Ableitung von Sinus und Kosinus
Die Ableitung von Sinus und Kosinus folgt zwei einfachen Regeln: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist −sin(x). In dieser Lektion lernst du, wie du diese Regeln anwendest, mit der Kettenregel auch Funktionen wie sin(3x + 1) ableitest und worauf du beim Bogenmaß achten musst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 11
- Thema: Analysis
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Ableitung Sinus Kosinus: Schwingungen im Griff
Die Ableitung von Sinus ist Kosinus, und die Ableitung von Kosinus ist minus Sinus. Mit diesen beiden Regeln kannst du die Steigung jeder Sinus- und Kosinuskurve berechnen und damit Extrempunkte, Wendepunkte und Tangenten bestimmen.
Das passt zum Verlauf der Kurven. Die Sinuskurve steigt bei x gleich 0 am steilsten, und genau dort hat der Kosinus seinen größten Wert 1. Auf dem Hochpunkt der Sinuskurve bei x = π/2 ist die Steigung null, und genau dort schneidet der Kosinus die x-Achse. Die Ableitungskurve ist also gegenüber der Ausgangskurve um eine Viertelperiode verschoben.
Trigonometrische Funktionen beschreiben Schwingungen wie Schall, Wechselstrom oder Wellen. Wer ihre Ableitung kennt, kann berechnen, wie schnell sich ein schwingendes System in jedem Augenblick ändert. Das ist die Grundlage der Physik von Schwingungen.
Die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus
Die Grundregeln lauten: Aus f(x) = sin(x) wird f'(x) = cos(x), und aus f(x) = cos(x) wird f'(x) = −sin(x). Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten, und eine Summe leitest du Glied für Glied ab. Die Ableitung von 3 sin(x) ist also 3 cos(x).
Steckt im Sinus eine innere Funktion, kommt die Kettenregel dazu. Du leitest zuerst die äußere Funktion ab, lässt das Innere stehen und multiplizierst mit der Ableitung des Inneren. Für sin(a · x) ergibt das a · cos(a · x), für cos(a · x) ergibt es −a · sin(a · x).
Leitest du mehrfach ab, wiederholen sich die Funktionen nach vier Schritten. Aus sin(x) wird cos(x), dann −sin(x), dann −cos(x) und schließlich wieder sin(x). Das hilft dir bei höheren Ableitungen und bei Aufgaben zu Wendepunkten und Krümmung.
- x
- Winkel im Bogenmaß
- f
- die abzuleitende Funktion
- a
- Faktor im Inneren, zum Beispiel bei sin(a · x)
| Funktion | 1. Ableitung | 2. Ableitung | 3. Ableitung |
|---|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | −sin(x) | −cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) | −cos(x) | sin(x) |
| sin(a · x) | a · cos(a · x) | −a² · sin(a · x) | −a³ · cos(a · x) |
Beispiel 1: f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x) − 5x ableiten
Leite f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x) − 5x ab und berechne die Steigung an der Stelle x = π/2.
Gegeben:
- f(x)3 sin(x) + 2 cos(x) − 5x
- Stelle xπ2
Gesucht:
Die Ableitung f'(x) und f'(π2)Lösung:
- Jeden Summanden einzeln ableiten: 3 sin(x) wird zu 3 cos(x).
- 2 cos(x) wird zu 2 · (−sin(x)) = −2 sin(x).
- −5x wird zu −5, denn die Ableitung von x ist 1.
- Zusammensetzen: f'(x) = 3 cos(x) − 2 sin(x) − 5. An der Stelle π/2 gilt cos(π/2) = 0 und sin(π/2) = 1.
Die Ableitung lautet f'(x) = 3 cos(x) − 2 sin(x) − 5. An der Stelle x = π/2 ergibt sich f'(π/2) = 3 · 0 − 2 · 1 − 5 = −7. Die Steigung der Kurve ist dort also −7, die Kurve fällt steil.
Beispiel 2: Kettenregel bei sin(3x + 1) und 4 sin(2x)
Leite f(x) = sin(3x + 1) und g(x) = 4 sin(2x) ab. Berechne g'(0).
Gegeben:
- f(x)sin(3x + 1)
- g(x)4 sin(2x)
Gesucht:
f'(x), g'(x) und g'(0)Lösung:
- Bei f ist sin die äußere und 3x + 1 die innere Funktion. Außen abgeleitet ergibt sich cos(3x + 1).
- Die innere Ableitung von 3x + 1 ist 3. Beides multiplizieren: f'(x) = 3 · cos(3x + 1).
- Bei g bleibt der Faktor 4 stehen. Die Ableitung von sin(2x) ist 2 · cos(2x), also g'(x) = 4 · 2 · cos(2x) = 8 cos(2x).
- An der Stelle 0 gilt cos(0) = 1, also g'(0) = 8 · 1 = 8.
Es gilt f'(x) = 3 cos(3x + 1) und g'(x) = 8 cos(2x). Die Steigung von g bei x = 0 beträgt 8. Der Faktor im Inneren erscheint also immer zusätzlich vor dem Kosinus, hier die 2 aus 2x.
