Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln sind keine neue Rechenart, sondern Abkürzungen. Sie beschreiben, was herauskommt, wenn du zwei gleiche oder fast gleiche Klammern miteinander multiplizierst. Grundlage ist das Ausmultiplizieren zweier Klammern: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert. Weil die Fälle (a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b) besonders oft vorkommen, lohnt es sich, ihre Ergebnisse auswendig zu kennen.

Die erste Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Die zweite unterscheidet sich nur im Vorzeichen der Mitte: (a − b)² = a² − 2ab + b². Das b² bleibt dabei positiv, weil auch ein negatives b beim Quadrieren positiv wird. Die dritte Formel ist die auffälligste: (a + b)(a − b) = a² − b². Hier fallen die beiden gemischten Produkte weg, weil sich +ab und −ab gegenseitig aufheben.

Der mit Abstand häufigste Fehler ist das vergessene doppelte Produkt. Viele schreiben (a + b)² = a² + b² und übersehen die 2ab in der Mitte. Setze zur Probe Zahlen ein: (3 + 4)² ist 49, während 3² + 4² nur 25 ergibt. Die fehlenden 24 sind genau das doppelte Produkt 2 · 3 · 4. Wenn du die Formeln rückwärts liest, kannst du damit auch faktorisieren: Aus x² + 10x + 25 wird (x + 5)², weil 25 = 5² ist und 10x = 2 · x · 5.