Der Satz des Pythagoras
In dieser Lektion lernst du, was der Satz des Pythagoras aussagt und warum er nur im rechtwinkligen Dreieck gilt. Du übst, die Hypotenuse zu berechnen und eine fehlende Kathete zu bestimmen. Außerdem siehst du, woran du die Hypotenuse zuverlässig erkennst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Geometrie
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Warum ein rechter Winkel alles verändert
In jedem Dreieck hängen die drei Seitenlängen irgendwie zusammen, aber nur im rechtwinkligen Dreieck lässt sich dieser Zusammenhang als einfache Rechnung schreiben. Genau das ist der Satz des Pythagoras: Kennst du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, kannst du die dritte ausrechnen, ohne irgendetwas zu messen. In einem Dreieck ohne rechten Winkel gilt die Formel nicht, dort brauchst du später andere Werkzeuge.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die dritte Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks – das ist ein guter Selbsttest: Kommt bei dir eine Kathete länger heraus als die Hypotenuse, hast du die Seiten verwechselt. Markiere dir deshalb vor jeder Rechnung zuerst den rechten Winkel und dann die Seite gegenüber.
Der Satz steckt in vielen Alltagsdingen. Handwerker prüfen mit den Maßen 3, 4 und 5 Metern, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist, denn 9 + 16 = 25. Die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers ergibt sich aus Breite und Höhe. Und die Luftlinie zwischen zwei Punkten in einem Stadtplan ist nichts anderes als eine Hypotenuse über den beiden Gitterabständen. Auch Navigationsgeräte berechnen kurze Entfernungen auf diese Weise.
Warum gilt der Satz überhaupt? Stell dir über jeder Seite ein Quadrat vor. Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist genau so groß wie die beiden Kathetenquadrate zusammen. Man kann die beiden kleinen Quadrate sogar zerschneiden und die Teile lückenlos in das große Quadrat legen. Deshalb rechnest du mit Quadraten und ziehst am Ende die Wurzel, um von der Fläche zurück zur Seitenlänge zu kommen.
Die Formel
Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Wichtig ist die Rollenverteilung: c steht immer für die Seite gegenüber dem rechten Winkel, egal wie das Dreieck gedreht ist. Heißt die Hypotenuse in einer Aufgabe anders, etwa s oder e, dann nimmt diese Seite den Platz von c ein.
Suchst du eine Kathete statt der Hypotenuse, formst du um: a² = c² − b². Hier wird subtrahiert, nicht addiert – das ist der häufigste Fehler in dieser Lektion. Denk daran, dass du am Ende noch die Wurzel ziehen musst: a² = 16 bedeutet a = 4, nicht a = 16.
Der Satz gilt auch umgekehrt. Erfüllen drei Seitenlängen die Gleichung a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig. Damit kannst du prüfen, ob ein Winkel wirklich 90° hat, ohne ein Geodreieck anzulegen.
- a
- erste Kathete – eine Seite am rechten Winkel
- b
- zweite Kathete – die andere Seite am rechten Winkel
- c
- Hypotenuse – die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel
| Tripel | a² + b² | c² |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 9 + 16 = 25 | 25 |
| 5 – 12 – 13 | 25 + 144 = 169 | 169 |
| 8 – 15 – 17 | 64 + 225 = 289 | 289 |
| 7 – 24 – 25 | 49 + 576 = 625 | 625 |
Beispiel 1: Eine Kathete berechnen
Eine Leiter ist 5 m lang und lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 3 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter?
Gegeben:
- c5 m (Leiter, Hypotenuse)
- b3 m (Abstand zur Wand)
Gesucht:
a (Höhe an der Wand)Lösung:
- Rechter Winkel suchen: Er liegt zwischen Boden und Wand. Die Leiter liegt ihm gegenüber und ist deshalb die Hypotenuse c.
- a² + b²c²
- Nach der gesuchten Kathete umstellen: a² = c² − b²
- Einsetzen: a²5² − 3²25 − 9
- a²16
- Wurzel ziehen: a4
- Selbsttest: 4 m ist kürzer als die Leiter mit 5 m, das passt.
Die Leiter reicht 4 m hoch. Weil die Leiter gegenüber dem rechten Winkel zwischen Boden und Wand liegt, ist sie die Hypotenuse – deshalb wird hier subtrahiert. Hättest du addiert, wäre mit etwa 5,83 m eine Höhe herausgekommen, die größer ist als die Leiter selbst.
Beispiel 2: Die Hypotenuse berechnen
Ein Zeltdach hat eine Grundfläche, deren Diagonale gesucht ist. Die Seiten des rechteckigen Zeltbodens sind 6 m und 8 m lang. Wie lang ist die Diagonale?
Gegeben:
- a6 m
- b8 m
Gesucht:
c (Diagonale, Hypotenuse)Lösung:
- Die Diagonale eines Rechtecks teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke, die Diagonale liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die Hypotenuse c.
- a² + b²c²
- Einsetzen: c²6² + 8²36 + 64
- c²100
- Wurzel ziehen: c10 m
- Selbsttest: 10 m ist länger als beide Seiten, das passt zur Hypotenuse.
Die Diagonale ist 10 m lang. Weil hier die Hypotenuse gesucht ist, werden die beiden Kathetenquadrate addiert statt subtrahiert. Das Zahlentripel 6-8-10 ist das Doppelte des bekannten Tripels 3-4-5, deshalb geht die Wurzel wieder glatt auf.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Hypotenuse falsch zu bestimmen und dadurch zu addieren, wo eigentlich subtrahiert werden muss – oder umgekehrt. Prüfe deshalb vor jeder Rechnung, welche Seite dem rechten Winkel gegenüberliegt. Nur diese Seite darf in der Formel für c stehen, egal wie das Dreieck in der Zeichnung gedreht ist.
