Lineares und exponentielles Wachstum
In dieser Lektion lernst du, lineares und exponentielles Wachstum zu unterscheiden. Du erkennst an einer Tabelle oder einem Text, welches Modell passt, und berechnest Werte mit dem Wachstumsfaktor.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Funktionen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Gleicher Betrag oder gleicher Faktor?
Wachstum beschreibt, wie sich eine Größe im Lauf der Zeit verändert. Beim linearen Wachstum kommt in jedem Zeitschritt derselbe Betrag dazu: Legst du jeden Monat 20 € in dein Sparschwein, wächst der Inhalt gleichmäßig. Die Werte liegen auf einer Geraden, und die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte ist immer gleich. Wird in jedem Schritt derselbe Betrag abgezogen, etwa bei einer abbrennenden Kerze, spricht man von linearer Abnahme.
Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Verdoppelt sich eine Bakterienkultur jede Stunde, wächst sie anfangs langsam und dann rasant. Hier ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte gleich. Ist der Faktor kleiner als 1, spricht man von exponentieller Abnahme oder Zerfall, etwa beim Wertverlust eines Autos oder beim Abbau von Koffein im Körper.
Welches Modell passt, entscheidet die Situation. Ein Handyvertrag mit fester Grundgebühr und festem Preis pro Gigabyte ist linear. Ein Sparkonto mit Zinseszins, eine wachsende Tierpopulation oder die Ausbreitung eines Gerüchts, bei dem jeder Eingeweihte weitere Menschen informiert, sind exponentiell. Merke dir: Hängt der Zuwachs davon ab, wie viel schon da ist, ist das Wachstum exponentiell. Ist der Zuwachs unabhängig vom Bestand, ist es linear.
Ein typischer Fehler: Bei 5 % Zunahme pro Jahr wird jedes Jahr 5 % vom Startwert addiert. Das wäre lineares Wachstum. Tatsächlich bezieht sich die Zunahme immer auf den aktuellen Wert, deshalb multiplizierst du jedes Jahr mit dem Faktor 1,05. Nach zehn Jahren ist der Unterschied schon deutlich, und er wird immer größer. Aus 1 000 € werden linear gerechnet 1 500 €, exponentiell dagegen rund 1 629 €.
Linear oder exponentiell?
Prüfe in einer Tabelle zuerst die Differenzen, dann die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Sind die Differenzen gleich, ist das Wachstum linear. Sind die Quotienten gleich, ist es exponentiell. Passt keines von beiden, liegt ein anderes Modell vor, zum Beispiel quadratisches Wachstum.
Linear: f(x) = a + d · x. Exponentiell: f(x) = a · q hoch x, mit Startwert a und Wachstumsfaktor q. In beiden Fällen ist a der Wert zum Zeitpunkt x = 0, der Unterschied liegt allein in der Art der Veränderung.
Lineares Wachstum
In jedem Zeitschritt kommt derselbe Betrag d dazu oder geht weg.
Beispiele
- Sparschwein: jeden Monat plus 20 €
- Kerze: brennt pro Stunde 2 cm ab
- Tabelle: 10, 15, 20, 25
Signalwörter
- pro Monat um … mehr
- konstante Differenz
- Gerade im Diagramm
- plus oder minus gleicher Betrag
Exponentielles Wachstum
In jedem Zeitschritt wird mit demselben Faktor q multipliziert.
Beispiele
- Bakterien verdoppeln sich stündlich: q = 2
- Guthaben mit 3 % Zinseszins: q = 1,03
- Tabelle: 10, 20, 40, 80
Signalwörter
- Prozent pro Jahr
- verdoppelt oder halbiert sich
- konstanter Quotient
- Halbwertszeit
| Änderung pro Schritt | Wachstumsfaktor q |
|---|---|
| +3 % (Zunahme) | 1,03 |
| +10 % (Zunahme) | 1,10 |
| −15 % (Abnahme) | 0,85 |
| −50 % (Halbierung) | 0,5 |
Beispiel 1: Eine Abnahme berechnen
Ein Auto kostet 20 000 € und verliert jedes Jahr 15 % an Wert. Wie viel ist es nach 2 Jahren wert?
