Dezimalzahlen verstehen und umrechnen
In dieser Lektion lernst du, was hinter dem Komma steht und wie Dezimalzahlen und Brüche zusammenhängen. Danach kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, zurückrechnen und Dezimalzahlen sicher vergleichen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 15 Min
- Niveau: Mittel
Was hinter dem Komma steht
Eine Dezimalzahl ist nichts anderes als ein Bruch mit dem Nenner 10, 100, 1 000 und so weiter – nur anders aufgeschrieben. Links vom Komma stehen die Ganzen, rechts davon die Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. Bei 3,45 hast du also 3 Ganze, 4 Zehntel und 5 Hundertstel, zusammen 3 + 45/100. Das Komma trennt nur die Ganzen von den Teilen, es ist kein eigener Rechenschritt.
Genau wie bei den ganzen Zahlen wird jede Stelle nach rechts zehnmal kleiner. Deshalb darfst du hinten Nullen anhängen, ohne den Wert zu ändern: 0,5 und 0,50 sind dieselbe Zahl, weil 5/10 und 50/100 denselben Anteil bezeichnen. Das ist beim Vergleichen praktisch, denn mit gleich vielen Nachkommastellen kannst du Ziffer für Ziffer vergleichen. Nullen zwischen Komma und Ziffern darfst du dagegen nicht weglassen: 0,05 ist etwas anderes als 0,5.
Im Alltag begegnen dir Dezimalzahlen ständig. Preise wie 2,49 € bedeuten 2 Euro und 49 Hundertstel Euro, also 49 Cent. Beim Sport werden Zeiten auf Zehntel und Hundertstel Sekunden gemessen, und auf der Waage stehen 1,25 kg für ein Kilogramm und 250 Gramm, weil 0,25 kg ein Viertel Kilogramm sind. Wer Dezimalzahlen sicher lesen kann, versteht solche Angaben sofort.
Von der Dezimalzahl zum Bruch und zurück
Von der Dezimalzahl zum Bruch: Schreibe die Ziffern hinter dem Komma als Zähler und für jede Nachkommastelle eine Null hinter der 1 als Nenner. Aus 0,25 wird 25/100, gekürzt 1/4. Aus 0,6 wird 6/10, gekürzt 3/5. Steht vor dem Komma eine Zahl, bleibt sie als Ganzes erhalten: 2,5 = 2 5/10 = 2 1/2.
Vom Bruch zur Dezimalzahl gibt es zwei Wege. Lässt sich der Nenner auf 10, 100 oder 1 000 erweitern, ist es reines Erweitern: 3/4 = 75/100 = 0,75. Das klappt immer dann, wenn der vollständig gekürzte Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Sonst dividierst du den Zähler schriftlich durch den Nenner: 1 : 3 = 0,333… Solche Zahlen heißen periodisch und brechen nie ab.
Einige Umrechnungen lohnt es sich auswendig zu kennen: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2 und 1/10 = 0,1. Damit kannst du viele Aufgaben im Kopf lösen.
- z
- Wert der Dezimalzahl
- g
- Zahl vor dem Komma
- a
- Ziffer der Zehntelstelle
- b
- Ziffer der Hundertstelstelle
| Stelle | Bedeutung | Beispiel bei 3,45 |
|---|---|---|
| 1. Stelle nach dem Komma | Zehntel | 4 Zehntel |
| 2. Stelle nach dem Komma | Hundertstel | 5 Hundertstel |
| 3. Stelle nach dem Komma | Tausendstel | 0 Tausendstel |
Beispiel 1: umwandeln und vergleichen
Wandle 3/8 in eine Dezimalzahl um und vergleiche das Ergebnis mit 0,4.
