Lineare Gleichungen lösen
In dieser Lektion lernst du, wie du eine Gleichung Schritt für Schritt nach x auflöst. Du arbeitest mit Äquivalenzumformungen, achtest auf die Vorzeichen beim Umstellen und prüfst dein Ergebnis mit einer Probe.
- Fach: Mathematik
- Klasse 8
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Die Gleichung als Waage
Eine Gleichung behauptet, dass zwei Terme denselben Wert haben. Stell sie dir als Waage vor: Links liegt der eine Term, rechts der andere, und die Waage steht im Gleichgewicht. Solange du auf beiden Seiten genau dasselbe tust – dieselbe Zahl addierst, subtrahierst, mit derselben Zahl multiplizierst oder durch sie teilst –, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen, weil sie die Lösungsmenge nicht verändern.
Linear heißt eine Gleichung, wenn x nur in der ersten Potenz vorkommt, also kein x² und kein x im Nenner. Solche Gleichungen haben meist genau eine Lösung. Im Alltag stecken sie hinter vielen Fragen: Ein Fitnessstudio kostet 20 € Aufnahme und 15 € im Monat. Nach wie vielen Monaten hast du 110 € bezahlt? Aus 20 + 15x = 110 folgt x = 6. Die Gleichung übersetzt die Frage in eine Rechnung, die du nach festen Regeln lösen kannst.
Das Ziel ist immer dasselbe: x soll allein auf einer Seite stehen. Dazu räumst du in einer festen Reihenfolge auf. Zuerst löst du Klammern auf und fasst auf jeder Seite zusammen. Danach bringst du alle Glieder mit x auf die eine Seite und alle reinen Zahlen auf die andere. Zum Schluss teilst du durch die Zahl, die noch vor dem x steht. Schreibe jede Umformung hinter einen senkrechten Strich, dann kannst du deinen Weg später nachvollziehen.
Der typische Fehler steckt in den Vorzeichen beim Umstellen. Wer bei 5x − 8 = 2x + 7 die 2x „nach links holt“, muss auf beiden Seiten 2x subtrahieren; links bleibt 3x − 8, rechts nur 7. Häufig wird das Vorzeichen dabei mitgenommen oder die andere Seite vergessen. Deshalb lohnt sich die Probe: Setze deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und rechne beide Seiten getrennt aus. Kommt links und rechts dieselbe Zahl heraus, stimmt das Ergebnis.
Was auf der einen Seite geschieht, geschieht auch auf der anderen
Alle Äquivalenzumformungen folgen dieser Idee: Du wendest denselben Rechenschritt auf beide Seiten an. Erlaubt sind Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren – dividieren allerdings nie durch null. Du wählst dabei immer die Gegenoperation: Eine Zahl, die addiert wird, entfernst du durch Subtrahieren, ein Faktor verschwindet durch Dividieren.
Ganz zum Schluss steht immer eine Division: Aus a · x = b wird x = b/a. Erst dann ist die Gleichung gelöst. Ist a negativ, teilst du auch durch die negative Zahl: Aus −4x = 12 wird x = −3.
Zwei Sonderfälle solltest du kennen. Fällt x beim Umformen komplett weg und bleibt eine falsche Aussage wie 0 = 5 stehen, hat die Gleichung keine Lösung. Bleibt eine wahre Aussage wie 0 = 0, ist jede Zahl eine Lösung.
- a
- Zahl, die vor dem x steht
- b
- Zahl auf der anderen Seite
- x
- gesuchte Variable
| Störender Term | Gegenoperation |
|---|---|
| + 8 auf einer Seite | auf beiden Seiten − 8 |
| − 5 auf einer Seite | auf beiden Seiten + 5 |
| Faktor 3 vor x | auf beiden Seiten : 3 |
| Faktor − 2 vor x | auf beiden Seiten : (−2) |
Beispiel 1: Eine Gleichung mit x auf beiden Seiten
Löse die Gleichung 5x − 8 = 2x + 7.
Gegeben:
- 5x − 82x + 7
Gesucht:
xLösung:
- Klammern gibt es keine, beide Seiten sind schon zusammengefasst.
- x-Glieder nach links: 5x − 82x + 7 | − 2x
- Es bleibt 3x − 8 = 7, rechts ist das x verschwunden.
- Zahlen nach rechts: 3x − 87 | + 8
- 3x15 | : 3
- x5
- Probe links: 5 · 5 − 8 = 17, Probe rechts: 2 · 5 + 7 = 17
Die Lösung ist x = 5. Sie stimmt, weil beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung auf beiden Seiten 17 herauskommt. Hättest du dich beim Umstellen im Vorzeichen vertan, wären die beiden Seiten verschieden gewesen.
Beispiel 2: Sonderfall ohne Lösung erkennen
Löse die Gleichung 2x + 3 = 2x + 7 und beschreibe, was auffällt.
Gegeben:
- 2x + 32x + 7
Gesucht:
xLösung:
- x-Glieder nach links: 2x + 32x + 7 | − 2x
- Es bleibt 3 = 7 stehen, das x ist auf beiden Seiten verschwunden.
- 3 = 7 ist eine falsche Aussage, unabhängig davon, welche Zahl x hätte.