Gegeben:
- Startwert a20 000 €
- Abnahme 15 % pro Jahr
Gesucht:
Wert nach 2 JahrenLösung:
- Der Verlust bezieht sich auf den jeweils aktuellen Wert, also exponentielle Abnahme
- Wachstumsfaktor: Es bleiben 85 % übrig, q1 − 0,150,85
- nach 1 Jahr: 20 000 € · 0,8517 000 €
- nach 2 Jahren: 17 000 € · 0,8514 450 €
- Kurzform: 20 000 € · 0,85 · 0,8520 000 € · 0,722514 450 €
Nach 2 Jahren ist das Auto noch 14 450 € wert – nicht 14 000 €, wie man bei linearer Abnahme erhalten würde. Im zweiten Jahr verliert es nur 2 550 € statt 3 000 €, weil die 15 % jetzt vom kleineren Wert 17 000 € berechnet werden.
Beispiel 2: Sparguthaben mit Zinseszins
Ein Sparguthaben von 2 000 € wird mit 3 % Zinseszins pro Jahr verzinst. Wie groß ist das Guthaben nach 4 Jahren?
Gegeben:
- Startwert a2 000 €
- Zuwachs 3 % pro Jahr
Gesucht:
Guthaben nach 4 JahrenLösung:
- Wachstumsfaktor: q1 + 0,031,03
- Nach 4 Jahren wird 4-mal mit q multipliziert: K = 2 000 € · 1,03⁴
- 1,03⁴ ≈ 1,1255
- K ≈ 2 000 € · 1,1255 ≈ 2 251 €
Nach 4 Jahren sind rund 2 251 € auf dem Konto. Die Zinsen selbst tragen also etwa 251 € bei, mehr als bei linearer Verzinsung mit 4 · 3 % = 12 % (240 €), weil ab dem zweiten Jahr auch die bereits gutgeschriebenen Zinsen mitverzinst werden.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, eine prozentuale Änderung wie eine lineare zu behandeln, also den Prozentsatz jedes Jahr vom Startwert statt vom aktuellen Wert abzuziehen oder zu addieren. Das führt gerade bei mehreren Zeitschritten zu deutlich falschen Ergebnissen.
Ein zweiter Fehler ist, den Wachstumsfaktor falsch zu berechnen, zum Beispiel 5 % Zunahme als Faktor 0,05 statt 1,05 zu verwenden. Der Faktor beschreibt immer den gesamten neuen Bestand einschließlich des ursprünglichen Werts, nicht nur den Zuwachs.
Ein dritter Fehler ist, die Anzahl der Zeitschritte im Exponenten zu verwechseln. Nach 4 Jahren steht im Exponenten eine 4, nicht die Jahreszahl selbst. Zähle die vergangenen Zeitschritte deshalb genau, besonders wenn der Startzeitpunkt nicht bei 0 liegt.
Tipps für die Klassenarbeit
Lies bei jeder Aufgabe genau, ob von einem festen Betrag pro Zeiteinheit die Rede ist (linear) oder von einem Prozentsatz, einer Verdopplung oder Halbierung (exponentiell). Diese Formulierungen verraten meist sofort, welches Modell gefragt ist.
Notiere den Wachstumsfaktor immer separat, bevor du weiterrechnest, und kontrolliere ihn: Liegt er über 1, wächst der Bestand, liegt er zwischen 0 und 1, nimmt er ab. Ein negativer Faktor oder ein Faktor über 2 bei einer normalen Prozentangabe ist fast immer ein Rechenfehler.
Runde erst am Ende der Rechnung, besonders bei mehreren Zeitschritten hintereinander. Rundest du den Wachstumsfaktor schon nach der zweiten Nachkommastelle, weichen deine Zwischenwerte nach mehreren Schritten spürbar vom exakten Ergebnis ab.
Jetzt bist du dran!
Welche Wertetabelle gehört zu exponentiellem Wachstum?
Noch nicht. Bei 5, 10, 20, 40 ist der Quotient immer 2. Die Reihen 3, 6, 9, 12 und 8, 6, 4, 2 haben konstante Differenzen und sind linear. Die Reihe 1, 4, 9, 16 besteht aus Quadratzahlen, dort ist weder Differenz noch Quotient konstant.
Das Wichtigste in Kürze
- Linear: pro Schritt kommt derselbe Betrag dazu – konstante Differenz.
