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Quadratische Gleichungen und die pq-Formel

In dieser Lektion lernst du, wie du eine quadratische Gleichung in die Normalform bringst und wann du die pq-Formel brauchst. Du siehst außerdem, wann der Satz vom Nullprodukt viel schneller ist. Am Ende weißt du, woran du die Anzahl der Lösungen erkennst.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 9
  • Thema: Terme und Gleichungen
  • Dauer: 18 Min
  • Niveau: Mittel
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Was eine quadratische Gleichung besonders macht

Eine Gleichung ist quadratisch, wenn die Unbekannte in der zweiten Potenz vorkommt, also x² auftaucht. Das klingt nach einem kleinen Unterschied zu linearen Gleichungen, ändert aber alles: Du kannst nicht mehr einfach nach x umstellen, weil x an zwei Stellen mit unterschiedlicher Potenz steht. Deshalb brauchst du ein eigenes Lösungsverfahren.

Der zweite Unterschied ist die Anzahl der Lösungen. Eine lineare Gleichung hat in der Regel genau eine Lösung. Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben. Geometrisch ist das leicht zu sehen: Der Graph ist eine Parabel, und die kann die x-Achse zweimal schneiden, sie einmal berühren oder vollständig über beziehungsweise unter ihr verlaufen.

Bevor du irgendetwas rechnest, bringst du die Gleichung in die Normalform x² + p · x + q = 0. Das heißt: alles auf eine Seite, null auf die andere, und der Faktor vor x² muss 1 sein. Steht dort etwa 2x², teilst du die ganze Gleichung durch 2. Der häufigste Fehler in dieser Lektion ist, die pq-Formel auf eine Gleichung anzuwenden, die noch nicht in Normalform steht – dann stimmt das Ergebnis nie.

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pq-Formel oder Satz vom Nullprodukt?

Für quadratische Gleichungen gibt es nicht nur einen Weg. Die pq-Formel funktioniert immer, ist aber rechenaufwendig. Der Satz vom Nullprodukt ist deutlich schneller, aber nur in bestimmten Fällen anwendbar. Schau dir die Gleichung deshalb erst an, bevor du losrechnest.

Der Satz vom Nullprodukt sagt: Ist ein Produkt null, muss mindestens einer der Faktoren null sein. Lässt sich eine Gleichung also in Faktoren zerlegen, kannst du die Lösungen direkt ablesen.

pq-Formel

Die Gleichung steht in Normalform x² + p · x + q = 0 und lässt sich nicht bequem faktorisieren. Du berechnest zuerst die Hälfte von p mit umgekehrtem Vorzeichen und prüfst dann über den Term unter der Wurzel, wie viele Lösungen es gibt.

Beispiele

  • x² − 6x + 8 = 0 mit p = −6 und q = 8
  • x² + 4x − 5 = 0 mit p = 4 und q = −5

Signalwörter

  • Es gibt ein x², ein einzelnes x und eine Zahl ohne x.
  • Der Faktor vor x² ist 1 oder lässt sich durch Teilen auf 1 bringen.
  • Die Zahlen lassen sich nicht auf den ersten Blick als Produkt erkennen.
  • Du sollst die Anzahl der Lösungen begründen.

Satz vom Nullprodukt

Die Gleichung ist bereits ein Produkt, das null ergibt, oder du kannst x ausklammern. Dann setzt du jeden Faktor einzeln gleich null und bist fertig.

Beispiele

  • (x − 3) · (x + 5) = 0 hat die Lösungen 3 und −5
  • x² − 7x = 0 wird zu x · (x − 7) = 0 mit den Lösungen 0 und 7

Signalwörter

  • Die Gleichung besteht aus Klammern, die miteinander multipliziert werden.
  • Es gibt keine Zahl ohne x, du kannst also x ausklammern.
  • Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Null.
  • Die Lösungen lassen sich direkt ablesen.
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Eine Gleichung mit der pq-Formel lösen

Löse die Gleichung 2x² − 12x + 16 = 0.

Gegeben:

  • 2x² − 12x + 160

Gesucht:

alle Lösungen für x

Lösung:

  1. Durch 2 teilen, damit Normalform entsteht: x² − 6x + 80
  2. Ablesen: p−6 und q8
  3. Hälfte von p mit umgekehrtem Vorzeichen: 3; darunter 3² − 81
  4. x₁3 + 14 und x₂3 − 12

Die Lösungen sind x₁ = 4 und x₂ = 2. Zur Kontrolle: 4 · 2 = 8 ergibt q, und 4 + 2 = 6 ist das Gegenteil von p.

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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Welche Gleichung steht in Normalform?

Welche Gleichung steht in Normalform?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Erst Normalform x² + p · x + q = 0 herstellen, dann rechnen.
  • Der Faktor vor x² muss 1 sein, sonst die ganze Gleichung teilen.
  • Die pq-Formel funktioniert immer, der Satz vom Nullprodukt nur bei Produkten.
  • Fehlt die Zahl ohne x, klammere x aus statt durch x zu teilen.
  • Zwei, eine oder keine Lösung – das entscheidet der Term unter der Wurzel.

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Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes