Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Prüfen, Knick und Beispiele
Stetigkeit und Differenzierbarkeit zeigen, ob der Graph einer Funktion zusammenhängt und glatt verläuft. Du lernst die Definitionen, das Prüfverfahren an der Nahtstelle und die Bestimmung von Parametern. Zwei vorgerechnete Beispiele und fünf Aufgaben festigen das Thema.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Wann ist ein Graph glatt?
Stetigkeit und Differenzierbarkeit beschreiben, wie glatt der Graph einer Funktion verläuft. Eine Funktion ist stetig, wenn du ihren Graphen ohne Absetzen zeichnen kannst, und differenzierbar, wenn der Graph zusätzlich keinen Knick hat. Differenzierbar ist also die stärkere Eigenschaft: Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar.
Mathematisch prüfst du die Stetigkeit an einer Stelle x₀ mit Grenzwerten. Die Funktion ist dort stetig, wenn der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert alle gleich sind. Sprünge und Lücken im Graphen machen eine Funktion unstetig. Typische Fälle sind Polstellen und abschnittsweise definierte Funktionen mit Sprung.
Differenzierbarkeit heißt, dass der Differenzenquotient an der Stelle einen Grenzwert hat, den du als Steigung der Tangente deuten kannst. Das klappt nur, wenn der Graph dort nicht knickt und keine senkrechte Tangente hat. Der Betrag von x ist ein bekanntes Beispiel: Er ist überall stetig, aber an der Stelle 0 hat er einen Knick und ist dort nicht differenzierbar.
| Eigenschaft | Bedeutung | Graph |
|---|---|---|
| stetig | Grenzwert gleich Funktionswert | ohne Sprung und Lücke |
| differenzierbar | Ableitung existiert | ohne Knick, glatt |
| unstetig | Sprung, Lücke oder Pol | Graph reißt ab |
| Knick | stetig, nicht differenzierbar | Spitze wie beim Betrag |
Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Definition und Prüfverfahren
Stetigkeit an der Stelle x₀: Die Funktion f ist dort stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und mit f(x₀) übereinstimmt. Bei abschnittsweise definierten Funktionen berechnest du den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert getrennt und vergleichst beide mit dem Funktionswert.
Differenzierbarkeit an der Stelle x₀: f ist dort differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten (f(x₀ + h) − f(x₀)) : h für h gegen 0 existiert. Bei abschnittsweise definierten Funktionen vergleichst du links- und rechtsseitige Ableitung. Sind beide gleich, ist f differenzierbar, sonst hat der Graph einen Knick.
Die Reihenfolge ist wichtig: Prüfe zuerst die Stetigkeit. Ist f nicht stetig, kannst du sofort aufhören, denn dann ist f auch nicht differenzierbar. Ist f stetig, vergleichst du im zweiten Schritt die Ableitungen beider Teilfunktionen an der Nahtstelle.
- f
- Funktion, die du untersuchst
- x
- Variable, die gegen die Stelle x₀ läuft
Beispiel 1: Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen
Untersuche f(x) = x² + 1 für x < 2 und f(x) = 2x + 1 für x ≥ 2 an der Stelle x₀ = 2 auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Gegeben:
- f(x)x² + 1 für x < 2
- f(x)2x + 1 für x ≥ 2
Gesucht:
Stetig? Differenzierbar?Lösung:
- Funktionswert: f(2)2 · 2 + 15.
- Linksseitiger Grenzwert: Für x < 2 gilt f(x) = x² + 1, also 2² + 1 = 5. Rechtsseitiger Grenzwert: 2 · 2 + 1 = 5. Beide stimmen mit f(2) überein, f ist stetig bei 2.
- Ableitungen: Links gilt f'(x) = 2x, an der Stelle 2 also 4. Rechts gilt f'(x) = 2.
- Die Steigungen 4 und 2 sind verschieden. Der Graph hat bei x = 2 einen Knick.
f ist an der Stelle 2 stetig, aber nicht differenzierbar. Der Graph hat dort einen Knick: Links steigt er mit der Steigung 4, rechts nur noch mit der Steigung 2.
Beispiel 2: Parameter für Differenzierbarkeit bestimmen
Gegeben ist f(x) = x² für x ≤ 1 und f(x) = ax + b für x > 1. Bestimme a und b so, dass f an der Stelle 1 differenzierbar ist.
Gegeben:
- f(x)x² für x ≤ 1
- f(x)ax + b für x > 1
Gesucht:
Werte für a und bLösung:
- Bedingung Stetigkeit: Der linke Grenzwert ist 1² = 1, der rechte ist a · 1 + b. Also muss a + b = 1 gelten.
- Bedingung Differenzierbarkeit: Die linke Ableitung ist 2x, bei x = 1 also 2. Die rechte Ableitung ist a. Also muss a = 2 sein.
- Einsetzen: a2 in a + b1 ergibt b1 − 2−1.
- Probe: Die rechte Zeile lautet 2x − 1, bei x = 1 ergibt sich 1, wie gefordert. Die Steigung beträgt 2, auch wie gefordert.
Mit a = 2 und b = −1 ist f an der Stelle 1 differenzierbar. Die Gerade y = 2x − 1 ist dort die Tangente an die Parabel y = x². Das ist typisch: Ein glatter Übergang bedeutet gleiche Werte und gleiche Steigungen.
| Bedingung | Gleichung | Folge |
|---|---|---|
| Stetigkeit | a + b = 1 | gleicher Funktionswert |
| Differenzierbarkeit | a = 2 | gleiche Steigung |
| Lösung | a = 2, b = −1 | Gerade y = 2x − 1 |
Typische Fehler bei Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Der häufigste Fehler ist, die Differenzierbarkeit zu prüfen, ohne vorher die Stetigkeit abzusichern. Hat der Graph an der Nahtstelle einen Sprung, ist die Funktion dort nicht differenzierbar. Prüfe immer zuerst die Funktionswerte und Grenzwerte.
