Newton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise berechnen
Das Newton-Verfahren berechnet Nullstellen näherungsweise: Du startest mit einem Schätzwert und verbesserst ihn mit der Formel x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). In dieser Lektion lernst du die Idee mit Tangenten, rechnest zwei Beispiele vor und erfährst, wann das Verfahren versagt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Newton-Verfahren: Nullstellen schrittweise annähern
Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren, mit dem du Nullstellen von Funktionen bestimmst, die sich nicht von Hand lösen lassen. Du startest mit einem Schätzwert und verbesserst ihn Schritt für Schritt mit der Formel x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). Schon nach wenigen Schritten stimmen viele Nachkommastellen.
Warum brauchst du das? Gleichungen wie x³ − x − 1 = 0 oder cos(x) = x lassen sich nicht mit der pq-Formel oder durch Faktorisieren lösen. Der Taschenrechner und Computer berechnen solche Lösungen mit einem Näherungsverfahren. Das Newton-Verfahren ist das bekannteste und schnellste davon, benannt nach Isaac Newton.
Die Idee ist anschaulich: Du legst an der Stelle des Startwerts die Tangente an den Graphen. Die Tangente ist eine Gerade, und deren Nullstelle kannst du leicht berechnen. Sie liegt meist näher an der echten Nullstelle als der Startwert. Dort legst du wieder eine Tangente an und wiederholst das Ganze. Die Tangentennullstellen wandern immer näher an die Nullstelle der Funktion heran.
| Situation | Exakte Lösung | Newton-Verfahren |
|---|---|---|
| x² − 9 = 0 | leicht: x = ±3 | unnötig |
| x³ − x − 1 = 0 | nicht elementar lösbar | gut geeignet |
| x − cos(x) = 0 | nicht elementar lösbar | gut geeignet |
| x² − 2 = 0 | x = √2, aber unendliche Dezimalzahl | liefert die Dezimalzahl |
Newton-Verfahren: Die Iterationsformel
Die Formel entsteht aus der Tangentengleichung. Die Tangente an f im Punkt x₀ hat die Gleichung y = f(x₀) + f'(x₀) · (x − x₀). Ihre Nullstelle erhältst du, wenn du y = 0 setzt und nach x auflöst. Das Ergebnis ist x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). Damit hast du aus x₀ einen neuen, meist besseren Wert x₁ berechnet.
Das wiederholst du mit x₁ als neuem Startwert und erhältst x₂, dann x₃ und so weiter. Man nennt das Iteration. Ein Verfahren dieser Art liefert keine exakte Lösung, aber du kannst die Genauigkeit beliebig steigern. Du hörst auf, sobald sich die Dezimalstellen, die dich interessieren, nicht mehr ändern.
Für das Verfahren brauchst du die Ableitung der Funktion. Wenn du f' nicht kennst oder nicht berechnen kannst, hilft das Newton-Verfahren nicht weiter. Außerdem darf f'(x) an der jeweiligen Stelle nicht null sein, denn sonst teilst du durch null. Die Tangente verläuft dann waagerecht und hat keine Nullstelle.
- x
- Näherung der Nullstelle, x₀ ist der Startwert
- f
- Funktion, deren Nullstelle gesucht wird
Beispiel 1: Newton-Verfahren für f(x) = x² − 2
Bestimme mit dem Newton-Verfahren eine Näherung für die Nullstelle von f(x) = x² − 2 (das ist √2). Starte mit x₀ = 1 und rechne drei Schritte.
Gegeben:
- f(x)x² − 2, f'(x)2x
- Startwert x₀1
Gesucht:
Näherung der Nullstelle nach drei SchrittenLösung:
- Schritt 1: x₁1 − (1² − 2) : (2 · 1)1 − (−1) : 21,5.
- Schritt 2: x₂1,5 − (1,5² − 2) : (2 · 1,5)1,5 − 0,25 : 3 ≈ 1,41667.