Typische Fehler bei der Ableitung von Sinus und Kosinus
Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen beim Kosinus. Viele schreiben (cos x)' = sin x. Richtig ist (cos x)' = −sin x. Eine Probe hilft: Der Kosinus hat bei x = 0 einen Hochpunkt, seine Steigung dort ist null und direkt dahinter negativ, was zu −sin x passt.
Ein zweiter Fehler ist, die innere Ableitung zu vergessen. Die Ableitung von sin(5x) ist nicht cos(5x), sondern 5 · cos(5x). Wer sin(3x + 1) nur zu cos(3x + 1) ableitet, verliert den Faktor 3. Frage dich deshalb immer, was im Sinus steht, und leite es mit ab.
Ein dritter Fehler betrifft den Taschenrechner. Die Regeln gelten nur, wenn x im Bogenmaß gemessen wird. Wer Gradzahlen einsetzt, muss die Funktion umrechnen. Stelle den Rechner deshalb auf RAD, wenn du Werte wie f'(π/2) oder Tangentensteigungen berechnest.
Ableitung Sinus Kosinus in Klassenarbeit und Anwendung
In Klausuren erscheinen trigonometrische Funktionen in Kurvendiskussionen und in Anwendungen. Du sollst zum Beispiel die Extremstellen von f(x) = sin(x) auf dem Intervall von 0 bis 2π bestimmen oder die Tangente an einer Stelle aufstellen. Für beides brauchst du die Ableitung und die Nullstellen von cos(x).
Bei Sachaufgaben beschreibt eine Sinusfunktion eine Bewegung, etwa die Auslenkung einer Feder oder die Höhe von Wasser bei Gezeiten. Die erste Ableitung ist dann die Geschwindigkeit und die zweite die Beschleunigung. Weil sich nach vier Schritten alles wiederholt, hängen Auslenkung und Beschleunigung eng zusammen: Es gilt (sin x)'' = −sin x.
Rechne in der Klausur zuerst die allgemeine Ableitung aus und setze erst danach Werte ein. Schreibe die Funktionswerte wie sin(π/2) = 1 oder cos(π) = −1 auswendig auf einen Zettel, die brauchst du ständig. Und denke an die innere Ableitung bei jedem Faktor im Argument.
Jetzt bist du dran!
Was ist die Ableitung von f(x) = sin(x)?
Noch nicht. Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Das passt zur Kurve: Bei x gleich 0 steigt der Sinus mit der Steigung 1 = cos(0).
Das Wichtigste in Kürze
- Die Ableitung von sin(x) ist cos(x).
- Die Ableitung von cos(x) ist −sin(x), das Minuszeichen nicht vergessen.
- Bei sin(a · x) multiplizierst du mit der inneren Ableitung a, es entsteht a · cos(a · x).
- Nach vier Ableitungen steht wieder die Ausgangsfunktion da.
- Die Regeln gelten nur im Bogenmaß, der Taschenrechner muss auf RAD stehen.
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Häufige Fragen zu Ableitung von Sinus und Kosinus
- Was ist die Ableitung von Sinus und Kosinus?
- Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist −sin(x). Diese beiden Regeln gelten, wenn x im Bogenmaß angegeben ist, und sind die Grundlage für alle weiteren Ableitungen trigonometrischer Funktionen.
- Warum ist die Ableitung von Kosinus minus Sinus?
- Der Kosinus hat bei x gleich 0 seinen Hochpunkt und fällt danach ab. Seine Steigung ist direkt hinter dem Hochpunkt negativ. Die Funktion −sin(x) liefert genau dieses Verhalten: bei 0 den Wert null und danach negative Werte.
- Wie leitet man sin(2x) ab?
- Du nutzt die Kettenregel: Die äußere Ableitung ist cos(2x), die innere Ableitung von 2x ist 2. Zusammen ergibt sich 2 · cos(2x). Allgemein ist die Ableitung von sin(a · x) gleich a · cos(a · x).
- Wie leitet man sin(x²) ab?
- Auch hier gilt die Kettenregel. Die äußere Funktion sin wird zu cos(x²), die innere Funktion x² wird zu 2x. Die Ableitung lautet daher 2x · cos(x²). Die innere Ableitung steht als Faktor vor dem Kosinus.
- Warum muss man im Bogenmaß rechnen?
- Die Ableitungsregeln sind nur dann so einfach, wenn der Winkel im Bogenmaß steht. Bei Gradmaß würde bei jeder Ableitung ein zusätzlicher Faktor π durch 180 entstehen. Deshalb arbeitet die Analysis immer mit dem Bogenmaß.
- Wie bestimmt man die Extrempunkte von Sinus?
- Du setzt die Ableitung cos(x) gleich null. Das ist bei x = π/2, 3π/2 und so weiter der Fall. Mit der zweiten Ableitung −sin(x) erkennst du, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
- Was ist die dritte Ableitung von Sinus?
- Die erste Ableitung von sin(x) ist cos(x), die zweite −sin(x) und die dritte −cos(x). Erst die vierte Ableitung ist wieder sin(x). Diese Wiederholung nach vier Schritten nennt man den Vierer-Kreislauf.
- In welcher Klasse lernt man die Ableitung trigonometrischer Funktionen?
- Die Ableitung von Sinus und Kosinus wird meist in Klasse 11 behandelt, nachdem die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen sowie die Kettenregel bekannt sind. Sie ist wichtig für Kurvendiskussionen und Anwendungen.
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