Die binomischen Formeln
In dieser Lektion lernst du alle drei binomischen Formeln kennen. Du erfährst, woher das doppelte Produkt in der Mitte kommt, wie du die Formeln auch rückwärts zum Faktorisieren nutzt und welchen Fehler du dabei vermeiden musst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Terme und Potenzen
- Dauer: 17 Min
- Niveau: Mittel
Abkürzungen für häufige Klammerprodukte
Die binomischen Formeln sind keine neue Rechenart, sondern Abkürzungen. Sie beschreiben, was herauskommt, wenn du zwei gleiche oder fast gleiche Klammern miteinander multiplizierst. Grundlage ist das Ausmultiplizieren zweier Klammern: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten multipliziert. Weil die Fälle (a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b) besonders oft vorkommen, lohnt es sich, ihre Ergebnisse auswendig zu kennen.
Die erste Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Die zweite unterscheidet sich nur im Vorzeichen der Mitte: (a − b)² = a² − 2ab + b². Das b² bleibt dabei positiv, weil auch ein negatives b beim Quadrieren positiv wird. Die dritte Formel ist die auffälligste: (a + b)(a − b) = a² − b². Hier fallen die beiden gemischten Produkte weg, weil sich +ab und −ab gegenseitig aufheben.
Du kannst dir die erste Formel auch als Bild vorstellen. Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b lässt sich in vier Teile zerlegen: ein Quadrat mit der Fläche a², eines mit b² und zwei gleiche Rechtecke mit je a mal b. Zusammen ergibt das a² + 2ab + b².
Die erste binomische Formel
Diese Formel ist die wichtigste der drei, weil die beiden anderen sich aus ihr ergeben. Das mittlere Glied entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal das Produkt a · b auftritt: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b², und ab und ba sind gleich.
Die zweite Formel lautet (a − b)² = a² − 2ab + b², die dritte (a + b)(a − b) = a² − b². Merke dir vor allem, dass bei den ersten beiden immer drei Glieder herauskommen und bei der dritten nur zwei.
Für a und b darfst du ganze Terme einsetzen, nicht nur einzelne Buchstaben. Bei (2x + 3)² ist a = 2x und b = 3. Dann wird das komplette a quadriert, also (2x)² = 4x², und nicht nur das x.
- a
- erstes Glied in der Klammer
- b
- zweites Glied in der Klammer
| Klammer | Formel | Ergebnis |
|---|---|---|
| (x + 3)² | erste | x² + 6x + 9 |
| (x − 3)² | zweite | x² − 6x + 9 |
| (x + 3)(x − 3) | dritte | x² − 9 |
Beispiel 1: eine Klammer mit der zweiten Formel ausrechnen
Multipliziere (3x − 5)² aus.
Gegeben:
- a3x
- b5
Gesucht:
ausmultiplizierter TermLösung:
- Form erkennen: Differenz im Quadrat, also zweite binomische Formel a² − 2ab + b²
- a und b festlegen: a3x, b5
- a²(3x)²3x · 3x9x²
- 2ab2 · 3x · 530x, mit Minus davor: −30x
- b²5²25
- 9x² − 30x + 25
- Probe mit x1: (3 − 5)²4 und 9 − 30 + 254
Es ergibt sich 9x² − 30x + 25. Die Probe mit x = 1 liefert auf beiden Seiten 4, das Ergebnis passt also. Beachte, dass beim Quadrieren von 3x auch die 3 quadriert wird, nicht nur das x, und dass nur das mittlere Glied ein Minus bekommt.
Beispiel 2: Kopfrechnen und Faktorisieren
Berechne 21² im Kopf mit einer binomischen Formel und faktorisiere anschließend x² + 10x + 25.
Gegeben:
- 21²
- x² + 10x + 25
Gesucht:
Ergebnis der Kopfrechnung und faktorisierte FormLösung:
- 21 als 20 + 1 schreiben: 21²(20 + 1)²
- erste Formel anwenden: 20² + 2 · 20 · 1 + 1²400 + 40 + 1441
- Für x² + 10x + 25 prüfen: 255² und 10x2 · x · 5
- beide Bedingungen erfüllt, also x² + 10x + 25 = (x + 5)²
21² ergibt im Kopf 441, und x² + 10x + 25 lässt sich als (x + 5)² schreiben. Beide Aufgaben nutzen dieselbe Formel nur in verschiedene Richtungen: einmal vorwärts zum Ausrechnen, einmal rückwärts zum Faktorisieren.
Typische Fehler
Der mit Abstand häufigste Fehler ist das vergessene doppelte Produkt. Viele schreiben (a + b)² = a² + b² und übersehen die 2ab in der Mitte. Setze zur Probe Zahlen ein: (3 + 4)² ist 49, während 3² + 4² nur 25 ergibt. Die fehlenden 24 sind genau das doppelte Produkt 2 · 3 · 4.
Ein zweiter Fehler ist, bei Termen wie (2x + 3)² nur das x zu quadrieren und den Faktor davor zu vergessen. Richtig wird die komplette Klammer a = 2x eingesetzt, also (2x)² = 4x², nicht nur x².
Ein dritter Fehler passiert beim Rückwärtslesen zum Faktorisieren: Manche prüfen nur, ob das erste und letzte Glied Quadratzahlen sind, und vergessen, das mittlere Glied zu kontrollieren. Bei x² + 8x + 25 sind zwar x² und 25 = 5² Quadrate, aber 2 · x · 5 = 10x passt nicht zu 8x – der Term lässt sich also nicht als binomische Formel schreiben.
