Differentialgleichung Wachstum: Lösung, Verdopplungszeit und Beispiele
Die Differentialgleichung Wachstum f'(t) = k · f(t) beschreibt, dass der Zuwachs proportional zum Bestand ist, und wird durch c · eᵏᵗ gelöst. Du lernst Ansatz, Anfangswert und Wachstumskonstante, rechnest Bakterien- und Bestandsbeispiele und übst mit fünf Aufgaben.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Analysis
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Differentialgleichung Wachstum: Was ist das?
Die Differentialgleichung Wachstum f'(t) = k · f(t) besagt: Die Änderungsrate eines Bestands ist proportional zum Bestand selbst. Je mehr da ist, desto schneller wächst es. Die Lösung ist die Exponentialfunktion f(t) = c · eᵏᵗ. Damit beschreibst du Bakterienkulturen, Zinsen, Bevölkerungen und radioaktiven Zerfall.
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion und ihre Ableitung vorkommen. Du suchst keine Zahl, sondern eine ganze Funktion, die die Gleichung erfüllt. Die Gleichung f' = k · f lautet in Worten: Die Steigung des Graphen ist an jeder Stelle das k-Fache des Funktionswerts. Je höher der Graph liegt, desto steiler ist er.
Warum ist das nützlich? In der Natur hängt der Zuwachs oft vom Bestand ab. Bei Bakterien teilt sich jede Zelle, bei Geld bringt ein höheres Guthaben höhere Zinsen. Statt für jeden Zeitpunkt einzeln zu messen, reicht die Gleichung samt Startwert, um den ganzen Verlauf vorherzusagen. Das ist die Stärke der Differentialgleichung.
| Merkmal | Wachstum | Zerfall |
|---|---|---|
| Gleichung | f' = k · f mit k > 0 | f' = k · f mit k < 0 |
| Lösung | c · eᵏᵗ steigt | c · eᵏᵗ fällt |
| Beispiel | Bakterien, Kapital | radioaktive Stoffe, Medikament |
| Kennzahl | Verdopplungszeit | Halbwertszeit |
Differentialgleichung Wachstum lösen: Ansatz, Probe und Kennzahlen
Der Lösungsansatz lautet f(t) = c · eᵏᵗ. Die Probe zeigt, dass er stimmt: Mit der Kettenregel ergibt die Ableitung f'(t) = c · k · eᵏᵗ, und das ist genau k · f(t). Die Konstante c bleibt zunächst offen und beschreibt eine ganze Schar von Lösungen. Erst der Anfangswert legt c fest: Aus f(0) = c · e⁰ = c folgt, dass c der Startbestand ist.
Die Wachstumskonstante k kennst du entweder aus der Gleichung oder aus einem zweiten Messwert. Ist f(t₁) gegeben, setzt du ein, teilst durch c und löst mit dem natürlichen Logarithmus nach k auf. Dabei ist k = ln(f(t₁) : c) : t₁.
Zwei Kennzahlen kommen immer wieder vor. Die Verdopplungszeit bei Wachstum beträgt T = ln(2) : k. Die Halbwertszeit bei Zerfall beträgt T = ln(2) : (−k). Beide hängen nicht vom Startwert ab: Auch nach der doppelten Zeit hat sich der Bestand vervierfacht, egal von wo du startest.
- f
- Bestand zur Zeit t
- c
- Anfangsbestand bei t = 0
- k
- Wachstumskonstante, bei Zerfall negativ
- t
- Zeit
Beispiel 1: Bakterienwachstum mit der Differentialgleichung
Eine Bakterienkultur wächst nach f'(t) = 0,3 · f(t) (t in Stunden). Zu Beginn sind es 200 Bakterien. Gib die Lösung an und berechne den Bestand nach 5 Stunden.
Gegeben:
- f'(t)0,3 · f(t)
- f(0)200
Gesucht:
f(t) und f(5)Lösung:
- Ansatz: f(t) = c · e^(0,3t). Dabei ist k = 0,3 aus der Gleichung abzulesen.
- Anfangswert: f(0) = c · e⁰ = c = 200. Also lautet die Lösung f(t) = 200 · e^(0,3t).