Die Gleichung hat keine Lösung. Egal welchen Wert du für x einsetzt, links bleiben immer 4 mehr auf der rechten Seite. Erkennbar ist der Sonderfall daran, dass x komplett verschwindet und eine falsche Zahlenaussage übrig bleibt.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, beim Verschieben eines Glieds das Vorzeichen zu vergessen. Wird +5 auf die andere Seite gebracht, muss dort −5 stehen, nicht wieder +5. Schreibe deshalb immer die ganze Umformung mit, etwa | − 5, statt nur im Kopf zu rechnen.
Ein zweiter Fehler passiert bei Klammern: 3(x − 2) wird manchmal zu 3x − 2 statt richtig zu 3x − 6 ausmultipliziert, weil die Klammer nur auf den ersten Summanden angewendet wird. Jeder Summand in der Klammer muss mit der Zahl davor multipliziert werden.
Ein dritter Fehler betrifft das Dividieren durch negative Zahlen: Bei −4x = 12 muss durch −4 geteilt werden, viele Schüler teilen nur durch 4 und vergessen das Minuszeichen, wodurch x = −3 fälschlich zu x = 3 wird.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe hinter jede Zeile die durchgeführte Umformung, zum Beispiel | − 2x oder | : 3. So kann dein Lehrer den Rechenweg nachvollziehen, und du selbst erkennst Fehler leichter beim Kontrollieren.
Mache bei jeder Aufgabe die Probe, auch wenn sie nicht verlangt wird. Sie kostet nur eine Minute, sichert dir aber Punkte, weil du falsche Lösungen vor der Abgabe noch korrigieren kannst.
Jetzt bist du dran!
Löse: 4x + 9 = 25. Wie groß ist x?
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Gleichung bleibt richtig, solange du auf beiden Seiten dasselbe tust.
- Reihenfolge: Klammern lösen, zusammenfassen, x sortieren, zum Schluss dividieren.
- Schreibe jede Umformung hinter einen senkrechten Strich.
- Typischer Fehler: beim Umstellen das Vorzeichen vergessen oder nur eine Seite ändern.
- Die Probe durch Einsetzen zeigt sofort, ob deine Lösung stimmt.
- Fällt x beim Umformen weg, entscheidet die verbleibende Aussage: falsch bedeutet keine Lösung, wahr bedeutet unendlich viele Lösungen.
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Häufige Fragen zu Lineare Gleichungen lösen
- Wie löse ich eine Gleichung nach x auf?
- Du formst so lange um, bis x allein auf einer Seite steht. Löse zuerst Klammern auf und fasse jede Seite zusammen. Bringe dann alle x-Glieder auf eine Seite, indem du sie auf beiden Seiten subtrahierst oder addierst. Danach verschiebst du die reinen Zahlen auf die andere Seite. Zum Schluss teilst du durch den Vorfaktor von x und machst die Probe.
- Warum muss ich auf beiden Seiten dasselbe machen?
- Eine Gleichung sagt, dass beide Seiten gleich groß sind. Änderst du nur eine Seite, stimmt diese Aussage nicht mehr, und du bekommst eine falsche Lösung. Wenn du dagegen auf beiden Seiten dieselbe Zahl abziehst oder durch dieselbe Zahl teilst, bleiben beide Seiten gleich groß. Genau wie bei einer Waage, von der du links und rechts gleich viel Gewicht nimmst.
- Wie mache ich die Probe bei einer Gleichung?
- Setze deine Lösung für x in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine umgeformte Zeile. Rechne dann die linke und die rechte Seite getrennt aus. Kommt auf beiden Seiten dieselbe Zahl heraus, ist deine Lösung richtig. Unterscheiden sich die Werte, gehst du deinen Rechenweg Zeile für Zeile durch und achtest besonders auf Vorzeichen und Klammern.
- Kann eine lineare Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen haben?
- Ja. Verschwindet x beim Umformen und es bleibt eine falsche Aussage wie 3 = 7 stehen, gibt es keine Lösung. Das passiert etwa bei 2x + 3 = 2x + 7. Bleibt dagegen eine wahre Aussage wie 5 = 5, erfüllt jede Zahl die Gleichung, sie hat also unendlich viele Lösungen. In den meisten Schulaufgaben gibt es aber genau eine Lösung.
- In welcher Klasse lernt man lineare Gleichungen?
- Einfache Gleichungen wie 3x + 4 = 19 kommen oft schon in Klasse 7 vor. Gleichungen mit Klammern, mit x auf beiden Seiten und Textaufgaben sind in den meisten Bundesländern Stoff der Klassen 7 und 8. Darauf bauen lineare Gleichungssysteme und später quadratische Gleichungen auf, deshalb lohnt es sich, das sichere Umformen früh zu üben.
- Was mache ich, wenn eine Gleichung Klammern enthält?
- Löse zuerst jede Klammer auf, bevor du irgendetwas verschiebst. Dabei wird jeder Summand in der Klammer mit der Zahl davor multipliziert, bei 3(x − 2) also 3 · x und 3 · (−2), zusammen 3x − 6. Erst danach fasst du auf jeder Seite zusammen und beginnst mit den gewohnten Schritten: x-Glieder sortieren, Zahlen verschieben, dividieren.
- Warum kommt manchmal 0 = 0 statt eines Werts für x heraus?
- Das passiert, wenn beide Seiten der Gleichung nach dem Zusammenfassen identisch sind, wie bei 2x + 5 = 2x + 5. Sobald du x auf einer Seite entfernst, bleibt eine wahre Aussage wie 5 = 5 stehen. Das bedeutet, jede beliebige Zahl für x erfüllt die Gleichung, es gibt also unendlich viele Lösungen statt einer einzigen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.