Ein zweiter Fehler passiert beim Quadrieren negativer oder gemischter Zahlen: 2,5² wird manchmal als 5 statt als 6,25 gerechnet. Rechne Kommazahlen deshalb sorgfältig aus, notfalls als Bruch. Ein dritter Fehler ist, die Wurzel zu vergessen und das Quadrat selbst als Ergebnis anzugeben – a² = 144 bedeutet a = 12, nicht a = 144.
Alltagsbezug und Tipps für die Klassenarbeit
Der Satz des Pythagoras begegnet dir überall dort, wo etwas rechtwinklig gebaut wird. Regale, Bilderrahmen und Zäune werden mit der 3-4-5-Methode auf rechte Winkel geprüft: Wer an einer Ecke 3 m und 4 m abträgt und die Diagonale misst, muss genau 5 m erhalten, sonst ist die Ecke schief. Auch bei der Verlegung von Fliesen oder beim Aufstellen eines Zelts wird diese Methode genutzt, weil sie ohne Winkelmesser auskommt.
In der Klassenarbeit lohnt es sich, zuerst eine Skizze anzufertigen und den rechten Winkel einzuzeichnen, bevor du irgendetwas einsetzt. Schreibe dir given und gesucht bewusst hin, das verhindert Verwechslungen. Nutze außerdem den Selbsttest: Die Hypotenuse muss am Ende die längste Seite sein. Kommst du auf ein unrundes Ergebnis wie eine sehr lange Dezimalzahl, prüfe noch einmal, ob wirklich addiert oder subtrahiert werden musste.
Jetzt bist du dran
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel bei C. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Noch nicht. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Liegt der rechte Winkel bei C, ist die gegenüberliegende Seite c – und sie ist zugleich die längste Seite.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Es gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.
- Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Suchst du eine Kathete, wird subtrahiert: a² = c² − b².
- Typischer Fehler: die Hypotenuse mit einer Kathete verwechseln und dadurch addieren statt subtrahieren.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Der Satz des Pythagoras
- Wie erkenne ich, welche Seite die Hypotenuse ist?
- Suche zuerst den rechten Winkel, er ist in Zeichnungen meist mit einem Viertelkreis und Punkt markiert. Die Seite, die diesen Winkel nicht berührt, sondern ihm gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind die Katheten. Die Buchstaben selbst sagen dagegen nichts, entscheidend ist nur die Lage.
- Wie berechne ich eine Kathete mit dem Satz des Pythagoras?
- Stelle die Formel nach der gesuchten Kathete um: a² = c² − b². Setze die Hypotenuse und die bekannte Kathete ein, subtrahiere die Quadrate und ziehe am Ende die Wurzel. Beispiel: Hypotenuse 13 cm, Kathete 5 cm. Dann ist a² = 169 − 25 = 144 und a = 12 cm. Das Ergebnis muss kleiner als die Hypotenuse sein.
- Gilt der Satz des Pythagoras auch in jedem Dreieck?
- Nein, nur in rechtwinkligen Dreiecken. In anderen Dreiecken ist c² entweder größer oder kleiner als a² + b², je nachdem, ob der Winkel gegenüber von c stumpf oder spitz ist. Für solche Dreiecke lernst du in der Oberstufe den Kosinussatz. Er enthält den Satz des Pythagoras als Sonderfall, wenn der Winkel genau 90° beträgt.
- Wie kann ich prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
- Quadriere alle drei Seitenlängen und addiere die beiden kleineren Quadrate. Ergibt das genau das Quadrat der längsten Seite, ist das Dreieck rechtwinklig. Bei 5 cm, 12 cm und 13 cm gilt 25 + 144 = 169 = 13², also liegt ein rechter Winkel vor. Bei 4 cm, 5 cm und 6 cm ist 16 + 25 = 41 und nicht 36, also nicht.
- In welcher Klasse lernt man den Satz des Pythagoras?
- Der Satz des Pythagoras steht in fast allen Bundesländern in Klasse 8 oder 9 auf dem Lehrplan. Voraussetzung sind Quadratzahlen und Quadratwurzeln. Später brauchst du ihn ständig wieder, etwa bei Körperberechnungen, bei Abständen im Koordinatensystem und in der Trigonometrie. Er gehört zu den Themen, die in Abschlussprüfungen besonders häufig vorkommen.
- Was sind pythagoreische Tripel?
- Pythagoreische Tripel sind drei ganze Zahlen, die genau die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, zum Beispiel 3, 4 und 5 oder 5, 12 und 13. Bei ihnen geht die Wurzel am Ende glatt auf, es bleibt also keine Dezimalzahl übrig. Vielfache eines Tripels sind ebenfalls Tripel, etwa 6, 8 und 10. Diese Zahlen tauchen in Aufgaben besonders oft auf, weil sie sich leicht nachrechnen lassen.
- Wie berechne ich den Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras?
- Bilde aus den x- und y-Koordinaten der beiden Punkte ein rechtwinkliges Hilfsdreieck: Die waagerechte und die senkrechte Differenz sind die beiden Katheten, die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse. Quadriere beide Differenzen, addiere sie und ziehe die Wurzel. So berechnest du zum Beispiel die Luftlinie zwischen zwei Orten in einem Koordinatensystem, ohne ein Lineal anzulegen.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Quadratzahlen und Wurzelnin Arbeit
- Dreieckein Arbeit