- Probe: f'(t) = 200 · 0,3 · e^(0,3t) = 0,3 · f(t). Die Gleichung ist erfüllt.
- Bestand nach 5 Stunden: f(5)200 · e^1,5 ≈ 200 · 4,4817 ≈ 896.
Die Lösung ist f(t) = 200 · e^(0,3t). Nach 5 Stunden gibt es etwa 896 Bakterien. Die Tabelle zeigt, dass der Zuwachs je Stunde immer größer wird: Er wächst proportional zum Bestand.
Beispiel 2: Wachstumskonstante und Verdopplungszeit bestimmen
Ein Bestand wächst nach f'(t) = k · f(t) von 1000 auf 1500 in 4 Jahren. Bestimme k, die Verdopplungszeit und den Bestand nach 8 Jahren.
Gegeben:
- f(0)1000, f(4)1500
- Ansatz f(t)1000 · eᵏᵗ
Gesucht:
k, Verdopplungszeit T und f(8)Lösung:
- Einsetzen: 1000 · e^(4k)1500, also e^(4k)1,5.
- Logarithmus: 4kln(1,5) ≈ 0,4055, also k ≈ 0,1014 je Jahr.
- Verdopplungszeit: Tln(2) : k ≈ 0,6931 : 0,1014 ≈ 6,84 Jahre.
- Bestand nach 8 Jahren: f(8)1000 · e^(8k)1000 · 1,5²2250.
Es gilt k ≈ 0,1014 je Jahr, der Bestand verdoppelt sich etwa alle 6,8 Jahre und beträgt nach 8 Jahren 2250. Weil 8 genau zwei Mal 4 ist, wird der Faktor 1,5 zweimal angewendet.
| Größe | Wert | Rechnung |
|---|---|---|
| Wachstumskonstante k | ≈ 0,1014 je Jahr | ln(1,5) : 4 |
| Verdopplungszeit T | ≈ 6,84 Jahre | ln(2) : k |
| Bestand nach 8 Jahren | 2250 | 1000 · 1,5² |
Typische Fehler bei der Differentialgleichung Wachstum
Der häufigste Fehler ist, die Differentialgleichung mit der Funktionsgleichung zu verwechseln. Aus f'(t) = 0,3 · f(t) wird dann f(t) = 0,3 · t oder 0,3 · f(t). Die Gleichung beschreibt aber die Steigung und nicht den Bestand. Erst der Ansatz mit der e-Funktion liefert die Funktion selbst.
Der zweite Fehler ist, den Anfangswert zu vergessen. Ohne f(0) bleibt c offen, und es gibt unendlich viele Lösungen, eine ganze Kurvenschar. Lies in jeder Aufgabe nach, welche Bedingung gegeben ist, und setze sie sofort ein. Auch die Probe mit der Ableitung geht schnell und zeigt Fehler im Vorzeichen.
Der dritte Fehler betrifft Vorzeichen und Einheiten. Bei Zerfall ist k negativ. Wer k = 0,05 statt k = −0,05 einsetzt, erhält Wachstum statt Zerfall. Außerdem passen Zeiteinheit von t und Einheit von k zusammen: Ist k je Stunde angegeben, muss t in Stunden eingesetzt werden. Beim Logarithmus gilt: ln(1,5) ist positiv, ln(0,5) ist negativ.
Differentialgleichung Wachstum in Klausur und Alltag
In der Klausur wird die Differentialgleichung meist im Sachzusammenhang abgefragt: Bakterien, Zinsen, Zerfall, Abkühlung. Typisch ist die Aufgabenfolge: Zeige, dass f(t) = c · eᵏᵗ die Gleichung löst, bestimme c und k aus zwei Werten und berechne eine Prognose oder die Verdopplungszeit. Deute das Ergebnis immer mit Einheit in einem Satz.
Wichtig ist auch das begrenzte Wachstum. Wenn der Bestand eine Schranke S nicht überschreiten kann, lautet die Gleichung f'(t) = k · (S − f(t)). Die Lösung f(t) = S − (S − f(0)) · e^(−kt) nähert sich der Schranke von unten. Beispiel: Eine Tasse Kaffee kühlt von 90 Grad auf die Raumtemperatur ab, und die Abkühlung ist am Anfang am stärksten.
