Funktionenscharen
Eine Funktionenschar ist eine ganze Familie von Funktionen, die alle denselben Aufbau haben, sich aber durch einen Parameter unterscheiden, der wie eine zusätzliche Variable behandelt wird. In dieser Lektion lernst du, wie du Nullstellen und Extrempunkte einer Funktionenschar in Abhängigkeit vom Parameter berechnest.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Analysis
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Schwer
Funktionenscharen: Eine Formel, unendlich viele Funktionen
Eine Funktionenschar ist eine Gruppe von Funktionen, die alle denselben Funktionsterm haben, in dem aber zusätzlich zur Variablen x noch ein Parameter vorkommt, meist mit a bezeichnet. Für jeden Wert, den man für a einsetzt, entsteht eine eigene, konkrete Funktion mit ihrem eigenen Graphen.
Ein Beispiel für eine Funktionenschar ist f mit dem Parameter a: f von x ist gleich x zum Quadrat minus 2 mal a mal x. Setzt man für a die Zahl 1 ein, erhält man eine bestimmte Parabel, setzt man für a die Zahl 3 ein, erhält man eine andere Parabel mit demselben Grundaufbau, aber verschobenem Scheitelpunkt.
Funktionenscharen werden untersucht, um allgemeine Aussagen über eine ganze Familie von Funktionen zu treffen, ohne jede einzelne Funktion separat berechnen zu müssen. Das ist besonders nützlich, wenn ein Zusammenhang von einem veränderlichen Parameter abhängt, etwa einer variablen Anfangsgeschwindigkeit oder einer variablen Materialstärke.
Mit dem Parameter rechnen wie mit einer Zahl
Der entscheidende Trick beim Rechnen mit Funktionenscharen ist, den Parameter a wie eine ganz normale Zahl zu behandeln, ohne ihn tatsächlich auszurechnen. Alle bekannten Rechenregeln, etwa für Nullstellen oder Ableitungen, gelten weiterhin, nur dass am Ende ein Ausdruck mit a im Ergebnis stehen bleibt.
Bei der Nullstellenberechnung wird der Funktionsterm wie gewohnt gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Da der Parameter a dabei erhalten bleibt, hängen die gefundenen Nullstellen in der Regel vom Wert des Parameters ab.
Auch die Ableitung einer Funktionenschar wird nach a nicht abgeleitet, sondern nur nach der Variablen x, denn a wird als Konstante behandelt. Aus der Ableitung lassen sich anschließend, wie bei einer normalen Funktion, die Extrempunkte in Abhängigkeit von a bestimmen.
- f
- Funktion der Schar in Abhängigkeit von x
- x
- Variable der Funktion
- a
- Parameter, der die Schar festlegt
| Parameter a | Nullstellen | Tiefpunkt |
|---|---|---|
| a = 1 | x = 0 und x = 2 | Tiefpunkt bei (1 | minus 1) |
| a = 3 | x = 0 und x = 6 | Tiefpunkt bei (3 | minus 9) |
| a = minus 2 | x = 0 und x = minus 4 | Tiefpunkt bei (minus 2 | minus 4) |
Beispiel 1: Nullstellen einer Funktionenschar
Bestimme die Nullstellen der Funktionenschar f mit f von x gleich x zum Quadrat minus 2 mal a mal x in Abhängigkeit vom Parameter a.
Gegeben:
- f von x = x zum Quadrat minus 2 mal a mal x
Gesucht:
Nullstellen von f in Abhängigkeit von aLösung:
- Funktionsterm gleich 0 setzen: x zum Quadrat minus 2 mal a mal x gleich 0.
- x ausklammern: x mal (x minus 2 mal a) gleich 0.
- Beide Faktoren einzeln 0 setzen: x gleich 0 oder x minus 2 mal a gleich 0.
- Zweite Gleichung nach x auflösen: x gleich 2 mal a.
Die Funktionenschar hat für jeden Wert von a die Nullstellen x gleich 0 und x gleich 2 mal a. Setzt man beispielsweise a gleich 3 ein, ergeben sich die Nullstellen x gleich 0 und x gleich 6, was mit der Vergleichstabelle übereinstimmt.
Beispiel 2: Extrempunkt einer Funktionenschar
Bestimme den Tiefpunkt der Funktionenschar f mit f von x gleich x zum Quadrat minus 2 mal a mal x in Abhängigkeit vom Parameter a.
Gegeben:
- f von x = x zum Quadrat minus 2 mal a mal x
- Ableitung f Strich von x = 2 mal x minus 2 mal a
Gesucht:
Tiefpunkt von f in Abhängigkeit von aLösung:
- Ableitung 0 setzen: 2 mal x minus 2 mal a gleich 0.
- Nach x auflösen: x gleich a.
- x gleich a in den Funktionsterm einsetzen: f von a gleich a zum Quadrat minus 2 mal a mal a.
- Ausdruck vereinfachen: a zum Quadrat minus 2 mal a zum Quadrat ergibt minus a zum Quadrat.
Der Tiefpunkt der Funktionenschar liegt bei x gleich a und dem Funktionswert minus a zum Quadrat. Für a gleich 3 ergibt sich der Tiefpunkt bei (3 | minus 9), genau wie in der Vergleichstabelle angegeben.
