Wendepunkte berechnen und bestimmen
Wendepunkte berechnest du, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt und mit der dritten Ableitung prüfst, ob sich die Krümmung wirklich ändert. In dieser Lektion lernst du die notwendige und die hinreichende Bedingung, rechnest zwei Beispiele vor und erfährst, was ein Sattelpunkt ist und welche Fehler du vermeiden kannst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Wendepunkte berechnen: Wo die Krümmung wechselt
Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Graphen, an dem sich die Krümmung ändert: Die Kurve wechselt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Du findest ihn, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt und prüfst, ob sich an der Stelle das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert.
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad auf einer S-förmigen Straße. Erst lenkst du nach links, dann nach rechts. Genau an der Stelle dazwischen fährst du für einen Augenblick geradeaus. Das ist der Wendepunkt. An dieser Stelle ist die Kurve weder nach links noch nach rechts gekrümmt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung. Ist f''(x) größer als null, ist der Graph linksgekrümmt, ist sie kleiner als null, ist er rechtsgekrümmt. Ein Wendepunkt liegt also dort, wo f'' das Vorzeichen wechselt. Die Steigung der Kurve ist an dieser Stelle am größten oder am kleinsten.
Wendepunkte berechnen: notwendige und hinreichende Bedingung
Die notwendige Bedingung lautet f''(x) = 0. Jede Wendestelle muss diese Gleichung erfüllen. Sie genügt aber noch nicht, denn es gibt Stellen mit f''(x) = 0, an denen sich die Krümmung nicht ändert. Diese Stellen musst du aussortieren.
Die hinreichende Bedingung lautet f'''(x) ≠ 0. Ist an einer Stelle mit f''(x) = 0 zusätzlich die dritte Ableitung ungleich null, liegt dort sicher ein Wendepunkt. Alternativ prüfst du, ob f'' an der Stelle das Vorzeichen wechselt. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.
Zum Schluss berechnest du den y-Wert, indem du die Wendestelle in die ursprüngliche Funktion f einsetzt, nicht in eine Ableitung. Der Wendepunkt ist dann W(x|y). Hat der Wendepunkt zusätzlich eine waagerechte Tangente, also f'(x) = 0, heißt er Sattelpunkt oder Terrassenpunkt.
- f
- die gegebene Funktion mit ihren Ableitungen
- x
- die gesuchte Wendestelle
- W
- Wendepunkt mit Koordinaten W(x|y)
| Merkmal | Extrempunkt | Wendepunkt |
|---|---|---|
| notwendig | f'(x) = 0 | f''(x) = 0 |
| hinreichend | f''(x) ≠ 0 | f'''(x) ≠ 0 |
| Bedeutung | Steigung wechselt das Vorzeichen | Krümmung wechselt das Vorzeichen |
| Steigung dort | gleich 0 | am größten oder am kleinsten |
Beispiel 1: Wendepunkt von f(x) = x³ − 6x² + 9x
Bestimme den Wendepunkt des Graphen von f(x) = x³ − 6x² + 9x und gib die Gleichung der Wendetangente an.
Gegeben:
- f(x)x³ − 6x² + 9x
Gesucht:
Wendepunkt W und WendetangenteLösung:
- Ableitungen bilden: f'(x)3x² − 12x + 9, f''(x)6x − 12 und f'''(x)6.
- Notwendige Bedingung: 6x − 120 ergibt x2.
- Hinreichende Bedingung: f'''(2) = 6 ≠ 0, also ist x = 2 eine Wendestelle.
- y-Wert: f(2) = 8 − 24 + 18 = 2. Steigung der Wendetangente: f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3, also y = −3x + c mit 2 = −6 + c und c = 8.
Der Wendepunkt ist W(2|2). Die Wendetangente hat die Gleichung y = −3x + 8. Für x < 2 ist f'' negativ, der Graph ist rechtsgekrümmt, für x > 2 ist f'' positiv, der Graph ist linksgekrümmt.
Beispiel 2: Zwei Wendepunkte und ein Sattelpunkt bei f(x) = x⁴ − 4x³
Bestimme die Wendepunkte von f(x) = x⁴ − 4x³ und prüfe, ob einer davon ein Sattelpunkt ist.
Gegeben:
- f(x)x⁴ − 4x³
Gesucht:
Alle Wendepunkte und der SattelpunktLösung:
- Ableitungen: f'(x)4x³ − 12x², f''(x)12x² − 24x12x · (x − 2) und f'''(x)24x − 24.
- Notwendige Bedingung: 12x · (x − 2) = 0 ergibt x = 0 oder x = 2.
- Hinreichende Bedingung: f'''(0) = −24 ≠ 0 und f'''(2) = 24 ≠ 0. Beide Stellen sind Wendestellen.
- y-Werte: f(0) = 0 und f(2) = 16 − 32 = −16. Steigungen: f'(0) = 0 und f'(2) = 32 − 48 = −16.
Die Wendepunkte sind W₁(0|0) und W₂(2|−16). Wegen f'(0) = 0 hat der Graph in W₁ eine waagerechte Tangente, W₁ ist also ein Sattelpunkt. In W₂ hat der Graph die Steigung −16, dort fällt er am steilsten.
