Der Satz des Pythagoras
In dieser Lektion lernst du, was der Satz des Pythagoras aussagt und warum er nur im rechtwinkligen Dreieck gilt. Du übst, die Hypotenuse zu berechnen und eine fehlende Kathete zu bestimmen. Außerdem siehst du, woran du die Hypotenuse zuverlässig erkennst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Geometrie
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Warum ein rechter Winkel alles verändert
In jedem Dreieck hängen die drei Seitenlängen irgendwie zusammen, aber nur im rechtwinkligen Dreieck lässt sich dieser Zusammenhang als einfache Rechnung schreiben. Genau das ist der Satz des Pythagoras: Kennst du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, kannst du die dritte ausrechnen, ohne irgendetwas zu messen.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die dritte Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks – das ist ein guter Selbsttest: Kommt bei dir eine Kathete länger heraus als die Hypotenuse, hast du die Seiten verwechselt.
Der Satz steckt in vielen Alltagsdingen. Handwerker prüfen mit den Maßen 3, 4 und 5 Metern, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist. Die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers ergibt sich aus Breite und Höhe. Und die Luftlinie zwischen zwei Punkten in einem Stadtplan ist nichts anderes als eine Hypotenuse über den beiden Gitterabständen.
Die Formel
Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Wichtig ist die Rollenverteilung: c steht immer für die Seite gegenüber dem rechten Winkel, egal wie das Dreieck gedreht ist.
Suchst du eine Kathete statt der Hypotenuse, formst du um: a² = c² − b². Hier wird subtrahiert, nicht addiert – das ist der häufigste Fehler in dieser Lektion.
- a
- erste Kathete – eine Seite am rechten Winkel
- b
- zweite Kathete – die andere Seite am rechten Winkel
- c
- Hypotenuse – die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel
Eine Kathete berechnen
Eine Leiter ist 5 m lang und lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 3 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter?
Gegeben:
- c5 m (Leiter, Hypotenuse)
- b3 m (Abstand zur Wand)
Gesucht:
a (Höhe an der Wand)Lösung:
- a² + b²c²
- a²25 − 9
- a²16
- a4
Die Leiter reicht 4 m hoch. Weil die Leiter gegenüber dem rechten Winkel zwischen Boden und Wand liegt, ist sie die Hypotenuse – deshalb wird hier subtrahiert.
Jetzt bist du dran
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel bei C. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Noch nicht. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Liegt der rechte Winkel bei C, ist die gegenüberliegende Seite c – und sie ist zugleich die längste Seite.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Es gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.
- Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Suchst du eine Kathete, wird subtrahiert: a² = c² − b².
- Typischer Fehler: die Hypotenuse mit einer Kathete verwechseln und dadurch addieren statt subtrahieren.
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Das solltest du vorher können
- Quadratzahlen und Wurzelnin Arbeit
- Dreieckein Arbeit