Betragsfunktion
Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl ihren Abstand zur Null zu und liefert deshalb niemals einen negativen Wert. In dieser Lektion lernst du, wie die Betragsfunktion definiert ist, wie ihr charakteristischer V-förmiger Graph entsteht und wie du Funktionswerte mit einer Fallunterscheidung berechnest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Die Betragsfunktion: Abstand zur Null als Funktionsvorschrift
Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl x den Betrag von x zu, geschrieben als f von x gleich Betrag von x. Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren Abstand zur Null auf der Zahlengeraden und ist deshalb niemals negativ, egal ob die ursprüngliche Zahl positiv oder negativ war.
Anschaulich bedeutet das: Betrag von 5 ist 5, weil 5 den Abstand 5 zur Null hat, und Betrag von minus 5 ist ebenfalls 5, weil auch minus 5 den Abstand 5 zur Null hat. Nur bei der Zahl Null selbst ist der Betrag ebenfalls Null.
Der Graph der Betragsfunktion sieht aus wie ein großes V mit der Spitze im Ursprung. Für negative x-Werte fällt der Graph wie die Gerade y gleich minus x, für positive x-Werte steigt er wie die Gerade y gleich x.
Definition der Betragsfunktion
Die Betragsfunktion wird mit einer Fallunterscheidung definiert: Für x größer oder gleich Null gilt f von x gleich x, für x kleiner Null gilt f von x gleich minus x. Diese zweite Zeile sorgt dafür, dass aus einer negativen Zahl durch das Minuszeichen eine positive Zahl wird.
Diese Fallunterscheidung ist der Grund, warum der Graph der Betragsfunktion an der Stelle x gleich Null einen Knick hat: Links vom Ursprung wird die Gerade y gleich minus x gezeichnet, rechts davon die Gerade y gleich x, und beide Geradenstücke treffen sich genau im Ursprung.
Verschiebt man das Argument der Betragsfunktion, etwa zu f von x gleich Betrag von (x minus a), verschiebt sich auch der Knickpunkt des Graphen auf die Stelle x gleich a. Diese Eigenschaft ist nützlich, um Abstandsfunktionen zu beliebigen Punkten zu beschreiben.
- f
- die Betragsfunktion
- x
- die Eingabezahl
- a
- Verschiebung des Knickpunkts bei Betrag von (x minus a)
| x | f von x gleich Betrag von x |
|---|---|
| minus 4 | 4 |
| minus 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 2 | 2 |
| 5 | 5 |
Beispiel 1: Funktionswerte der Betragsfunktion berechnen
Berechne die Funktionswerte f von minus 3 und f von 3 für die Betragsfunktion f von x gleich Betrag von x.
Gegeben:
- Funktion: f von x gleich Betrag von x
- x gleich minus 3 und x gleich 3
Gesucht:
Die Funktionswerte f von minus 3 und f von 3Lösung:
- Für x gleich minus 3 gilt: Da x kleiner Null ist, wird f von x gleich minus x verwendet.
- Einsetzen: f von minus 3 gleich minus (minus 3) gleich 3.
- Für x gleich 3 gilt: Da x größer oder gleich Null ist, wird f von x gleich x verwendet.
- Einsetzen: f von 3 gleich 3.
Beide Funktionswerte sind gleich groß: f von minus 3 ist 3 und f von 3 ist ebenfalls 3. Das zeigt, dass die Betragsfunktion symmetrisch zur y-Achse ist, weil Zahlen mit gleichem Abstand zur Null denselben Funktionswert liefern.
Beispiel 2: Verschobene Betragsfunktion
Bestimme den Knickpunkt der Funktion g von x gleich Betrag von (x minus 4).
Gegeben:
- Funktion: g von x gleich Betrag von (x minus 4)
Gesucht:
Der Knickpunkt des Graphen von gLösung:
- Grundfunktion vergleichen: Bei f von x gleich Betrag von x liegt der Knickpunkt bei x gleich Null.
- Verschiebung erkennen: Der Term x minus 4 innerhalb des Betrags verschiebt den Graphen um 4 Einheiten nach rechts.
- Knickpunkt bestimmen: Der Knick liegt dort, wo der Ausdruck innerhalb des Betrags Null wird, also bei x minus 4 gleich Null.
- Gleichung lösen: x minus 4 gleich Null ergibt x gleich 4.
Der Knickpunkt des Graphen von g liegt bei x gleich 4, also am Punkt (4, 0). Der Funktionswert dort ist g von 4 gleich Betrag von (4 minus 4) gleich Betrag von 0 gleich 0.