- Schritt 3: x₃1,41667 − (1,41667² − 2) : (2 · 1,41667) ≈ 1,41422.
- Kontrolle: Der Taschenrechner liefert √2 ≈ 1,41421. Schon nach drei Schritten sind vier Nachkommastellen richtig.
Die Nullstelle von f liegt bei x ≈ 1,4142. Der Fehler wird in jedem Schritt viel kleiner: Der Betrag des Funktionswerts sinkt von 1 auf 0,25, dann auf 0,007 und zuletzt auf etwa 0,000006.
Beispiel 2: Newton-Verfahren für f(x) = x³ − x − 1
Die Gleichung x³ − x − 1 = 0 lässt sich nicht einfach nach x auflösen. Bestimme mit dem Newton-Verfahren eine Nullstelle, Startwert x₀ = 1,5.
Gegeben:
- f(x)x³ − x − 1, f'(x)3x² − 1
- Startwert x₀1,5
Gesucht:
Näherung der NullstelleLösung:
- Werte bei x₀1,5: f(1,5)3,375 − 1,5 − 10,875 und f'(1,5)3 · 2,25 − 15,75.
- Schritt 1: x₁1,5 − 0,875 : 5,75 ≈ 1,3478.
- Schritt 2: x₂1,3478 − f(1,3478) : f'(1,3478) ≈ 1,3252.
- Schritt 3: x₃ ≈ 1,3247. Weitere Schritte ändern die vierte Nachkommastelle nicht mehr.
Die Nullstelle liegt bei x ≈ 1,3247. Diese Zahl ist die einzige reelle Lösung der Gleichung. Eine einfache Formel dafür gibt es nicht, das Newton-Verfahren ist hier der praktische Weg.
| Schritt | Näherung | Funktionswert |
|---|---|---|
| Start | 1,5 | 0,875 |
| 1 | 1,3478 | 0,1007 |
| 2 | 1,3252 | 0,0021 |
| 3 | 1,3247 | 0,000001 |
Typische Fehler und Grenzen beim Newton-Verfahren
Der häufigste Fehler ist ein Vorzeichen- oder Klammerfehler in der Formel. Es muss heißen alter Wert minus f durch f', nicht plus. Wenn dein Näherungswert sich in die falsche Richtung bewegt, prüfe zuerst das Vorzeichen. Setze außerdem Zähler und Nenner in Klammern, besonders bei negativen Zahlen.
Der zweite Fehler ist ein schlechter Startwert. Liegt x₀ weit von der Nullstelle entfernt oder in der Nähe eines Extrempunkts, kann das Verfahren zu einer anderen Nullstelle springen, langsam konvergieren oder ganz scheitern. Skizziere die Funktion grob, bevor du den Startwert festlegst.
Der dritte Fehler ist, die Grenzen zu übersehen. Ist f'(xₙ) = 0, kannst du nicht weiterrechnen. Manchmal pendelt das Verfahren auch hin und her: Bei f(x) = x³ − 2x + 2 und dem Startwert 0 erhältst du x₁ = 1, dann wieder x₂ = 0, und so weiter, ohne je eine Nullstelle zu finden. Dann wählst du einen anderen Startwert.
Newton-Verfahren in Klausur und Alltag
In der Oberstufe wird das Newton-Verfahren meist mit dem Taschenrechner gerechnet. In einer Klausur ist oft die Formel vorgegeben, und du sollst zwei oder drei Schritte ausführen. Schreibe jeden Schritt mit dem eingesetzten Funktions- und Ableitungswert auf. Runde erst am Ende, sonst addieren sich Rundungsfehler.
Eine typische Aufgabe lautet: Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass f im Intervall [1; 2] eine Nullstelle hat, und bestimme sie mit dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau. Der Vorzeichenwechsel von f zeigt die Existenz der Nullstelle, das Newton-Verfahren liefert ihren Wert.
