Terme aufstellen und umformen

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen und Rechenzeichen enthält – aber kein Gleichheitszeichen. 3x + 5 ist ein Term, 3x + 5 = 14 ist bereits eine Gleichung. Terme brauchst du, um einen Sachzusammenhang allgemein aufzuschreiben: Kostet ein Stift x Euro, so kosten sieben Stifte 7x Euro, und mit 2 € Versand zahlst du 7x + 2 Euro. Du musst den Preis nicht kennen, um die Rechnung zu formulieren.

Beim Aufstellen hilft ein fester Ablauf. Lies den Text und markiere die unbekannte Größe, der du einen Buchstaben gibst. Übersetze dann Wort für Wort: „das Dreifache“ wird zu 3 ·, „um 4 vermindert“ zu − 4, „die Summe aus“ zu einer Klammer mit Plus. Achte darauf, was zuerst passiert. „Das Doppelte der Summe aus x und 3“ ist 2(x + 3), „die Summe aus dem Doppelten von x und 3“ dagegen 2x + 3.

Beim Vereinfachen fasst du gleichartige Glieder zusammen. Gleichartig heißt: gleiche Variable in gleicher Potenz. 4a und 7a sind gleichartig und ergeben zusammen 11a. 4a und 7a² sind es nicht und bleiben getrennt stehen. Genauso lassen sich reine Zahlen nur mit Zahlen verrechnen. Stell dir die Glieder als Obstsorten vor: Vier Äpfel plus sieben Äpfel sind elf Äpfel, aber vier Äpfel plus sieben Birnen bleiben vier Äpfel und sieben Birnen.

Klammern löst du mit dem Distributivgesetz auf. Der häufigste Fehler passiert dabei vor einem Minuszeichen: In 10 − 2(x − 4) müssen beide Glieder in der Klammer mit −2 multipliziert werden, es ergibt sich 10 − 2x + 8. Wer nur den ersten Summanden multipliziert und 10 − 2x − 4 schreibt, verrechnet sich. Prüfe deine Umformung mit einer Einsetzprobe: Setze für x eine einfache Zahl wie 2 in den alten und in den neuen Term ein. Kommt beide Male dasselbe heraus, hast du richtig umgeformt.

Der häufigste Fehler ist, vor einem Minuszeichen nur das erste Glied in der Klammer zu multiplizieren und das zweite zu vergessen. Bei 8 − 2(x − 3) muss die −2 auf beide Glieder wirken, das Ergebnis ist 8 − 2x + 6 = 14 − 2x, nicht 8 − 2x − 6. Ein zweiter Fehler ist, Terme mit unterschiedlichen Variablen trotzdem zusammenzufassen, etwa 4a + 7b fälschlich zu 11ab oder 11 zu vereinfachen.

Ein dritter Fehler passiert beim Ausklammern, wenn nicht der größte gemeinsame Faktor gewählt wird. Aus 12x + 18 wird dann zum Beispiel 2(6x + 9) statt 6(2x + 3). Das ist zwar nicht falsch, aber unvollständig, denn in der Klammer steckt noch ein weiterer gemeinsamer Faktor. Kontrolliere jedes Ausklammern durch erneutes Ausmultiplizieren.

Terme brauchst du überall dort, wo ein Preis oder eine Menge von einer unbekannten Anzahl abhängt: die Gesamtkosten eines Handyvertrags mit Grundgebühr und Minutenpreis, die Fläche eines Gartens mit variabler Breite, oder die Anzahl der Sitzplätze in einem Kinosaal mit mehreren gleich großen Reihen. Sobald du eine allgemeine Formel für viele mögliche Werte brauchst, steckt ein Term dahinter.

Für die Klassenarbeit hilft die Einsetzprobe enorm: Setze für die Variable eine einfache Zahl wie 1 oder 2 ein und rechne sowohl den Ausgangsterm als auch dein Ergebnis aus. Stimmen beide Werte überein, hast du sehr wahrscheinlich richtig umgeformt. Achte außerdem besonders auf Minuszeichen vor Klammern, denn dort entstehen die meisten Fehler in Klassenarbeiten.