Typische Fehler bei der Betragsfunktion
Der häufigste Fehler ist, den Betrag einer negativen Zahl einfach wegzulassen, statt das Vorzeichen umzukehren. Betrag von minus 7 ist nicht minus 7, sondern 7, weil beim Betrag immer nur der Abstand zur Null zählt.
Ein zweiter Fehler ist, bei der verschobenen Betragsfunktion Betrag von (x minus a) den Knickpunkt bei x gleich minus a statt bei x gleich a zu vermuten. Der Knick liegt dort, wo der Ausdruck innerhalb des Betrags Null wird, also bei x gleich a.
Ein dritter Fehler ist, die Betragsfunktion für negative x-Werte mit der Funktion f von x gleich x zu verwechseln. Für negative x muss stattdessen f von x gleich minus x verwendet werden, damit ein positiver Funktionswert entsteht.
Tipps für die Klassenarbeit
Zeichne dir bei Aufgaben mit der Betragsfunktion immer eine kleine Skizze des V-förmigen Graphen, um dir Knickpunkt und Verlauf klarzumachen, bevor du rechnest.
Prüfe bei jeder Zahl zuerst das Vorzeichen, bevor du den Betrag bildest: Ist die Zahl negativ, drehst du das Vorzeichen um, ist sie positiv oder Null, bleibt sie unverändert.
Bei verschobenen Betragsfunktionen findest du den Knickpunkt am schnellsten, indem du den Ausdruck innerhalb der Betragsstriche gleich Null setzt und danach auflöst.
Jetzt bist du dran!
Berechne Betrag von minus 9.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl ihren Abstand zur Null zu und liefert nie einen negativen Wert.
- Für x größer oder gleich Null gilt f von x gleich x, für x kleiner Null gilt f von x gleich minus x.
- Der Graph der Betragsfunktion ist V-förmig mit Knick im Ursprung.
- Bei Betrag von (x minus a) verschiebt sich der Knickpunkt auf die Stelle x gleich a.
- Zwei Zahlen mit demselben Abstand zur Null liefern immer denselben Funktionswert.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Betragsfunktion
- Was ist die Betragsfunktion?
- Die Betragsfunktion ordnet jeder Zahl x den Betrag von x zu, also ihren Abstand zur Null auf der Zahlengeraden. Sie ist definiert als f von x gleich x für x größer oder gleich Null und f von x gleich minus x für x kleiner Null.
- Warum liefert die Betragsfunktion nie einen negativen Wert?
- Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl zur Null, und ein Abstand kann nie negativ sein. Deshalb ist der Funktionswert der Betragsfunktion für jede reelle Zahl größer oder gleich Null.
- Wie sieht der Graph der Betragsfunktion aus?
- Der Graph der Betragsfunktion ist V-förmig: Für negative x-Werte fällt er wie die Gerade y gleich minus x, für positive x-Werte steigt er wie die Gerade y gleich x. Beide Teile treffen sich im Ursprung.
- Wie verschiebt sich der Graph bei Betrag von (x minus a)?
- Bei Betrag von (x minus a) verschiebt sich der Knickpunkt des Graphen um a Einheiten in Richtung der positiven x-Achse, also von x gleich Null auf x gleich a.
- In welcher Klasse wird die Betragsfunktion unterrichtet?
- Die Betragsfunktion wird meist in Klasse 10 im Rahmen der Funktionenlehre behandelt, nachdem lineare und quadratische Funktionen bereits bekannt sind.
- Was ist der Unterschied zwischen Betrag und Vorzeichen einer Zahl?
- Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an und ist immer positiv oder Null, während das Vorzeichen angibt, ob die Zahl positiv oder negativ ist. Betrag und Vorzeichen zusammen ergeben wieder die ursprüngliche Zahl.
- Ist die Betragsfunktion an der Stelle x gleich Null differenzierbar?
- Nein, an der Stelle x gleich Null hat der Graph einen Knick, an dem sich die Steigung sprunghaft von minus 1 auf plus 1 ändert. Deshalb ist die Betragsfunktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
- Wozu braucht man die Betragsfunktion im Alltag?
- Die Betragsfunktion wird verwendet, wenn nur die Größe eines Unterschieds interessiert, nicht seine Richtung, etwa bei Temperaturdifferenzen, Entfernungen zwischen zwei Orten oder Abweichungen von einem Sollwert.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.