Rechnen mit negativen Zahlen

Beim Zählen reichen die natürlichen Zahlen aus. Sobald du aber Temperaturen, Kontostände oder Höhen unter dem Meeresspiegel beschreiben willst, brauchst du Zahlen unter Null. Sie entstehen genau dort, wo du von einer kleinen Zahl eine große abziehst: 3 − 7 hat im Bereich der natürlichen Zahlen keine Lösung, mit negativen Zahlen ist das Ergebnis −4. Zusammen mit den Brüchen ergeben sie die rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lassen.

Am besten stellst du dir die Zahlengerade vor. Null liegt in der Mitte, nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner. Eine Addition ist ein Schritt nach rechts, eine Subtraktion ein Schritt nach links. Damit ist auch klar, warum −7 kleiner ist als −3: Sie liegt weiter links. Viele verwechseln das, weil 7 größer ist als 3 – bei negativen Zahlen dreht sich die Reihenfolge um. Denk an Temperaturen: −7 °C ist kälter als −3 °C.

Zu jeder Zahl gibt es eine Gegenzahl, die gleich weit von der Null entfernt ist, aber auf der anderen Seite liegt. Die Gegenzahl von 5 ist −5, die von −2 ist 2. Den Abstand zur Null nennt man Betrag, er ist nie negativ. Beim Multiplizieren rechnest du zuerst mit den Beträgen und bestimmst danach das Vorzeichen. Warum minus mal minus plus ergibt, zeigt eine Reihe: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Das Ergebnis wächst jedes Mal um 2, also ist (−1) · (−2) = 2.

Der häufigste Fehler betrifft die Doppelvorzeichen. In 5 − (−3) stehen zwei Minuszeichen hintereinander. Das erste gehört zur Rechnung, das zweite zur Zahl. „Die Gegenzahl abziehen“ bedeutet, in die andere Richtung zu gehen, also nach rechts: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Wer die beiden Minuszeichen übersieht, rechnet fälschlich 5 − 3 = 2.

Ein zweiter Fehler ist, die Regel „minus mal minus ergibt plus“ auf die Addition zu übertragen. −4 + (−6) ist keine Multiplikation, sondern eine Addition zweier negativer Zahlen, und das Ergebnis ist −10, nicht positiv. Die Vorzeichenregel für Malnehmen und Teilen gilt nicht automatisch für Plus und Minus.

Ein dritter Fehler ist die falsche Reihenfolge beim Vergleichen negativer Zahlen. Viele denken, −8 sei größer als −2, weil 8 größer ist als 2. Auf der Zahlengeraden liegt −8 aber weiter links und ist deshalb die kleinere Zahl. Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist sie tatsächlich.

Negative Zahlen sind dir vermutlich schon oft begegnet, ohne dass du groß darüber nachgedacht hast: bei der Wettervorhersage im Winter, wenn Temperaturen unter null Grad angezeigt werden, oder auf dem Kontoauszug, wenn mehr Geld ausgegeben als eingezahlt wurde. Auch Höhenangaben unter dem Meeresspiegel, etwa beim Toten Meer mit rund −430 Metern, werden mit negativen Zahlen beschrieben.

Im Sport tauchen negative Zahlen bei Tordifferenzen auf: Ein Verein mit 30 geschossenen und 42 kassierten Toren hat eine Tordifferenz von −12. Auch beim Höhenmesser eines Flugzeugs oder bei der Meerestiefe eines U-Boots rechnest du mit negativen Werten, sobald es unter eine festgelegte Nulllinie geht.

Für die Klassenarbeit hilft es, dir bei jeder Aufgabe kurz ein Bild zu machen: Steht dort ein Kontostand, eine Temperatur oder ein Höhenunterschied? Solche Vorstellungen machen abstrakte Vorzeichenregeln greifbar und helfen dir, ein Ergebnis auf Plausibilität zu prüfen, bevor du es aufschreibst.