Im Alltag steckt das Verfahren in vielen Programmen. Navigationsgeräte, Simulationen von Bauteilen und Finanzprogramme müssen ständig Gleichungen lösen, deren Lösung es nicht als Formel gibt. Die Rechner nutzen dazu Varianten des Newton-Verfahrens und iterieren, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Jetzt bist du dran!
Welche Formel beschreibt einen Schritt des Newton-Verfahrens?
Noch nicht. Aus der Tangentengleichung folgt, dass die Nullstelle der Tangente bei x₀ − f(x₀) : f'(x₀) liegt. Das ist der neue Näherungswert.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Newton-Verfahren nähert Nullstellen schrittweise an, wenn eine exakte Lösung nicht möglich oder zu aufwendig ist.
- Die Formel lautet x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). Sie liefert die Nullstelle der Tangente im Punkt x₀.
- Du wiederholst die Rechnung mit dem neuen Wert, bis sich die gewünschten Nachkommastellen nicht mehr ändern.
- Ein guter Startwert in der Nähe der Nullstelle ist wichtig, bei f'(x₀) = 0 geht das Verfahren nicht.
- Typischer Fehler: Pluszeichen statt Minus in der Formel oder Klammern vergessen.
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Häufige Fragen zu Newton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise berechnen
- Wie funktioniert das Newton-Verfahren?
- Du wählst einen Startwert x₀ in der Nähe der Nullstelle, legst dort die Tangente an die Funktion und berechnest ihre Nullstelle. Diese ist der neue Wert x₁. Das wiederholst du, bis sich die gewünschten Stellen nicht mehr ändern.
- Wie lautet die Formel des Newton-Verfahrens?
- Die Formel lautet x₁ = x₀ − f(x₀) : f'(x₀). Allgemein gilt xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) : f'(xₙ). Du setzt jeweils den letzten Näherungswert in f und in die Ableitung f' ein.
- Wofür braucht man das Newton-Verfahren?
- Es löst Gleichungen näherungsweise, für die es keine einfache Lösungsformel gibt, zum Beispiel x³ − x − 1 = 0 oder cos(x) = x. Rechner und Programme verwenden es, um Nullstellen und Wurzeln schnell und genau zu bestimmen.
- Wie wähle ich einen guten Startwert?
- Skizziere die Funktion grob oder suche zwei Stellen mit unterschiedlichem Vorzeichen des Funktionswerts. Dazwischen liegt eine Nullstelle. Wähle einen Wert nah daran, aber nicht in der Nähe eines Hoch- oder Tiefpunkts, denn dort ist die Ableitung fast null.
- Wann hört man mit dem Newton-Verfahren auf?
- Du hörst auf, wenn sich die Nachkommastellen, die du brauchst, von Schritt zu Schritt nicht mehr ändern, oder wenn der Funktionswert nahe genug bei null liegt. Für zwei richtige Stellen reichen oft zwei bis drei Schritte.
- Was kann beim Newton-Verfahren schiefgehen?
- Ist die Ableitung an einer Stelle null, kannst du nicht weiterrechnen. Bei ungünstigem Startwert kann das Verfahren zu einer anderen Nullstelle springen, hin und her pendeln oder gar nicht konvergieren. Dann wählst du einen anderen Startwert.
- Warum ist die Nullstelle der Tangente eine gute Näherung?
- Nahe am Berührpunkt unterscheidet sich eine glatte Kurve kaum von ihrer Tangente. Deshalb liegt die Nullstelle der Tangente nahe an der Nullstelle der Kurve. Mit jedem Schritt wird die Tangente besser angepasst und der Fehler schrumpft stark.
- In welcher Klasse lernt man das Newton-Verfahren?
- Das Newton-Verfahren steht meist in Klasse 12 im Lehrplan, nachdem du Ableitungen und Tangenten kennst. Je nach Bundesland ist es Pflicht oder Wahlthema im Leistungskurs und wird in Klausuren mit dem Taschenrechner gerechnet.
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