- Exponentiell: pro Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert – konstanter Quotient.
- Zunahme um p % ergibt den Faktor 1 + p/100, Abnahme den Faktor 1 − p/100.
- Prozentuale Änderungen beziehen sich auf den aktuellen Wert, nicht auf den Startwert.
- Ist q kleiner als 1, liegt exponentielle Abnahme vor.
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Häufige Fragen zu Lineares und exponentielles Wachstum
- Wie erkenne ich, ob Wachstum linear oder exponentiell ist?
- Bilde in einer Wertetabelle die Differenzen aufeinanderfolgender Werte. Sind sie alle gleich, ist das Wachstum linear. Sind stattdessen die Quotienten gleich, also Wert geteilt durch Vorgänger, ist es exponentiell. In Texten deuten feste Beträge pro Zeiteinheit auf linear hin, Prozentangaben, Verdopplung oder Halbierung auf exponentiell.
- Was ist die Halbwertszeit?
- Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der von einem exponentiell abnehmenden Bestand nur noch die Hälfte übrig ist. Sie bleibt immer gleich, egal wie groß der Bestand gerade ist. Hat ein Stoff eine Halbwertszeit von 8 Tagen, bleibt nach 8 Tagen die Hälfte, nach 16 Tagen ein Viertel und nach 24 Tagen ein Achtel.
- Warum ist Zinseszins exponentielles Wachstum?
- Beim Zinseszins werden die Zinsen dem Guthaben zugeschlagen und im nächsten Jahr mitverzinst. Der Zuwachs hängt also vom aktuellen Guthaben ab, und das wächst jedes Jahr. Deshalb multiplizierst du jährlich mit demselben Faktor, etwa 1,03 bei 3 Prozent. Würden die Zinsen jedes Jahr ausgezahlt statt angelegt, wäre das Guthaben dagegen konstant.
- Wie berechne ich exponentielle Abnahme?
- Ziehe den Prozentsatz der Abnahme von 100 Prozent ab und schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl. Bei 15 Prozent Verlust bleiben 85 Prozent, also q = 0,85. Dann multiplizierst du den Startwert so oft mit q, wie Zeitschritte vergangen sind. Nach drei Jahren rechnest du also Startwert mal 0,85 mal 0,85 mal 0,85.
- In welcher Klasse lernt man exponentielles Wachstum?
- Lineares und exponentielles Wachstum werden meist in Klasse 9 oder 10 verglichen. Lineare Funktionen kennst du dann schon aus Klasse 7 oder 8, die Prozentrechnung ebenfalls. Im Anschluss folgen Exponentialfunktionen und der Logarithmus. Das Thema kommt häufig in Abschlussprüfungen vor, oft als Textaufgabe zu Zinsen, Bevölkerung oder Wertverlust.
- Wie berechnet man den Wachstumsfaktor bei mehreren Prozentangaben hintereinander?
- Ändert sich eine Größe über mehrere Zeitschritte mit demselben Prozentsatz, multiplizierst du den Startwert so oft mit dem Wachstumsfaktor, wie Zeitschritte vergangen sind: K = a · q^n. Ändern sich die Prozentsätze von Schritt zu Schritt, multiplizierst du stattdessen die einzelnen Faktoren hintereinander, zum Beispiel erst mit 1,05 und danach mit 0,98.
- Kann Wachstum auch weder linear noch exponentiell sein?
- Ja. Manche Vorgänge folgen einem quadratischen oder einem noch komplexeren Modell, etwa wenn die Zunahme selbst wieder zunimmt, aber nicht mit konstantem Faktor. In der Wertetabelle erkennst du das daran, dass weder die Differenzen noch die Quotienten aufeinanderfolgender Werte konstant sind.
- Warum wirkt exponentielles Wachstum am Anfang oft langsamer als lineares?
- Bei kleinen Startwerten ist auch der absolute Zuwachs pro Schritt klein, selbst wenn der Prozentsatz hoch ist. Erst wenn der Bestand groß genug ist, wird der gleichbleibende Faktor auch in absoluten Zahlen deutlich sichtbar. Deshalb überholt exponentielles Wachstum lineares Wachstum meist erst nach einigen Zeitschritten, wächst danach aber immer schneller.
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