Nullstellen berechnen – alle Verfahren mit Beispielen
Nullstellen berechnen bedeutet: Du suchst alle x-Werte, für die eine Funktion f(x) den Wert null annimmt, also den Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Je nach Funktionstyp – linear, quadratisch oder gebrochenrational – nutzt du dafür ein anderes Verfahren, das du in dieser Lektion an mehreren Beispielen einübst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Mittel
Was sind Nullstellen?
Die Nullstellen einer Funktion f sind alle x-Werte, für die f(x) = 0 gilt. Grafisch bedeutet das: An dieser Stelle schneidet oder berührt der Graph die x-Achse, denn dort ist der y-Wert genau null. Nullstellen berechnen heißt also, die Gleichung f(x) = 0 nach x aufzulösen.
Wie viele Nullstellen eine Funktion hat, hängt von ihrem Typ ab. Eine lineare Funktion hat höchstens eine Nullstelle, eine quadratische Funktion höchstens zwei, ein Polynom dritten Grades höchstens drei. Manche Funktionen, etwa die Normalparabel plus 1, haben gar keine reelle Nullstelle, weil ihr Graph die x-Achse nie erreicht.
Nullstellen sind in fast jedem Sachzusammenhang wichtig: Sie zeigen, wann ein Gewinn null wird, wann ein Ball wieder auf dem Boden aufkommt oder wann ein Guthaben aufgebraucht ist. Deshalb ist das Berechnen von Nullstellen eine der am häufigsten geprüften Fertigkeiten in Klasse 10 und in der Oberstufe.
Welches Verfahren passt zu welcher Funktion?
Bei einer linearen Funktion f(x) = mx + b setzt du f(x) = 0 und stellst direkt nach x um: x = minus b durch m. Das funktioniert immer, solange m nicht null ist, denn dann liegt entweder gar keine oder unendlich viele Nullstellen vor.
Bei einer quadratischen Funktion f(x) = x² + px + q verwendest du die pq-Formel. Der Term unter der Wurzel, die Diskriminante, entscheidet dabei über die Anzahl der Lösungen: Ist sie negativ, gibt es keine reelle Nullstelle, ist sie null, genau eine, ist sie positiv, zwei Nullstellen.
Liegt die Funktion bereits als Produkt von Faktoren vor, zum Beispiel f(x) = x · (x − 3), hilft der Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion setzt du nur den Zähler gleich null, musst aber zusätzlich prüfen, dass der Nenner an dieser Stelle nicht ebenfalls null wird.
- x
- gesuchte Nullstelle
- p
- Koeffizient vor x in der Normalform x² + px + q
- q
- konstantes Glied in der Normalform
| Funktionstyp | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| Lineare Funktion | nach x umstellen | 2x + 4 = 0 ergibt x = −2 |
| Quadratische Funktion | pq-Formel oder Ausklammern | x² − 4 = 0 ergibt x = 2 oder x = −2 |
| Funktion mit Faktoren | Nullproduktsatz anwenden | x · (x − 3) = 0 ergibt x = 0 oder x = 3 |
| Gebrochenrationale Funktion | nur Zähler gleich null, Nenner prüfen | Nenner darf an dieser Stelle nicht null sein |
Beispiel 1: Nullstellen mit der pq-Formel
Berechne die Nullstellen von f(x) = x² − 2x − 3.
Gegeben:
- f(x)x² − 2x − 3
- p−2, q−3
Gesucht:
Nullstellen x1 und x2Lösung:
- Funktion gleich null setzen: x² − 2x − 3 = 0.
- pq-Formel einsetzen: x−(−2)2 ± √((−2/2)² − (−3)).
- Innere Klammer berechnen: (−1)² − (−3)1 + 34.
- Wurzel ziehen: √42.
- Beide Lösungen berechnen: x1 = 1 + 2 = 3 und x2 = 1 − 2 = −1.
Die Funktion f(x) = x² − 2x − 3 hat die Nullstellen x1 = 3 und x2 = −1. Probe durch Einsetzen: f(3) = 9 − 6 − 3 = 0 und f(−1) = 1 + 2 − 3 = 0, beide Ergebnisse stimmen, die Rechnung ist korrekt.
Beispiel 2: Nullproduktsatz bei einer faktorisierten Funktion
Berechne die Nullstellen von f(x) = (x + 2) · (x − 5).
Gegeben:
- f(x)(x + 2) · (x − 5)
Gesucht:
Nullstellen x1 und x2Lösung:
- Nullproduktsatz anwenden: Das Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.
- Ersten Faktor gleich null setzen: x + 2 = 0, also x1 = −2.
- Zweiten Faktor gleich null setzen: x − 5 = 0, also x2 = 5.
Die Funktion hat die Nullstellen x1 = −2 und x2 = 5. Der Nullproduktsatz erspart hier das Ausmultiplizieren und die anschließende pq-Formel vollständig, weil die Funktion bereits als Produkt zweier Linearfaktoren vorliegt.
Typische Fehler beim Nullstellen berechnen
Der häufigste Fehler ist ein falsches Vorzeichen bei p oder q, weil die Funktion nicht in der Normalform x² + px + q vorliegt. Steht die Funktion zum Beispiel als f(x) = x² − 2x − 3, ist q = −3 und nicht +3 – das Minuszeichen gehört zum Wert dazu und darf nicht übersehen werden.
Ein zweiter Fehler ist die Anwendung des Nullproduktsatzes auf eine Summe statt auf ein Produkt. Aus (x + 2) + (x − 5) = 0 folgt nicht, dass x + 2 = 0 oder x − 5 = 0 gilt, denn der Nullproduktsatz funktioniert nur bei einer Multiplikation, nicht bei einer Addition.
