eine quadratische Gleichung. Auch bei der Wurfbahn eines Balls, die einer Parabel folgt, findest du mit einer quadratischen Gleichung heraus, wann der Ball wieder auf dem Boden aufkommt.
In der Wirtschaft nutzt man quadratische Gleichungen, um Gewinnmaximum oder Kostenminimum zu berechnen, wenn der Zusammenhang zwischen Preis und Menge nicht linear ist. Auch beim Berechnen von Zinseszins über zwei Jahre oder bei geometrischen Aufgaben mit Diagonalen und dem Satz des Pythagoras entstehen quadratische Gleichungen, die du mit der pq-Formel löst.
Für die Klassenarbeit hilft ein fester Ablauf: Erst die Gleichung genau ansehen und entscheiden, ob sich ein Faktorisieren anbietet. Ist das nicht der Fall, die Normalform herstellen und die pq-Formel anwenden. Am Ende immer eine Probe machen, indem du eine Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt.
Jetzt bist du dran
Welche Gleichung steht in Normalform?
Noch nicht. In der Normalform steht vor x² der Faktor 1 und rechts vom Gleichheitszeichen eine Null. Nur x² + 2x − 3 = 0 erfüllt beides; die anderen musst du vorher umformen.
Das Wichtigste in Kürze
- Erst Normalform x² + p · x + q = 0 herstellen, dann rechnen.
- Der Faktor vor x² muss 1 sein, sonst die ganze Gleichung teilen.
- Die pq-Formel funktioniert immer, der Satz vom Nullprodukt nur bei Produkten.
- Fehlt die Zahl ohne x, klammere x aus statt durch x zu teilen.
- Zwei, eine oder keine Lösung – das entscheidet der Term unter der Wurzel.
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Häufige Fragen zu Quadratische Gleichungen und die pq-Formel
- Wie wende ich die pq-Formel richtig an?
- Bring die Gleichung zuerst in Normalform: rechts null, vor x² der Faktor 1. Lies dann p und q samt Vorzeichen ab. Rechne −p/2 aus, quadriere p/2 und ziehe q ab. Aus diesem Ergebnis ziehst du die Wurzel und addierst sie zu −p/2 beziehungsweise ziehst sie davon ab.
- Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?
- Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern dieselben Ergebnisse. Die pq-Formel braucht die Normalform mit dem Faktor 1 vor x². Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, arbeitet direkt mit a · x² + b · x + c = 0, du musst also nicht vorher teilen.
- Warum hat eine quadratische Gleichung manchmal keine Lösung?
- Weil unter der Wurzel eine negative Zahl stehen kann, und aus negativen Zahlen gibt es im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel. Anschaulich liegt die zugehörige Parabel dann ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse. Sie hat also keine Nullstellen. Du schreibst in diesem Fall als Ergebnis die leere Lösungsmenge, also L = { }.
- Darf ich bei x² − 5x = 0 durch x teilen?
- Nein, dabei verlierst du eine Lösung. Durch x zu teilen ist nur erlaubt, wenn x nicht null ist, und genau das weißt du vorher nicht. Klammere stattdessen x aus: x · (x − 5) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist dann x = 0 oder x = 5.
- In welcher Klasse lernt man quadratische Gleichungen?
- Quadratische Gleichungen und die pq-Formel werden meist in Klasse 9 behandelt, an manchen Schulen schon Ende Klasse 8. Sie folgen oft direkt auf quadratische Funktionen, weil die Lösungen genau die Nullstellen der Parabel sind.
- Wann lohnt sich der Satz vom Nullprodukt statt der pq-Formel?
- Immer dann, wenn die Gleichung bereits als Produkt von Klammern geschrieben ist oder sich eine gemeinsame Variable ausklammern lässt. Bei (x − 3) · (x + 5) = 0 oder x² − 7x = 0 sparst du dir das Ausmultiplizieren, das Herstellen der Normalform und das Einsetzen in die Formel. Lässt sich eine Gleichung nicht so einfach faktorisieren, bleibt die pq-Formel der sichere Weg.
- Was sagt die Diskriminante über die Lösungen aus?
- Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in der pq-Formel, also (p/2)² − q. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene Lösungen. Ist sie genau null, gibt es nur eine Lösung, weil die Parabel die x-Achse in genau einem Punkt berührt. Ist sie negativ, gibt es keine reelle Lösung, weil man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
- Wie mache ich eine Probe bei quadratischen Gleichungen?
- Setze jede gefundene Lösung einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine Zwischenform, und rechne nach, ob tatsächlich null herauskommt. Zusätzlich kannst du bei der pq-Formel prüfen, ob das Produkt beider Lösungen gleich q und die Summe beider Lösungen gleich −p ist. Stimmen beide Kontrollen, sind die Lösungen mit hoher Sicherheit richtig.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.