Tipps für die Klassenarbeit
Präge dir das Muster „erstes Quadrat, doppeltes Produkt, zweites Quadrat“ fest ein und sprich es bei jeder Aufgabe einmal laut oder im Kopf mit. So übersiehst du seltener eines der drei Glieder.
Im Alltag helfen dir die binomischen Formeln beim schnellen Kopfrechnen: 19 · 21 lässt sich als (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399 berechnen, deutlich schneller als die schriftliche Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen. Auch 49² lässt sich über (50 − 1)² leicht im Kopf lösen.
Für die Klassenarbeit lohnt sich immer eine Zahlenprobe: Setze für a und b kleine Zahlen wie 1 oder 2 ein und prüfe, ob deine ausmultiplizierte Form und die ursprüngliche Klammer denselben Wert ergeben. Stimmen beide Seiten überein, hast du wahrscheinlich richtig gerechnet.
Jetzt bist du dran!
Wie lautet (x + 4)² ausmultipliziert?
Noch nicht. Das doppelte Produkt lautet 2 · x · 4 = 8x, dazu kommt 4² = 16. Die Antwort x² + 16 vergisst genau dieses mittlere Glied. Bei x² + 4x + 16 fehlt der Faktor 2, weil das Produkt beim Ausmultiplizieren zweimal auftritt.
Das Wichtigste in Kürze
- Erste Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Zweite Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b² – nur die Mitte wird negativ.
- Dritte Formel: (a + b)(a − b) = a² − b² – hier bleiben nur zwei Glieder übrig.
- Rückwärts gelesen helfen die Formeln beim Faktorisieren, etwa x² + 10x + 25 = (x + 5)².
- Häufigster Fehler: das doppelte Produkt 2ab vergessen. (3 + 4)² ist 49, nicht 25.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Die binomischen Formeln
- Wie kann ich mir die binomischen Formeln merken?
- Merke dir das Muster „erstes Glied im Quadrat, doppeltes Produkt, zweites Glied im Quadrat“. Bei der ersten Formel steht in der Mitte ein Plus, bei der zweiten ein Minus, das letzte Glied ist in beiden Fällen positiv. Die dritte Formel erkennst du an Plus und Minus in den Klammern, sie ergibt a² − b².
- Wann benutze ich welche binomische Formel?
- Schau auf die Klammern. Steht eine Summe im Quadrat, etwa (x + 3)², nimmst du die erste Formel. Steht eine Differenz im Quadrat, etwa (x − 3)², die zweite. Werden zwei Klammern mit gleichen Gliedern, aber verschiedenen Rechenzeichen multipliziert, wie (x + 3)(x − 3), ist es die dritte.
- Warum ist (a + b)² nicht a² + b²?
- Weil das Quadrat bedeutet, die Klammer mit sich selbst zu multiplizieren: (a + b)(a + b). Dabei wird jedes Glied mit jedem multipliziert, und es entstehen vier Produkte: a², ab, ba und b². Die beiden gemischten Produkte sind gleich und ergeben zusammen 2ab. Ein Zahlenbeispiel zeigt es sofort: (2 + 3)² = 25, aber 2² + 3² = 13.
- Wie faktorisiere ich mit den binomischen Formeln?
- Du liest die Formel von rechts nach links. Prüfe, ob das erste und das letzte Glied Quadratzahlen sind, bei x² + 6x + 9 also x² und 9 = 3². Dann kontrollierst du, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt ist: 2 · x · 3 = 6x. Stimmt das, schreibst du (x + 3)². Bei einem Minus in der Mitte wird es (x − 3)².
- In welcher Klasse kommen die binomischen Formeln dran?
- In den meisten Bundesländern lernst du die binomischen Formeln in Klasse 8, manchmal schon am Ende von Klasse 7. Sie tauchen danach immer wieder auf: beim Lösen quadratischer Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung, bei Parabeln in Scheitelpunktform und in der Oberstufe.
- Kann man die binomischen Formeln auch mit Zahlen statt Buchstaben nutzen?
- Ja, dafür sind sie sogar besonders praktisch. Zahlen, die nahe an einem runden Wert liegen, lassen sich damit schnell im Kopf berechnen. 98² wird zu (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604, ganz ohne schriftliche Multiplikation zweier dreistelliger Zahlen. Je näher die Zahl an einem Vielfachen von 10 oder 100 liegt, desto einfacher wird die Rechnung.
- Was mache ich, wenn vor der Klammer noch ein Faktor steht?
- Multipliziere zuerst die Klammer mit der binomischen Formel aus und multipliziere den äußeren Faktor erst danach in jedes einzelne Glied hinein. Bei 2(x + 3)² rechnest du zuerst (x + 3)² = x² + 6x + 9 und erhältst dann 2x² + 12x + 18. Den Faktor 2 direkt in die Klammer hineinzuziehen und dort zu quadrieren wäre falsch.
- Gilt die binomische Formel auch für mehr als zwei Summanden?
- Die klassischen binomischen Formeln gelten nur für genau zwei Glieder in der Klammer. Für drei oder mehr Summanden, etwa (a + b + c)², brauchst du eine erweiterte Version mit mehr gemischten Produkten: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Diese Erweiterung wird meist erst in der Oberstufe oder bei speziellen Themen wie Trinomen behandelt.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Quadratische Gleichungen
- Faktorisierenin Arbeit