Tangentengleichung
In dieser Lektion lernst du, wie du die Gleichung der Tangente an einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt aufstellst. Du nutzt dafür die Ableitung als Steigung und die Punkt-Steigungs-Form. Außerdem erfährst du, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Die Gerade, die den Graphen berührt
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung hat wie der Graph selbst. Anschaulich stellst du dir vor, du zoomst so nah an den Berührpunkt heran, dass der gekrümmte Graph fast wie eine gerade Linie aussieht: genau diese Linie ist die Tangente.
Um eine Tangentengleichung aufzustellen, brauchst du zwei Dinge: einen Punkt, durch den die Gerade verläuft, und ihre Steigung. Der Punkt ergibt sich aus der Funktion selbst, die Steigung aus der Ableitung an dieser Stelle. Damit ist die Aufgabe im Grunde eine Anwendung der Punkt-Steigungs-Form, die du schon von linearen Funktionen kennst.
Tangenten spielen im Alltag zum Beispiel bei der Beschreibung von Bewegungen eine Rolle: Die Tangente an eine Weg-Zeit-Kurve zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt die Momentangeschwindigkeit an dieser Stelle. Auch beim Skifahren folgt die Ski-Spur im Moment jedes Punktes der Tangentenrichtung der Piste.
Ein häufiger Fehler beim Einstieg ist, die Steigung mit dem Funktionswert zu verwechseln. Die Steigung im Punkt x₀ ist immer f'(x₀), niemals f(x₀). Wer diese beiden Werte vertauscht, erhält eine Gerade mit falscher Neigung, auch wenn der Berührpunkt selbst richtig berechnet wurde.
Die Punkt-Steigungs-Form der Tangente
Die Tangentengleichung im Punkt x₀ ergibt sich aus der Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. Als Steigung setzt du f'(x₀) ein, als Punkt den Berührpunkt (x₀ | f(x₀)). Danach löst du die Gleichung nach y auf und erhältst die fertige Tangentengleichung in der Form y = m · x + b.
Verwandt mit der Tangente ist die Normale: Sie steht im Berührpunkt senkrecht zur Tangente. Ihre Steigung ergibt sich aus der Beziehung, dass das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden gleich minus eins ist. Die Normale wird seltener gefragt als die Tangente, taucht aber in manchen Abituraufgaben zu Spiegelungen oder Lichtbrechung auf.
- x
- laufende Koordinate der Tangente
- y
- laufende Koordinate der Tangente
- f
- Funktion, deren Graph berührt wird
| Merkmal | Tangente | Normale |
|---|---|---|
| Steigung | f'(x₀) | −1 durch f'(x₀) |
| Lage zueinander | berührt den Graphen | steht senkrecht zur Tangente |
| Berührpunkt | (x₀ | f(x₀)) | gleicher Punkt (x₀ | f(x₀)) |
| Sonderfall | waagerecht bei f'(x₀) = 0 | senkrecht bei f'(x₀) = 0 |
Tangente an eine Parabel
Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x) = x² im Punkt mit x₀ = 1.
Gegeben:
- f(x)x²
- x₀1
Gesucht:
Tangentengleichung im Punkt x₀1Lösung:
- Berührpunkt berechnen: f(1) = 1² = 1, also Punkt P(1 | 1).
- Ableitung bilden: f'(x)2x.
- Steigung berechnen: f'(1)2 · 12.
- Punkt-Steigungs-Form aufstellen: y − 1 = 2 · (x − 1).
- Gleichung nach y auflösen: y2x − 2 + 12x − 1.
Die Tangente lautet y = 2x − 1. Setzt du zur Probe x = 1 ein, erhältst du y = 2 · 1 − 1 = 1, also genau den Berührpunkt P(1 | 1) – die Probe bestätigt das Ergebnis.
Berührpunkt zu einer vorgegebenen Steigung finden
An welcher Stelle hat der Graph von f(x) = x² − 4x + 5 eine Tangente mit der Steigung 2, und wie lautet ihre Gleichung?
Gegeben:
- f(x)x² − 4x + 5
- gesuchte Steigung m2
Gesucht:
Berührstelle x₀ und TangentengleichungLösung:
- Ableitung bilden: f'(x)2x − 4.
- f'(x) mit der vorgegebenen Steigung gleichsetzen: 2x − 4 = 2.
- Nach x auflösen: 2x6, also x₀3.
- Funktionswert berechnen: f(3) = 9 − 12 + 5 = 2, also Punkt (3 | 2).
- Tangentengleichung aufstellen: y − 22 · (x − 3), also y2x − 4.
Die Tangente mit der Steigung 2 berührt den Graphen im Punkt (3 | 2) und hat die Gleichung y = 2x − 4. Diese Aufgabenart dreht die übliche Reihenfolge um: Erst wird über die Steigung die Stelle x₀ gesucht, danach die Tangente wie gewohnt bestimmt.
Typische Fehler
Der klassische Fehler ist, in die Punkt-Steigungs-Form versehentlich den Funktionswert als Steigung einzusetzen oder umgekehrt. Kontrolliere deshalb immer, dass die Zahl vor der Klammer aus f'(x₀) stammt und die Zahl auf der linken Seite aus f(x₀).
