Gebrochenrationale Funktionen
In dieser Lektion lernst du Funktionen kennen, bei denen die Variable im Nenner steht. Du bestimmst den Definitionsbereich, unterscheidest Polstellen von hebbaren Lücken und untersuchst das Verhalten am Rand mit Asymptoten. Das ist die Grundlage für viele Analysis-Aufgaben im Abitur.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Wenn die Variable im Nenner steht
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner Polynome sind, zum Beispiel f(x) = (x + 1)/(x − 2). Anders als bei ganzrationalen Funktionen ist der Definitionsbereich hier eingeschränkt, denn durch null darf niemals geteilt werden. Jede Nullstelle des Nenners muss deshalb aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
An diesen kritischen Stellen kann zweierlei passieren: Entweder der Graph läuft ins Unendliche, das nennt man Polstelle, oder es entsteht nur eine kleine Lücke, die sich durch Kürzen erklären lässt. Diese Unterscheidung ist der Kern jeder Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen und entscheidet über das Aussehen des Graphen an dieser Stelle.
Im Alltag begegnen dir solche Funktionen etwa bei Konzentrationsverläufen in der Chemie oder bei Durchschnittskosten in der Wirtschaft, wenn Fixkosten auf eine wachsende Stückzahl verteilt werden: Bei null Stück wäre die Funktion nicht definiert, weil man nicht durch null Stück teilen kann.
Ein typischer Fehler ist, den Definitionsbereich zu vergessen und einfach die Nullstellen der ganzen Funktion zu berechnen. Der Definitionsbereich betrifft aber ausschließlich den Nenner: Nur seine Nullstellen führen zu Einschränkungen, unabhängig davon, was im Zähler steht.
Polstelle oder hebbare Lücke?
Beide Fälle treten an einer Nullstelle des Nenners auf, unterscheiden sich aber im Verhalten des Zählers. Ist die Nullstelle des Nenners auch eine Nullstelle des Zählers und lässt sich der gemeinsame Faktor kürzen, bleibt nur eine kleine, hebbare Lücke übrig – der Graph verläuft dort fast normal weiter, nur der eine Punkt fehlt.
Bleibt der Nenner-Faktor dagegen stehen, weil er sich nicht kürzen lässt, entsteht eine Polstelle. Dort wächst der Funktionswert über alle Grenzen, entweder gegen plus oder gegen minus unendlich. Ob der Graph an einer Polstelle das Vorzeichen wechselt, hängt davon ab, ob der Nenner-Faktor mit ungerader oder gerader Potenz auftritt.
Hebbare Lücke
Der Faktor der Nennernullstelle kommt auch im Zähler vor und lässt sich kürzen.
Beispiele
- f(x) = (x − 2)/(x² − 4) hat bei x = 2 eine hebbare Lücke
- nach Kürzen: f(x) = 1/(x + 2)
Signalwörter
- gemeinsamer Faktor kürzbar
- Grenzwert existiert und ist endlich
- kleine Lücke im Graphen
Polstelle
Der Faktor der Nennernullstelle bleibt nach dem Kürzen bestehen.
Beispiele
- f(x) = 1/(x + 2) hat bei x = −2 eine Polstelle
- Graph läuft dort gegen plus oder minus unendlich
Signalwörter
- kein gemeinsamer Faktor
- Grenzwert existiert nicht
- senkrechte Asymptote
| Merkmal | Hebbare Lücke | Polstelle |
|---|---|---|
| Faktor im Nenner | kürzt sich mit dem Zähler | bleibt stehen |
| Graph am Punkt | kleine Lücke, sonst stetig | Graph läuft gegen unendlich |
| Grenzwert | existiert und ist endlich | existiert nicht |
Definitionslücke untersuchen
Untersuche f(x) = (x − 2)/(x² − 4) auf Definitionslücken und entscheide, ob es sich um Polstellen oder hebbare Lücken handelt.
Gegeben:
- f(x)x − 2x² − 4
Gesucht:
Art der Definitionslücken bei den NennernullstellenLösung:
- Nenner faktorisieren: x² − 4(x − 2) · (x + 2).
- Nennernullstellen ablesen: x2 und x−2.
- Gemeinsamen Faktor mit dem Zähler suchen: (x − 2) steht in Zähler und Nenner.
- Kürzen: f(x)x − 2(x − 2) · (x + 2)1(x + 2) für x ≠ 2.
- Ergebnis deuten: bei x = 2 hebbare Lücke, bei x = −2 echte Polstelle.
Die Funktion hat bei x = 2 eine hebbare Lücke, weil sich der Faktor (x − 2) kürzen lässt, und bei x = −2 eine Polstelle, weil der Faktor (x + 2) bestehen bleibt. Nach dem Kürzen verhält sich die Funktion wie 1/(x + 2), nur eben mit der Ausnahme bei x = 2.
Waagerechte Asymptote bestimmen
Bestimme die waagerechte Asymptote von f(x) = (2x² + 1)/(x² − 3).
Gegeben:
- f(x)2x² + 1x² − 3
Gesucht:
Waagerechte Asymptote für x gegen plus und minus unendlichLösung:
- Grad von Zähler und Nenner vergleichen: beide haben den Grad 2, sind also gleich groß.
- Bei gleichem Grad wird der Grenzwert durch das Verhältnis der führenden Koeffizienten bestimmt.
- Führende Koeffizienten ablesen: 2 im Zähler, 1 im Nenner.
- Verhältnis bilden: 2 durch 12.
Die waagerechte Asymptote ist y = 2. Für sehr große und sehr kleine x-Werte nähert sich der Graph dieser Geraden immer weiter an, ohne sie tatsächlich zu erreichen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, Zähler und Nenner ungekürzt zu betrachten und jede Nennernullstelle automatisch als Polstelle zu bezeichnen. Erst nach vollständiger Faktorisierung und Kürzung zeigt sich, ob wirklich eine Polstelle oder nur eine hebbare Lücke vorliegt.
