Sinus, Kosinus und Tangens

Der Satz des Pythagoras verbindet drei Seiten, sagt aber nichts über die Winkel. Die Trigonometrie schließt diese Lücke: Im rechtwinkligen Dreieck hängt jedes Seitenverhältnis eindeutig von einem Winkel ab. Vergrößerst du ein Dreieck maßstabsgetreu, bleiben alle Winkel gleich – und damit auch alle Verhältnisse der Seiten zueinander. Genau das machen Sinus, Kosinus und Tangens nutzbar.

Die Benennung der Seiten richtet sich immer nach dem Winkel, über den du gerade sprichst. Die Hypotenuse bleibt die Seite gegenüber dem rechten Winkel, sie wechselt nie. Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber, die Ankathete liegt an ihm an. Betrachtest du den anderen spitzen Winkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Das ist der häufigste Fehler: Schüler notieren die Seiten einmal und vergessen beim zweiten Winkel, sie neu zuzuordnen.

Angewendet wird das überall dort, wo ein Winkel leicht zu messen ist, eine Länge aber nicht. Die Höhe eines Turms bestimmst du aus dem Abstand und dem Höhenwinkel. Die Steigung einer Straße in Prozent ist nichts anderes als der Tangens des Steigungswinkels. Auch Dachneigungen, Rampen und Kamerawinkel werden so gerechnet.

Den umgekehrten Weg gehst du, wenn zwei Seiten bekannt sind und der Winkel gesucht ist. Dafür hat der Taschenrechner die Tasten arcsin, arccos und arctan, auf vielen Geräten als Zweitfunktion der Winkeltasten beschriftet. Aus sin α = 0,5 wird so α = 30°. Prüfe vor jeder Rechnung, ob der Rechner auf Grad eingestellt ist, meist erkennbar an einem D oder DEG im Display. Im Modus Bogenmaß kommen völlig andere Zahlen heraus.

Der häufigste Fehler ist, Gegenkathete und Ankathete zu verwechseln. Beide Katheten liegen am rechten Winkel, aber nur die Zuordnung zum gerade betrachteten Winkel entscheidet, welche welche ist. Zeichne deshalb immer zuerst eine Skizze und markiere den Winkel, mit dem du rechnest, bevor du die Seiten benennst.

Ein zweiter Fehler ist der falsche Modus am Taschenrechner. Steht das Gerät auf RAD statt DEG, liefert tan 30° einen völlig anderen Wert als 0,577. Kontrolliere den Modus vor jeder Aufgabe, besonders nach dem Batteriewechsel, weil viele Rechner dann in den Grundzustand zurückspringen.

Ein dritter Fehler ist, die Umkehrfunktion mit dem Kehrwert zu verwechseln. arcsin(0,5) ist nicht dasselbe wie 1/sin(0,5). Die Umkehrfunktion liefert einen Winkel, der Kehrwert liefert eine Zahl ohne Einheit Grad. Wer beides vertauscht, erhält Werte, die weit außerhalb jeder sinnvollen Winkelgröße liegen.

Zeichne bei jeder Aufgabe zuerst eine Skizze, auch wenn sie nur grob stimmt. Markiere den rechten Winkel, den gegebenen Winkel und beschrifte Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse mit den Werten aus dem Text. Erst danach entscheidest du, welche Funktion passt – im Kopf ohne Skizze vertauschen sich die Seiten leicht.

Runde erst im letzten Schritt. Rechnest du mit gerundeten Zwischenergebnissen weiter, summieren sich kleine Fehler, und am Ende weicht dein Resultat vom Lösungsblatt ab, obwohl der Rechenweg richtig war. Notiere Zwischenwerte mit mindestens drei Nachkommastellen.

Steigungen in Prozent begegnen dir oft in Sachaufgaben zu Straßen oder Rampen: 10 % Steigung bedeutet tan α = 0,1, woraus sich α ≈ 5,7° ergibt. Diese Verbindung zwischen Prozentangabe und Tangens wird gern in Klassenarbeiten abgefragt.