Typische Fehler bei Funktionenscharen
Der häufigste Fehler ist, den Parameter a bei der Ableitung mit abzuleiten, obwohl er als Konstante behandelt werden muss. Nur nach der Variablen x wird abgeleitet, der Parameter a bleibt in der Ableitung unverändert stehen.
Ein zweiter Fehler entsteht, wenn beim Auflösen einer Gleichung durch a geteilt wird, ohne den Sonderfall a gleich 0 zu betrachten. Eine Division durch a ist nur erlaubt, wenn a garantiert nicht 0 ist, andernfalls muss dieser Fall gesondert untersucht werden.
Ein dritter Fehler ist, das Ergebnis nur für einen einzelnen Zahlenwert von a anzugeben, obwohl nach der allgemeinen Lösung in Abhängigkeit vom Parameter gefragt war. Die Aufgabe verlangt in der Regel eine Formel, die für jeden beliebigen Parameterwert gilt.
Tipps für die Klassenarbeit
Behandle den Parameter a beim Rechnen konsequent wie eine feste Zahl, schreibe ihn aber bei jedem Schritt mit auf, statt ihn versehentlich wegzulassen. So bleibt das Ergebnis für die gesamte Funktionenschar gültig.
Prüfe bei Gleichungen mit dem Parameter, ob eine Fallunterscheidung nötig ist, insbesondere bei einer Division durch a oder bei einem Ausdruck, der für bestimmte Parameterwerte 0 werden könnte.
Kontrolliere dein allgemeines Ergebnis, indem du für a einen konkreten Zahlenwert einsetzt und die Rechnung mit dieser Zahl noch einmal separat durchführst. Stimmen beide Ergebnisse überein, hast du die Funktionenschar richtig untersucht.
Jetzt bist du dran!
Bestimme die von 0 verschiedene Nullstelle der Schar f von x gleich x zum Quadrat minus 2 mal a mal x für a gleich 5.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen mit demselben Aufbau, die sich durch einen Parameter unterscheiden.
- Der Parameter wird beim Rechnen wie eine feste Zahl behandelt, aber nicht ausgerechnet.
- Nullstellen und Extrempunkte einer Funktionenschar werden in Abhängigkeit vom Parameter angegeben.
- Beim Ableiten wird nur nach der Variablen x abgeleitet, der Parameter bleibt als Konstante stehen.
- Bei Gleichungen mit dem Parameter muss geprüft werden, ob eine Fallunterscheidung nötig ist, etwa bei einer möglichen Division durch den Parameter.
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Häufige Fragen zu Funktionenscharen
- Was ist eine Funktionenschar?
- Eine Funktionenschar ist eine Gruppe von Funktionen mit demselben Funktionsterm, in dem zusätzlich ein Parameter vorkommt. Für jeden Wert, den man für den Parameter einsetzt, entsteht eine eigene, konkrete Funktion aus dieser Schar.
- Wie rechnet man mit dem Parameter einer Funktionenschar?
- Der Parameter wird bei allen Rechenschritten wie eine feste Zahl behandelt, aber nicht ausgerechnet. Das Ergebnis, etwa eine Nullstelle oder ein Extrempunkt, wird deshalb als Ausdruck angegeben, der von diesem Parameter abhängt.
- Wie bestimmt man die Nullstellen einer Funktionenschar?
- Man setzt den Funktionsterm wie gewohnt gleich 0 und löst die Gleichung nach der Variablen x auf, wobei der Parameter in der Gleichung stehen bleibt. Das Ergebnis sind Nullstellen, die in Abhängigkeit vom Parameter angegeben werden.
- Wie leitet man eine Funktionenschar ab?
- Man leitet die Funktionenschar genauso ab wie eine gewöhnliche Funktion, wobei nur nach der Variablen x abgeleitet wird. Der Parameter wird dabei wie eine Konstante behandelt und bleibt in der Ableitung unverändert erhalten.
- Was ist eine Ortskurve bei Funktionenscharen?
- Die Ortskurve verbindet die Extrempunkte aller Funktionen einer Schar zu einer neuen Kurve. Man bestimmt dafür die Koordinaten des Extrempunkts in Abhängigkeit vom Parameter und eliminiert anschließend den Parameter, um eine Gleichung ohne Parameter zu erhalten.
- In welcher Klasse werden Funktionenscharen behandelt?
- Funktionenscharen werden meist in Klasse 12 in der Oberstufe unterrichtet, nachdem Ableitungen, Nullstellenberechnung und Extremwertaufgaben bei einzelnen Funktionen bereits sicher beherrscht werden. Das Thema verbindet diese Grundlagen mit dem Rechnen mit Parametern.
- Wozu braucht man Funktionenscharen in der Praxis?
- Funktionenscharen werden verwendet, um Modelle zu untersuchen, die von einer veränderlichen Größe abhängen, etwa unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeiten, Materialstärken oder Kostenparameter. So lässt sich eine allgemeine Aussage für alle möglichen Werte dieser Größe treffen, statt jeden Fall einzeln zu berechnen.
- Wie kontrolliert man ein Ergebnis bei Funktionenscharen?
- Man setzt für den Parameter einen konkreten Zahlenwert ein und führt die Rechnung mit dieser Zahl separat noch einmal durch. Stimmt das Ergebnis mit dem eingesetzten Wert der allgemeinen Formel überein, wurde die Funktionenschar korrekt untersucht.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.