Gegeben:
- 38
- 0,4
Gesucht:
Dezimalzahl und VergleichLösung:
- Nenner prüfen: 8 = 2 · 2 · 2, also ist Erweitern möglich
- 1 000 : 8125, also mit 125 erweitern
- 3 · 125375 und 8 · 1251 000, also 383751000
- 37510000,375
- 0,4 als 0,400 schreiben
- Zehntel vergleichen: 3 < 4
- 0,375 < 0,400
Es gilt 3/8 = 0,375, und das ist kleiner als 0,4. Mit gleich vielen Nachkommastellen wird der Vergleich eindeutig. Entscheidend ist schon die Zehntelstelle: 3 Zehntel sind weniger als 4 Zehntel, egal was danach noch folgt.
Beispiel 2: Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln
Schreibe 0,625 als vollständig gekürzten Bruch.
Gegeben:
- 0,625
Gesucht:
gekürzter BruchLösung:
- Nachkommastellen zählen: drei Stellen, also Nenner 1000
- Ziffern als Zähler übernehmen: 625/1000
- ggT von 625 und 1000 suchen: beide durch 125 teilbar
- 625 : 1255 und 1000 : 1258, also 58
0,625 entspricht 5/8. Zur Kontrolle rechnest du zurück: 5 : 8 = 0,625. Wenn dir der ggT nicht sofort auffällt, kannst du auch schrittweise kürzen, etwa erst durch 5, dann noch einmal durch 5 und durch 5.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler steckt beim Vergleichen: Viele vergleichen Dezimalzahlen wie ganze Zahlen und halten 0,7 für kleiner als 0,25, weil 25 größer als 7 ist. Schreibst du 0,7 als 0,70, siehst du sofort, dass 0,70 größer ist. Zähle also immer erst die Stellen und fülle mit Nullen auf, bevor du entscheidest.
Ein zweiter Fehler ist, beim Umwandeln vom Bruch zur Dezimalzahl die falsche Anzahl Nullen zu verwenden. 1/4 hat den Nenner 4, nicht 40 oder 400 – erweitert wird auf 100, also 25/100 = 0,25. Zähle nach, wie oft der Nenner in die passende Zehnerpotenz passt, statt zu raten.
Ein dritter Fehler ist, bei der Rückumwandlung die Anzahl der Nachkommastellen falsch zu zählen. 0,05 hat zwei Nachkommastellen und wird zu 5/100, nicht zu 5/10. Die führende Null direkt nach dem Komma zählt mit, auch wenn sie leicht übersehen wird.
Tipps für die Klassenarbeit
Präge dir die häufigsten Umrechnungen ein: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2 und 1/10 = 0,1. Damit kannst du viele Aufgaben im Kopf lösen, ohne erst schriftlich zu rechnen.
Im Alltag rechnest du ständig mit Dezimalzahlen, ohne es Rechnung zu nennen: beim Abwiegen von Zutaten in Kilogramm, beim Ablesen der Tankuhr in Litern oder beim Vergleichen von Preisen im Supermarkt. Wer 0,89 € und 0,9 € sicher vergleichen kann, erkennt sofort das günstigere Angebot.
Für die Klassenarbeit hilft es, beim Vergleichen mehrerer Dezimalzahlen alle auf dieselbe Anzahl Nachkommastellen zu bringen, bevor du irgendetwas entscheidest. Schreibe sie dafür untereinander, richte das Komma aus und fülle rechts mit Nullen auf – dann liest du das Ergebnis stellenweise von links ab.
Jetzt bist du dran!
Welche der Zahlen ist am größten?
Noch nicht. Mit drei Nachkommastellen geschrieben: 0,250, 0,700, 0,309 und 0,400. Damit ist 0,7 die größte Zahl. Dass 0,309 die meisten Ziffern hat, macht sie nicht größer, entscheidend ist die Zehntelstelle.
Das Wichtigste in Kürze
- Dezimalzahlen sind Brüche mit den Nennern 10, 100 oder 1 000.
- Nach dem Komma folgen Zehntel, Hundertstel und Tausendstel.
- Angehängte Nullen ändern den Wert nicht: 0,5 = 0,50.
- Zum Vergleichen erst auf gleich viele Nachkommastellen bringen.
- Bruch zu Dezimalzahl: erweitern oder Zähler durch Nenner dividieren.
