Die Strahlensätze
In dieser Lektion lernst du, wie du mit den Strahlensätzen unbekannte Längen berechnest, ohne zu messen. Du siehst, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen und wie du die Verhältnisse richtig aufstellst. Außerdem übst du den Unterschied zwischen erstem und zweitem Strahlensatz.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Geometrie
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Wenn zwei Geraden parallel sind
Zeichne von einem Punkt Z aus zwei Strahlen und schneide sie mit zwei parallelen Geraden. Dann entstehen zwei Dreiecke, die dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe haben. Das größere ist eine maßstabsgetreue Vergrößerung des kleineren. Genau dieses Maßstabsverhältnis nutzen die Strahlensätze: Alle entsprechenden Längen stehen im gleichen Verhältnis.
Das ist praktisch, weil du damit Längen berechnen kannst, die du gar nicht erreichen kannst. Die Höhe eines Baums bestimmst du über seinen Schatten und den Schatten eines Stabs, dessen Länge du kennst. Die Entfernung über einen Fluss lässt sich aus zwei gemessenen Teilstrecken am Ufer berechnen. Der klassische Förstersche Daumensprung beruht auf derselben Idee.
Entscheidend ist die Voraussetzung: Die beiden Geraden müssen wirklich parallel sein. Ohne Parallelität gilt kein Strahlensatz, und jede Rechnung ist wertlos. Der häufigste Fehler besteht darin, Strecken zu mischen, die nicht zueinander gehören – etwa den Abschnitt vom Scheitelpunkt bis zur ersten Parallelen mit dem Stück zwischen den beiden Parallelen. Schreibe deshalb immer erst auf, welche Strecke vom Scheitelpunkt Z aus gemessen wird.
Die Verhältnisgleichung
Der erste Strahlensatz vergleicht Abschnitte auf denselben Strahlen. Dabei werden alle Längen vom Scheitelpunkt Z aus gemessen: a und b liegen auf dem einen Strahl, c und d auf dem anderen. Das Verhältnis der kleinen zur großen Strecke ist auf beiden Strahlen gleich.
Der zweite Strahlensatz vergleicht dagegen die beiden parallelen Strecken mit den Abschnitten auf einem Strahl. Auch hier werden die Strahlenabschnitte ab Z gemessen – die Strecke zwischen den Parallelen darf dort nicht eingesetzt werden.
- a
- Abschnitt von Z bis zur ersten Parallelen auf Strahl 1
- b
- Abschnitt von Z bis zur zweiten Parallelen auf Strahl 1
- c
- Abschnitt von Z bis zur ersten Parallelen auf Strahl 2
- d
- Abschnitt von Z bis zur zweiten Parallelen auf Strahl 2
Die Höhe eines Baums berechnen
Ein 1,50 m langer Stab wirft einen 2 m langen Schatten. Der Baum daneben wirft zur selben Zeit einen 12 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?
Gegeben:
- Stab: 1,50 m hoch, 2 m Schatten
- Baum: 12 m Schatten
Gesucht:
Höhe des BaumsLösung:
- Stabhöhe : StabschattenBaumhöhe : Baumschatten
- 1,5 : 2x : 12
- x1,5 · 122
- x9
Der Baum ist 9 m hoch. Die Sonnenstrahlen treffen beide Objekte im gleichen Winkel, deshalb sind die Dreiecke zueinander maßstabsgetreu.
Jetzt bist du dran
Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit die Strahlensätze gelten?
Noch nicht. Nur bei parallelen Geraden entstehen maßstabsgetreue Dreiecke. Rechte Winkel oder eine bestimmte Lage des Scheitelpunkts sind dafür nicht nötig.
Das Wichtigste in Kürze
- Strahlensätze gelten nur, wenn die geschnittenen Geraden parallel sind.
- Es entstehen maßstabsgetreue Dreiecke mit gleichen Längenverhältnissen.
- Erster Strahlensatz: Abschnitte auf den Strahlen, immer ab dem Scheitelpunkt Z.
- Zweiter Strahlensatz: die parallelen Strecken im Verhältnis zu den Strahlenabschnitten.
- Typischer Fehler: das Stück zwischen den Parallelen als Strahlenabschnitt einsetzen.
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Das solltest du vorher können
- Der Satz des Pythagoras
- Verhältnisse und Dreisatzin Arbeit
Das kommt als Nächstes
- Sinus, Kosinus und Tangens
- Ähnlichkeit von Figurenin Arbeit