Im Alltag steckt die Gleichung in Zinsrechnung, Pandemiemodellen und in der Pharmakologie. Auch im Taschenrechner, in Klimamodellen und in der Population von Fischbeständen werden Differentialgleichungen verwendet. Sie liefern keine Zukunft, aber ein Modell, das du mit Messwerten vergleichen kannst.
Jetzt bist du dran!
Welche Funktion löst die Differentialgleichung f'(t) = 0,5 · f(t)?
Noch nicht. Die Ableitung von c · e^(0,5t) ist c · 0,5 · e^(0,5t) = 0,5 · f(t). Die anderen Funktionen erfüllen die Gleichung nicht.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Differentialgleichung f'(t) = k · f(t) beschreibt Wachstum oder Zerfall: Die Änderung ist proportional zum Bestand.
- Die Lösung lautet f(t) = c · eᵏᵗ, wobei c der Anfangsbestand ist.
- Positives k bedeutet Wachstum, negatives k Zerfall. Aus einem zweiten Wert bestimmst du k mit dem Logarithmus.
- Verdopplungszeit und Halbwertszeit betragen ln(2) : |k| und hängen nicht vom Startwert ab.
- Typischer Fehler: Gleichung und Funktion verwechseln, den Anfangswert vergessen oder das Vorzeichen von k falsch setzen.
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Häufige Fragen zu Differentialgleichung Wachstum: Lösung, Verdopplungszeit und Beispiele
- Was ist eine Differentialgleichung?
- Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen vorkommen. Die Lösung ist eine Funktion, keine Zahl. Beispiel: f'(t) = 0,3 · f(t) beschreibt, dass die Steigung 30 Prozent des Funktionswerts beträgt.
- Wie löst man die Differentialgleichung f' = k · f?
- Du nutzt den Ansatz f(t) = c · eᵏᵗ. Die Probe mit der Kettenregel zeigt, dass er die Gleichung erfüllt. Den Wert c bestimmst du aus dem Anfangswert f(0), die Konstante k aus der Gleichung oder einem zweiten Messwert.
- Was ist exponentielles Wachstum als Differentialgleichung?
- Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, das heißt f'(t) = k · f(t) mit k > 0. Die Lösung c · eᵏᵗ wächst immer schneller. Für k < 0 erhältst du exponentiellen Zerfall.
- Wie berechne ich die Verdopplungszeit?
- Die Verdopplungszeit ist T = ln(2) : k. Sie ist unabhängig vom Startwert. Für k = 0,1 je Jahr ergibt das etwa 6,93 Jahre. Aus der Funktion c · eᵏᵗ folgt sie, indem du eᵏᵀ = 2 setzt und nach T auflöst.
- Was ist der Unterschied zwischen begrenztem und exponentiellem Wachstum?
- Beim exponentiellen Wachstum wächst der Bestand unbegrenzt und immer schneller. Beim begrenzten Wachstum gibt es eine Schranke S, die der Bestand nicht überschreitet. Die Differentialgleichung lautet dann f' = k · (S − f), und der Zuwachs nimmt ab.
- Wozu braucht man den Anfangswert?
- Die allgemeine Lösung c · eᵏᵗ enthält noch die Konstante c und beschreibt unendlich viele Kurven. Erst der Anfangswert f(0) legt eine einzige Kurve fest. Deshalb ist in Aufgaben fast immer ein Startwert gegeben.
- Wie hängen e-Funktion und Differentialgleichung zusammen?
- Die e-Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung ein Vielfaches der Funktion selbst ist: (eᵏᵗ)' = k · eᵏᵗ. Darum löst sie genau die Gleichung f' = k · f. Das ist der Grund, warum sie Wachstum so gut beschreibt.
- In welcher Klasse lernt man Differentialgleichungen?
- Einfache Differentialgleichungen zum Wachstum kommen in der Qualifikationsphase, meist in Klasse 12, nach der e-Funktion vor. Je nach Bundesland sind sie Pflicht oder Wahlthema, vor allem im Leistungskurs.
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