Der zweite Fehler ist, die Funktionswerte beider Teile zu vergleichen, aber die Ableitungen zu vergessen. Gleiche Funktionswerte genügen nur für die Stetigkeit. Für die Differenzierbarkeit müssen auch die Steigungen links und rechts gleich sein. Das gilt besonders bei Aufgaben mit Parametern, bei denen du zwei Gleichungen brauchst.
Der dritte Fehler ist, die Ableitung der falschen Teilfunktion einzusetzen. Bei f(x) = x² für x ≤ 1 leitest du x² ab, nicht die Funktion der anderen Zeile. Auch wird oft der Betrag mit der Wurzelfunktion verwechselt: Beim Betrag gibt es einen Knick, bei der Wurzel an der Stelle 0 eine senkrechte Tangente, und in beiden Fällen existiert keine Ableitung.
Stetigkeit und Differenzierbarkeit in Klausur und Alltag
In Klausuren der Qualifikationsphase kommen abschnittsweise definierte Funktionen vor: Untersuche f an der Nahtstelle auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit oder bestimme Parameter so, dass der Übergang glatt ist. Schreibe jeden Grenzwert getrennt auf und begründe deine Schlussfolgerung in einem Satz, zum Beispiel: Links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen überein, also ist f stetig.
Auch Begründungen mit dem Graphen sind beliebt. Ein Sprung bedeutet unstetig, ein Knick bedeutet nicht differenzierbar, eine senkrechte Tangente bedeutet nicht differenzierbar. Lerne diese drei Merkbilder, damit du Aufgaben mit Skizze sicher beantwortest.
Im Alltag spielen glatte Übergänge bei Straßen, Schienen und Achterbahnen eine große Rolle. Ein Knick in der Gleisführung würde einen Ruck erzeugen, ein Sprung wäre sogar unmöglich. Ingenieure verlangen deshalb oft, dass Funktionen, die einen Verlauf beschreiben, nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar oder sogar zweimal differenzierbar sind.
Jetzt bist du dran!
Welche Aussage ist richtig?
Noch nicht. Wo eine Ableitung existiert, kann der Graph nicht springen, also ist die Funktion dort stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Der Betrag von x hat bei 0 einen Knick und ist trotzdem stetig.
Das Wichtigste in Kürze
- Stetig heißt: Der Graph hat keinen Sprung. Der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein.
- Differenzierbar heißt: Die Ableitung existiert, der Graph hat keinen Knick und keine senkrechte Tangente.
- Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar, wie der Betrag von x zeigt.
- Bei abschnittsweise definierten Funktionen vergleichst du an der Nahtstelle erst die Funktionswerte, dann die Ableitungen.
- Typischer Fehler: Stetigkeit schon für Differenzierbarkeit halten oder die Ableitungen nicht vergleichen.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit: Prüfen, Knick und Beispiele
- Was bedeutet stetig?
- Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph keinen Sprung und keine Lücke hat. Mathematisch muss an jeder Stelle x₀ der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existieren und gleich f(x₀) sein. Anschaulich zeichnest du den Graphen, ohne den Stift abzusetzen.
- Was bedeutet differenzierbar?
- Eine Funktion ist an einer Stelle differenzierbar, wenn dort die Ableitung existiert, also der Differenzenquotient einen Grenzwert hat. Der Graph hat an dieser Stelle eine eindeutige Tangente und keinen Knick oder Sprung.
- Was ist der Unterschied zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
- Stetigkeit verlangt nur, dass der Graph zusammenhängt. Differenzierbarkeit verlangt zusätzlich, dass er keinen Knick hat und keine senkrechte Tangente. Daher ist jede differenzierbare Funktion stetig, aber nicht umgekehrt.
- Wie prüfe ich die Stetigkeit einer Funktion?
- Du berechnest den Funktionswert, den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert an der kritischen Stelle. Sind alle drei Werte gleich, ist die Funktion dort stetig. Bei Polstellen und Sprüngen ist das nicht der Fall.
- Wie prüfe ich die Differenzierbarkeit?
- Du bildest die Ableitung beider Teilfunktionen und setzt die Nahtstelle ein. Stimmen die Steigungen links und rechts überein und ist die Funktion stetig, ist sie differenzierbar. Sonst hat der Graph einen Knick.
- Warum ist der Betrag von x bei 0 nicht differenzierbar?
- Links von 0 hat der Graph die Steigung −1, rechts die Steigung +1. Weil die beiden Steigungen verschieden sind, hat der Differenzenquotient keinen gemeinsamen Grenzwert. Es gibt keine eindeutige Tangente, nur eine Spitze.
- Kann eine stetige Funktion Ecken haben?
- Ja. Eine Ecke oder ein Knick stört die Stetigkeit nicht, solange der Graph zusammenhängt. Beispiele sind die Betragsfunktion und abschnittsweise lineare Funktionen. Solche Funktionen sind stetig, aber an den Ecken nicht differenzierbar.
- In welcher Klasse lernt man Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
- Die Begriffe stehen in der Qualifikationsphase, meist in Klasse 12. Sie bauen auf Grenzwerten und der Ableitung aus Klasse 11 auf. Je nach Bundesland gehören sie zu den Pflichtthemen im Abitur oder zum Leistungskursniveau.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.