Die Strahlensätze

Zeichne von einem Punkt Z aus zwei Strahlen und schneide sie mit zwei parallelen Geraden. Dann entstehen zwei Dreiecke, die dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe haben. Das größere ist eine maßstabsgetreue Vergrößerung des kleineren. Genau dieses Maßstabsverhältnis nutzen die Strahlensätze: Alle entsprechenden Längen stehen im gleichen Verhältnis. Ist eine Strecke im großen Dreieck doppelt so lang wie im kleinen, gilt das für alle anderen Strecken auch.

Das ist praktisch, weil du damit Längen berechnen kannst, die du gar nicht erreichen kannst. Die Höhe eines Baums bestimmst du über seinen Schatten und den Schatten eines Stabs, dessen Länge du kennst. Die Entfernung über einen Fluss lässt sich aus zwei gemessenen Teilstrecken am Ufer berechnen. Der klassische Förstersche Daumensprung beruht auf derselben Idee.

Entscheidend ist die Voraussetzung: Die beiden Geraden müssen wirklich parallel sein. Ohne Parallelität gilt kein Strahlensatz, und jede Rechnung ist wertlos. Der häufigste Fehler besteht darin, Strecken zu mischen, die nicht zueinander gehören – etwa den Abschnitt vom Scheitelpunkt bis zur ersten Parallelen mit dem Stück zwischen den beiden Parallelen. Schreibe deshalb immer erst auf, welche Strecke vom Scheitelpunkt Z aus gemessen wird.

Die Strahlensätze gelten nicht nur, wenn die Parallelen auf derselben Seite von Z liegen. Kreuzen sich zwei Geraden in Z und liegen die Parallelen auf verschiedenen Seiten, entsteht eine X-Figur mit zwei gegenüberliegenden Dreiecken. Auch dort stehen die Abschnitte ab Z im gleichen Verhältnis. Du erkennst die passende Figur daran, dass jedes Dreieck eine Ecke in Z und eine Seite auf einer Parallelen hat.

Der häufigste Fehler ist, das Stück zwischen den beiden Parallelen als Strahlenabschnitt zu verwenden, obwohl alle Längen ab dem Scheitelpunkt Z gemessen werden müssen. Willst du dieses Zwischenstück nutzen, musst du es zuerst zum kürzeren Abschnitt addieren, um den vollständigen Abschnitt ab Z zu erhalten.

Ein zweiter Fehler ist, Strecken von verschiedenen Strahlen falsch zu kombinieren, etwa den kurzen Abschnitt des einen Strahls mit dem langen Abschnitt des anderen zu vergleichen. Zeichne dir deshalb immer eine Skizze und beschrifte jede bekannte Länge, bevor du die Verhältnisgleichung aufstellst. Ein dritter Fehler ist, die Parallelität nicht zu prüfen – ohne parallele Geraden gilt kein Strahlensatz, egal wie die Zeichnung aussieht.

Die Strahlensätze werden in der Praxis oft dort genutzt, wo direktes Messen unmöglich oder zu aufwendig ist: die Höhe eines Kirchturms über seinen Schatten, die Breite eines Flusses über zwei Peilungen vom Ufer aus, oder die Vergrößerung eines Bildes beim Overheadprojektor, bei dem Lichtstrahlen von einer Lampe durch das Bild auf eine Leinwand fallen. Auch beim Fotografieren mit einer Lochkamera steckt dasselbe Prinzip dahinter.

Für die Klassenarbeit zeichne dir zuerst eine Skizze mit dem Scheitelpunkt Z und beiden Parallelen, und beschrifte alle gegebenen und gesuchten Längen. Prüfe vor dem Rechnen, ob wirklich Parallelität vorliegt – das steht meist ausdrücklich in der Aufgabe. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du die Verhältnisse beider Strahlen kürzt: Sie müssen übereinstimmen.