Ein zweiter Fehler passiert beim Auflösen der Klammer: y − y₀ = m · (x − x₀) wird oft falsch ausmultipliziert, etwa mit einem Vorzeichenfehler bei −m · x₀. Schreibe die Klammer lieber in einem separaten Zwischenschritt aus, bevor du y₀ addierst.
Ein dritter Fehler betrifft die Normale: Viele Schüler vergessen bei der Steigung der Normalen den Kehrwert zu bilden und schreiben nur das Vorzeichen um. Die Steigung der Normalen ist aber der negative Kehrwert der Tangentensteigung, nicht nur ihr Negatives.
Tipps fürs Abitur
Lege dir eine feste Routine zurecht: erst Ableitung bilden, dann x₀ einsetzen für die Steigung, dann x₀ in f einsetzen für den Berührpunkt, zuletzt die Punkt-Steigungs-Form aufstellen. Wer diese Reihenfolge einhält, vergisst seltener einen Schritt.
Mache am Ende immer eine Punktprobe: Setze x₀ in deine fertige Tangentengleichung ein. Kommt wieder der Funktionswert f(x₀) heraus, ist die Rechnung mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig. Diese Kontrolle dauert nur wenige Sekunden, deckt aber die meisten Fehler auf.
| Schritt | Was du berechnest | Beispielwert |
|---|---|---|
| 1 | Berührpunkt f(x₀) | f(1) = 1 |
| 2 | Ableitung f'(x) | f'(x) = 2x |
| 3 | Steigung f'(x₀) | f'(1) = 2 |
| 4 | Tangentengleichung aufstellen | y = 2x − 1 |
Jetzt bist du dran
Welche Größe entspricht der Steigung der Tangente im Punkt x₀?
Noch nicht. Die Steigung der Tangente ist immer die erste Ableitung an der Stelle x₀. f(x₀) liefert dagegen nur die Höhe des Berührpunkts.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Tangentensteigung im Punkt x₀ ist f'(x₀), die Höhe ist f(x₀).
- Die Tangentengleichung folgt aus y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀).
- Die Normale steht senkrecht zur Tangente, ihre Steigung ist −1 durch f'(x₀).
- Bei vorgegebener Steigung setzt du f'(x) mit dieser Steigung gleich und löst nach x₀ auf.
- Eine Punktprobe mit x₀ deckt die häufigsten Rechenfehler zuverlässig auf.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Tangentengleichung
- Wie berechne ich die Gleichung einer Tangente?
- Du bestimmst zuerst den Berührpunkt (x₀ | f(x₀)) und die Steigung f'(x₀). Beide Werte setzt du in die Punkt-Steigungs-Form y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀) ein und löst nach y auf. Damit hast du die Tangentengleichung in der vertrauten Form y = m · x + b.
- Was ist der Unterschied zwischen Tangente und Sekante?
- Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Rückt man bei einer Sekante den zweiten Schnittpunkt immer näher an den ersten heran, geht die Sekantensteigung im Grenzwert in die Tangentensteigung über – das ist die anschauliche Idee hinter der Ableitung.
- Was ist eine Normale?
- Die Normale ist die Gerade, die im Berührpunkt senkrecht zur Tangente steht. Ihre Steigung ergibt sich als negativer Kehrwert der Tangentensteigung: −1 durch f'(x₀). Normalen werden seltener gefragt als Tangenten, tauchen aber bei Aufgaben zu senkrechten Geraden oder Spiegelungen auf.
- Wie finde ich die Stelle, an der eine Tangente eine bestimmte Steigung hat?
- Setze die Ableitung f'(x) mit der vorgegebenen Steigung gleich und löse die entstehende Gleichung nach x auf. Die Lösung ist die gesuchte Stelle x₀. Anschließend berechnest du wie gewohnt den Berührpunkt und stellst die Tangentengleichung auf.
- Was bedeutet es, wenn die Tangente waagerecht ist?
- Eine waagerechte Tangente liegt genau dort vor, wo f'(x₀) = 0 ist. Das ist zugleich die notwendige Bedingung für einen Hoch- oder Tiefpunkt des Graphen. Die Tangentengleichung vereinfacht sich in diesem Fall zu y = f(x₀), also einer konstanten Funktion.
- In welcher Klasse lernt man Tangentengleichungen?
- Tangentengleichungen werden meist in der elften Klasse direkt nach den Ableitungsregeln eingeführt, weil sie eine der ersten praktischen Anwendungen der Ableitung sind. Das Thema bleibt danach bis zum Abitur relevant, etwa bei Kurvendiskussionen und Extremwertaufgaben.
- Kann eine Funktion mehrere Tangenten durch denselben Punkt haben?
- Ja, wenn der Punkt nicht auf dem Graphen selbst liegt, kann es mehrere Tangenten geben, die durch diesen Punkt verlaufen und den Graphen an unterschiedlichen Stellen berühren. Solche Aufgaben heißen Tangenten von einem externen Punkt aus und führen meist auf eine Gleichung mit mehreren Lösungen für x₀.
- Warum ist die Punktprobe am Ende so wichtig?
- Setzt du x₀ in die fertige Tangentengleichung ein, muss wieder der Funktionswert f(x₀) herauskommen, denn die Tangente verläuft ja genau durch den Berührpunkt. Stimmt das Ergebnis nicht überein, liegt irgendwo in der Rechnung ein Fehler, meist beim Ausmultiplizieren der Klammer.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.