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Häufige Fragen zu Dezimalzahlen verstehen und umrechnen
- Wie wandle ich einen Bruch in eine Dezimalzahl um?
- Versuche zuerst, den Nenner auf 10, 100 oder 1 000 zu erweitern. Aus 2/5 wird so 4/10 = 0,4. Klappt das nicht, teilst du den Zähler schriftlich durch den Nenner. 2/3 ergibt dann 2 : 3 = 0,666… und hört nie auf. Solche periodischen Zahlen schreibt man mit einem Strich über der sich wiederholenden Ziffer.
- Wie wandle ich eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
- Die Ziffern nach dem Komma werden zum Zähler, der Nenner ist eine 1 mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt. 0,36 hat zwei Nachkommastellen, also 36/100. Danach kürzt du so weit wie möglich, hier durch 4 zu 9/25. Steht vor dem Komma eine Zahl, erhältst du eine gemischte Zahl.
- Welche Dezimalzahl ist größer: 0,8 oder 0,75?
- 0,8 ist größer. Schreibe beide Zahlen mit gleich vielen Nachkommastellen, also 0,80 und 0,75. Dann vergleichst du stellenweise von links: Bei den Zehnteln steht 8 gegen 7, damit ist die Entscheidung gefallen. Viele halten 0,75 für größer, weil 75 mehr ist als 8. Das ist der häufigste Fehler beim Vergleichen.
- Warum darf man bei Dezimalzahlen Nullen hinten anhängen?
- Eine angehängte Null steht für null Hundertstel oder null Tausendstel, sie fügt also nichts hinzu. 0,5 bedeutet fünf Zehntel, 0,50 bedeutet fünfzig Hundertstel, und beides ist derselbe Anteil. Vorne oder direkt hinter dem Komma darfst du dagegen keine Nullen einfügen oder weglassen, denn dann verschieben sich die Stellenwerte.
- In welcher Klasse lernt man Dezimalzahlen?
- Dezimalzahlen im Alltag, etwa bei Geldbeträgen, kennen Kinder schon aus der Grundschule. Systematisch mit Stellenwerten, Umrechnung in Brüche und Vergleichen werden sie meist in Klasse 6 behandelt, oft direkt nach der Bruchrechnung. Das Rechnen mit Dezimalzahlen folgt im selben Schuljahr und ist später die Grundlage für die Prozentrechnung.
- Was ist eine periodische Dezimalzahl?
- Eine periodische Dezimalzahl entsteht, wenn sich beim Dividieren von Zähler durch Nenner eine Ziffernfolge endlos wiederholt, zum Beispiel bei 1/3 = 0,333… oder 1/7 = 0,142857142857… Das passiert immer dann, wenn der vollständig gekürzte Nenner einen anderen Primfaktor als 2 oder 5 enthält. Man schreibt die sich wiederholenden Ziffern mit einem Strich darüber, also 0, mit Strich über der 3.
- Warum haben manche Brüche keine endliche Dezimalzahl?
- Das hängt vom Nenner ab. Nur wenn der vollständig gekürzte Nenner ausschließlich aus den Primfaktoren 2 und 5 besteht, lässt er sich auf eine Zehnerpotenz wie 10, 100 oder 1000 erweitern und ergibt eine endliche Dezimalzahl. Enthält der Nenner andere Primfaktoren wie 3 oder 7, etwa bei 1/3 oder 1/7, bricht die Division nie ab und es entsteht eine periodische Zahl.
- Wie vergleicht man mehr als zwei Dezimalzahlen gleichzeitig?
- Bringe alle Zahlen auf dieselbe Anzahl Nachkommastellen, indem du bei kürzeren Zahlen Nullen anhängst. Schreibe sie anschließend mit ausgerichtetem Komma untereinander und vergleiche Stelle für Stelle von links nach rechts, beginnend bei den Ganzen, dann den Zehnteln, dann den Hundertsteln. Die erste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden, entscheidet über die Reihenfolge.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
Das kommt als Nächstes
- Dezimalzahlen multiplizieren und dividierenin Arbeit
- Prozentrechnungin Arbeit