Sinus, Kosinus und Tangens
In dieser Lektion lernst du, wie Winkel und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zusammenhängen. Du übst, die passende Funktion auszuwählen und eine fehlende Seite zu berechnen. Außerdem erfährst du, warum Gegenkathete und Ankathete vom betrachteten Winkel abhängen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Geometrie
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Winkel und Seiten gehören zusammen
Der Satz des Pythagoras verbindet drei Seiten, sagt aber nichts über die Winkel. Die Trigonometrie schließt diese Lücke: Im rechtwinkligen Dreieck hängt jedes Seitenverhältnis eindeutig von einem Winkel ab. Vergrößerst du ein Dreieck maßstabsgetreu, bleiben alle Winkel gleich – und damit auch alle Verhältnisse der Seiten zueinander. Genau das machen Sinus, Kosinus und Tangens nutzbar.
Die Benennung der Seiten richtet sich immer nach dem Winkel, über den du gerade sprichst. Die Hypotenuse bleibt die Seite gegenüber dem rechten Winkel, sie wechselt nie. Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber, die Ankathete liegt an ihm an. Betrachtest du den anderen spitzen Winkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete ihre Rollen. Das ist der häufigste Fehler: Schüler notieren die Seiten einmal und vergessen beim zweiten Winkel, sie neu zuzuordnen.
Angewendet wird das überall dort, wo ein Winkel leicht zu messen ist, eine Länge aber nicht. Die Höhe eines Turms bestimmst du aus dem Abstand und dem Höhenwinkel. Die Steigung einer Straße in Prozent ist nichts anderes als der Tangens des Steigungswinkels. Auch Dachneigungen, Rampen und Kamerawinkel werden so gerechnet.
Die Seitenverhältnisse
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse. Entsprechend gilt für den Kosinus: Ankathete geteilt durch Hypotenuse. Und für den Tangens: Gegenkathete geteilt durch Ankathete.
Weil Gegenkathete und Ankathete immer kürzer sind als die Hypotenuse, liegen Sinus und Kosinus stets zwischen 0 und 1. Kommt bei dir ein Sinus größer als 1 heraus, hast du Zähler und Nenner vertauscht.
- g
- Gegenkathete – liegt dem Winkel α gegenüber
- h
- Hypotenuse – die Seite gegenüber dem rechten Winkel
- α
- der betrachtete spitze Winkel
Die Höhe eines Turms berechnen
Du stehst 50 m von einem Turm entfernt und siehst seine Spitze unter einem Höhenwinkel von 30°. Wie hoch ist der Turm, gerechnet ab Augenhöhe?
Gegeben:
- Abstand zum Turm: 50 m (Ankathete)
- Höhenwinkel: 30°
Gesucht:
Höhe des Turms über AugenhöheLösung:
- Gesucht ist die Gegenkathete, bekannt ist die Ankathete – also Tangens
- tan 30°Höhe50
- Höhe50 · tan 30°
- tan 30° ist rund 0,577, also Höhe ist rund 28,9
Der Turm ragt etwa 28,9 m über Augenhöhe auf. Weil weder Gegenkathete noch Ankathete die Hypotenuse ist, war hier der Tangens die richtige Wahl.
Jetzt bist du dran
Gegeben sind die Hypotenuse und der Winkel α, gesucht ist die Ankathete. Welche Funktion brauchst du?
Noch nicht. Der Kosinus verbindet Ankathete und Hypotenuse. Der Sinus bräuchte die Gegenkathete, der Tangens käme ohne Hypotenuse aus.
Das Wichtigste in Kürze
- Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus Ankathete durch Hypotenuse.
- Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete und braucht keine Hypotenuse.
- Die Hypotenuse wechselt nie, Gegen- und Ankathete hängen vom Winkel ab.
- Sinus und Kosinus eines spitzen Winkels liegen immer zwischen 0 und 1.
- Typischer Fehler: beim zweiten Winkel Gegen- und Ankathete nicht tauschen.
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Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall
- Sinus- und Kosinussatzin Arbeit