Typische Fehler bei Wendepunkten
Der häufigste Fehler ist, f''(x) = 0 für ausreichend zu halten. Bei f(x) = x⁴ ist f''(x) = 12x² gleich null bei x gleich 0, aber f'' bleibt auf beiden Seiten positiv. Es gibt dort keinen Krümmungswechsel und damit keinen Wendepunkt. Auch die dritte Ableitung ist an dieser Stelle null, die hinreichende Bedingung schlägt fehl.
Der zweite Fehler ist, den y-Wert falsch zu berechnen. Die Wendestelle musst du in die Ausgangsfunktion f einsetzen. Setzt du sie in f' oder f'' ein, erhältst du die Steigung oder die Krümmung, aber nicht die Höhe des Punktes. Auch die Verwechslung mit Extrempunkten kommt vor.
Der dritte Fehler ist, Wendepunkt und Sattelpunkt durcheinanderzubringen. Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, aber nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt hat zusätzlich die Steigung null. Prüfe deshalb mit f'(x), ob die Tangente waagerecht ist.
Wendepunkte im Alltag und Tipps für die Klassenarbeit
Wendepunkte haben eine wichtige Bedeutung: Dort ändert sich die Steigung am schnellsten. Beschreibt eine Funktion zum Beispiel das Wachstum einer Pflanze oder die Ausbreitung einer Krankheit, markiert der Wendepunkt den Zeitpunkt des stärksten Wachstums. Danach wird das Wachstum langsamer.
In Klassenarbeiten gehören Wendepunkte zur Kurvendiskussion. Oft sollst du zusätzlich die Wendetangente aufstellen oder die Gleichung einer Funktion bestimmen, die einen vorgegebenen Wendepunkt hat. Rechne dann rückwärts, indem du die Bedingungen f''(x) = 0 und f(x) = y als Gleichungen aufschreibst.
Gehe immer nach demselben Plan vor: Ableitungen bilden, f'' gleich null setzen, die Lösungen mit f''' prüfen, y-Werte berechnen und den Punkt aufschreiben. Wenn eine Funktion mehrere Nullstellen von f'' hat, prüfe jede einzeln. Schreibe den Wendepunkt immer als Punkt mit beiden Koordinaten auf.
Jetzt bist du dran!
Welche Bedingung ist notwendig für eine Wendestelle?
Noch nicht. Eine Wendestelle ist eine Stelle, an der sich die Krümmung ändert. Die Krümmung wird durch die zweite Ableitung beschrieben, deshalb muss f''(x) null sein.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich die Krümmung des Graphen ändert.
- Notwendig ist f''(x) = 0, hinreichend ist zusätzlich f'''(x) ≠ 0 oder ein Vorzeichenwechsel von f''.
- Den y-Wert des Wendepunkts berechnest du mit der Ausgangsfunktion f.
- Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit f'(x) = 0, also mit waagerechter Tangente.
- Die Steigung ist im Wendepunkt am größten oder am kleinsten.
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Häufige Fragen zu Wendepunkte berechnen und bestimmen
- Wie berechnet man Wendepunkte?
- Du bildest die ersten drei Ableitungen, setzt f''(x) gleich null und löst nach x auf. Mit f'''(x) ungleich null bestätigst du die Wendestelle. Zum Schluss setzt du x in die Ausgangsfunktion ein und erhältst den y-Wert des Wendepunkts.
- Was ist ein Wendepunkt?
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Graphen, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert, also von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt. Dort ist die Steigung der Kurve am größten oder am kleinsten.
- Was ist der Unterschied zwischen Wendepunkt und Extrempunkt?
- Ein Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt, dort ist die Steigung null und wechselt das Vorzeichen. Ein Wendepunkt ist eine Stelle mit Krümmungswechsel, dort ist die zweite Ableitung null. Extrempunkte findest du mit f', Wendepunkte mit f''.
- Was ist ein Sattelpunkt?
- Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Dort gilt f'(x) = 0 und f''(x) = 0, der Graph hat aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Ein Beispiel ist der Ursprung bei f(x) = x³.
- Wie bestimmt man die Wendetangente?
- Du berechnest die Steigung m als f'(x) an der Wendestelle und setzt den Wendepunkt in y = m · x + c ein, um c zu bestimmen. Bei W(2|2) und f'(2) = −3 erhältst du so die Tangente y = −3x + 8.
- Warum reicht f''(x) = 0 nicht für einen Wendepunkt?
- Weil die zweite Ableitung an einer Stelle null sein kann, ohne dass sie das Vorzeichen wechselt. Bei f(x) = x⁴ ist f''(0) = 0, aber f'' bleibt positiv, es gibt keinen Wendepunkt. Deshalb brauchst du die hinreichende Bedingung.
- Wie viele Wendepunkte hat eine Funktion dritten Grades?
- Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt, denn ihre zweite Ableitung ist linear und hat genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Er liegt zugleich im Symmetriepunkt des Graphen.
- In welcher Klasse lernt man Wendepunkte?
- Wendepunkte werden meist in Klasse 11 im Rahmen der Kurvendiskussion behandelt, nachdem die ersten Ableitungen und die Extrempunkte bekannt sind. Sie gehören zum Standardstoff im Abitur.
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