Ein dritter Fehler passiert bei gebrochenrationalen Funktionen: Wird eine Nullstelle des Zählers berechnet, aber vergessen zu prüfen, ob an dieser Stelle auch der Nenner null wird, kann fälschlich eine Definitionslücke als Nullstelle angegeben werden, obwohl die Funktion dort gar nicht definiert ist.
Tipps für die Klassenarbeit und das Abitur
Bringe eine quadratische Funktion immer zuerst in die Normalform x² + px + q, bevor du p und q abliest. Steht vor dem x² noch ein anderer Faktor als 1, musst du die ganze Gleichung erst durch diesen Faktor teilen.
Mache am Ende immer die Probe: Setze jede berechnete Nullstelle in die ursprüngliche Funktion ein und prüfe, ob wirklich 0 herauskommt. Diese Kontrolle dauert nur wenige Sekunden, deckt aber fast jeden Rechenfehler zuverlässig auf.
Im Abitur wird das Nullstellen berechnen häufig mit der Kurvendiskussion kombiniert, etwa bei Polynomen höheren Grades. Dort hilft oft, zuerst einen Faktor durch Ausklammern oder Polynomdivision abzuspalten, damit am Ende nur noch eine einfache lineare oder quadratische Gleichung übrig bleibt.
Jetzt bist du dran!
Berechne die Nullstelle von f(x) = 3x − 9.
Das Wichtigste in Kürze
- Nullstellen sind alle x-Werte mit f(x) = 0, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.
- Lineare Funktionen: direkt nach x umstellen. Quadratische Funktionen: pq-Formel oder Ausklammern.
- Der Nullproduktsatz gilt nur bei einem Produkt: Ein Faktor muss null sein, damit das ganze Produkt null wird.
- Bei gebrochenrationalen Funktionen den Zähler null setzen und den Nenner an dieser Stelle prüfen.
- Die Diskriminante der pq-Formel entscheidet über keine, eine oder zwei Lösungen.
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Häufige Fragen zu Nullstellen berechnen – alle Verfahren mit Beispielen
- Wie berechnet man Nullstellen?
- Du setzt die Funktionsgleichung gleich null, also f(x) = 0, und löst diese Gleichung nach x auf. Welches Verfahren dafür nötig ist, hängt vom Funktionstyp ab: Lineare Funktionen werden direkt umgestellt, quadratische mit der pq-Formel gelöst, faktorisierte Funktionen mit dem Nullproduktsatz.
- Was ist der Unterschied zwischen Nullstelle und Schnittpunkt mit der y-Achse?
- Eine Nullstelle ist ein Punkt, an dem der Graph die x-Achse schneidet, also y = 0. Der Schnittpunkt mit der y-Achse dagegen ist der Punkt, an dem x = 0 gilt, also f(0). Beide Punkte werden völlig unterschiedlich berechnet und sind bei den meisten Funktionen verschieden.
- Wie viele Nullstellen kann eine Funktion haben?
- Eine lineare Funktion hat höchstens eine Nullstelle, eine quadratische Funktion höchstens zwei, ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen. Manche Funktionen haben gar keine reelle Nullstelle, wenn ihr Graph die x-Achse nie erreicht, wie es bei der nach oben verschobenen Normalparabel der Fall ist.
- Wann verwendet man die pq-Formel?
- Die pq-Formel wird bei quadratischen Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0 verwendet, wenn sich die Funktion nicht einfach durch Ausklammern oder eine binomische Formel lösen lässt. Wichtig ist, dass der Koeffizient vor x² gleich 1 ist, notfalls muss die Gleichung vorher durch diesen Koeffizienten geteilt werden.
- Was ist der Nullproduktsatz?
- Der Nullproduktsatz besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Bei einer Gleichung wie x · (x − 3) = 0 setzt du deshalb jeden Faktor einzeln gleich null und erhältst so alle Nullstellen, ohne die Klammer ausmultiplizieren zu müssen.
- In welcher Klasse lernt man Nullstellen berechnen?
- Erste einfache Nullstellen bei linearen Funktionen werden bereits in Klasse 8 behandelt, die pq-Formel für quadratische Funktionen folgt meist in Klasse 9 oder 10. In der Oberstufe wird das Verfahren auf Polynome höheren Grades und gebrochenrationale Funktionen im Rahmen der Kurvendiskussion erweitert.
- Wie berechnet man Nullstellen bei gebrochenrationalen Funktionen?
- Du setzt nur den Zähler der Funktion gleich null und löst diese Gleichung. Anschließend prüfst du, ob die gefundene Stelle auch eine Nullstelle des Nenners ist. Ist das der Fall, liegt dort keine Nullstelle vor, sondern eine Definitionslücke, weil die Funktion dort nicht definiert ist.
- Warum ist die Probe nach dem Nullstellen berechnen wichtig?
- Beim Einsetzen einer berechneten Nullstelle in die ursprüngliche Funktion muss immer 0 herauskommen. Kommt ein anderer Wert heraus, liegt ein Rechenfehler vor, meist bei den Vorzeichen von p und q oder beim Wurzelziehen. Die Probe dauert nur kurz, deckt aber die häufigsten Fehler zuverlässig auf.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Grundlagen der Funktionen
- Quadratische Gleichungenin Arbeit
Das kommt als Nächstes
- Quadratische Funktionen
- Gebrochenrationale Funktionenin Arbeit