Ein zweiter Fehler betrifft die waagerechte Asymptote: Schüler vergessen oft, dass sie nur existiert, wenn der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist. Ist der Zählergrad größer, gibt es stattdessen eine schräge Asymptote oder gar keine.
Ein dritter Fehler ist, die Definitionslücke aus dem Definitionsbereich zu streichen, sie aber beim Kürzen der Funktion völlig zu vergessen. Auch nach dem Kürzen bleibt die ursprüngliche Definitionslücke bestehen, weil die gekürzte Funktion nur eine vereinfachte Schreibweise der ursprünglichen Funktion ist.
Tipps fürs Abitur
Faktorisiere Zähler und Nenner grundsätzlich, bevor du irgendetwas über Definitionslücken oder Asymptoten aussagst. Das gilt besonders bei quadratischen Nennern, die sich oft über die dritte binomische Formel oder die pq-Formel zerlegen lassen.
Vergleiche für die waagerechte oder schräge Asymptote immer zuerst die Grade von Zähler und Nenner. Diese einfache Regel entscheidet sofort, welche Art von Asymptote überhaupt infrage kommt, bevor du in die eigentliche Rechnung einsteigst.
| Vergleich der Grade | Art der Asymptote | Bestimmung |
|---|---|---|
| Zählergrad kleiner als Nennergrad | waagerechte Asymptote y = 0 | Grenzwert ist null |
| Zählergrad gleich Nennergrad | waagerechte Asymptote | Verhältnis der führenden Koeffizienten |
| Zählergrad genau 1 größer | schräge Asymptote | Polynomdivision durchführen |
Jetzt bist du dran
Welcher Wert muss aus dem Definitionsbereich von f(x) = (x + 1)/(x − 3) ausgeschlossen werden?
Noch nicht. Der Nenner wird bei x = 3 gleich null, an dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert. Der Zähler spielt für den Definitionsbereich keine Rolle.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Definitionsbereich schließt alle Nullstellen des Nenners aus.
- Kürzt sich der Nennerfaktor mit dem Zähler, entsteht nur eine hebbare Lücke.
- Bleibt der Nennerfaktor stehen, entsteht eine echte Polstelle.
- Bei gleichem Grad von Zähler und Nenner ergibt sich die waagerechte Asymptote aus dem Verhältnis der führenden Koeffizienten.
- Ist der Zählergrad genau um eins größer als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Gebrochenrationale Funktionen
- Was ist eine gebrochenrationale Funktion?
- Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, bei dem die Variable auch im Nenner vorkommt, zum Beispiel f(x) = (x + 1)/(x − 2). Sie ist überall dort definiert, wo der Nenner nicht null wird. Anders als ganzrationale Funktionen hat sie deshalb einen eingeschränkten Definitionsbereich und oft Polstellen oder Asymptoten.
- Wie unterscheide ich Polstelle und hebbare Lücke?
- Faktorisiere Zähler und Nenner vollständig. Lässt sich der Faktor der Nennernullstelle mit einem Faktor im Zähler kürzen, bleibt nur eine hebbare Lücke übrig. Bleibt der Faktor nach dem Kürzen bestehen, liegt eine echte Polstelle vor, an der der Graph gegen unendlich läuft.
- Wie bestimme ich den Definitionsbereich?
- Setze den Nenner gleich null und löse die Gleichung. Alle Lösungen dieser Gleichung müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, unabhängig davon, was im Zähler steht. Der Definitionsbereich besteht dann aus allen reellen Zahlen ohne diese Ausnahmen.
- Was ist der Unterschied zwischen waagerechter und schräger Asymptote?
- Eine waagerechte Asymptote tritt auf, wenn der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist, und beschreibt einen festen y-Wert, dem sich der Graph annähert. Eine schräge Asymptote tritt auf, wenn der Zählergrad genau um eins größer ist als der Nennergrad, und wird durch Polynomdivision ermittelt.
- In welcher Klasse werden gebrochenrationale Funktionen behandelt?
- Gebrochenrationale Funktionen werden meist in der elften Klasse eingeführt, häufig im Zusammenhang mit Bruchgleichungen und Kurvendiskussionen. In der Oberstufe bleiben sie bis zum Abitur relevant, besonders bei Aufgaben zu Definitionsbereich, Grenzwerten und Asymptoten.
- Warum kann man an einer Polstelle nicht einfach den Grenzwert ausrechnen?
- An einer Polstelle wächst der Funktionswert über alle Grenzen, der Grenzwert existiert also im gewöhnlichen Sinn nicht. Man kann aber getrennt untersuchen, ob die Funktion von links und rechts gegen plus oder minus unendlich strebt, was man als einseitige Grenzwerte oder uneigentliche Grenzwerte bezeichnet.
- Wie erkenne ich einen Vorzeichenwechsel an einer Polstelle?
- Setze Werte knapp links und knapp rechts von der Polstelle in die Funktion ein. Ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses, liegt ein Vorzeichenwechsel vor, der Graph springt also von plus nach minus unendlich oder umgekehrt. Bleibt das Vorzeichen gleich, laufen beide Äste in dieselbe Richtung ins Unendliche.
- Muss ich bei jeder Aufgabe kürzen, auch wenn keine Lücke vermutet wird?
- Ja, das vollständige Faktorisieren und Prüfen auf gemeinsame Faktoren gehört zum Standardverfahren, weil man vorab nicht sicher weiß, ob eine hebbare Lücke existiert. Nur so vermeidest du, eine hebbare Lücke fälschlich als Polstelle zu bezeichnen oder umgekehrt.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.