Natürliche Zahlen und Stellenwerte
In dieser Lektion lernst du, wie unser Zehnersystem aufgebaut ist und warum die Stelle einer Ziffer wichtiger ist als die Ziffer selbst. Danach kannst du große Zahlen lesen, schreiben, vergleichen und sauber runden.
- Fach: Mathematik
- Klasse 5
- Thema: Zahlenräume
- Dauer: 13 Min
- Niveau: Einfach
Warum die Stelle über den Wert entscheidet
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen man zählt: 0, 1, 2, 3 und so weiter, ohne Ende. Zum Aufschreiben brauchst du nur zehn Ziffern von 0 bis 9. Dass damit trotzdem jede beliebig große Zahl darstellbar ist, liegt am Stellenwertsystem: Jede Ziffer bekommt ihren Wert durch die Stelle, an der sie steht. Die Ziffer 5 kann deshalb fünf Einer, fünf Hunderter oder fünf Millionen bedeuten.
In der Zahl 3 407 steht die 3 an der Tausenderstelle und bedeutet 3 000, die 4 steht an der Hunderterstelle und bedeutet 400. Die Null ist dabei keine leere Stelle, sondern ein Platzhalter: Sie zeigt, dass es keine Zehner gibt. Lässt du sie weg, entsteht aus 3 407 die völlig andere Zahl 347. Das ist der häufigste Fehler beim Schreiben großer Zahlen nach Diktat, weil man die fehlende Stelle beim Sprechen gar nicht hört.
Von rechts nach links wird jede Stelle zehnmal so viel wert: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender und Millionen. Zehn Einer ergeben einen Zehner, zehn Zehner einen Hunderter. Genau dieses Bündeln in Zehnerpäckchen gibt dem Zehnersystem seinen Namen. Eine Stellenwerttafel mit einer Spalte je Stelle hilft dir, jede Ziffer an den richtigen Platz zu schreiben, bevor du sie liest.
Im Alltag begegnet dir diese Ordnung ständig, etwa bei Einwohnerzahlen, Kilometerständen oder Preisen. Damit du lange Zahlen schnell lesen kannst, gliedert man sie von rechts in Dreierblöcke mit einem kleinen Abstand: 2 345 678. Jeder Block steht für eine Einheit, erst die Einer, dann die Tausender, dann die Millionen. So liest du: zwei Millionen dreihundertfünfundvierzigtausend sechshundertachtundsiebzig.
Eine Zahl in Stellenwerte zerlegen
Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe ihrer Stellenwerte schreiben. Das nennt man Stellenwertschreibweise. Sie macht sichtbar, was eine Ziffer tatsächlich bedeutet: In 6 250 steckt nicht einfach eine 2, sondern 2 · 100 = 200. Die Formel unten zeigt das für eine vierstellige Zahl, bei größeren Zahlen kommen weitere Summanden für Zehntausender und Hunderttausender dazu.
Zum Vergleichen zweier Zahlen nutzt du dasselbe Prinzip. Zuerst zählst du die Stellen: Die Zahl mit mehr Stellen ist größer, denn schon ihre vorderste Ziffer ist mehr wert als alle Ziffern der kürzeren Zahl zusammen. Bei gleich vielen Stellen vergleichst du von links nach rechts, bis sich zwei Ziffern unterscheiden. Bei 48 312 und 48 297 entscheidet die Hunderterstelle: 3 ist größer als 2, also gilt 48 312 > 48 297.
- t
- Ziffer an der Tausenderstelle
- h
- Ziffer an der Hunderterstelle
- e
- Rest aus Zehnern und Einern
| Stelle | Wert einer 1 dort | Beispiel: Ziffer 4 |
|---|---|---|
| Einer | 1 | 4 |
| Zehner | 10 | 40 |
| Hunderter | 100 | 400 |
| Tausender | 1 000 | 4 000 |
Beispiel 1: Zerlegen und runden
Zerlege 28 364 in Stellenwerte und runde die Zahl auf Tausender.
Gegeben:
- 28 364
Gesucht:
Stellenwertschreibweise und gerundete ZahlLösung:
- Trage die Ziffern von rechts in die Stellenwerttafel ein: 4 Einer, 6 Zehner, 3 Hunderter, 8 Tausender, 2 Zehntausender.
- Schreibe jede Ziffer mit ihrem Stellenwert: 2 · 10 000 = 20 000, 8 · 1 000 = 8 000, 3 · 100 = 300, 6 · 10 = 60, 4 · 1 = 4.
- Stellenwertschreibweise: 28 36420 000 + 8 000 + 300 + 60 + 4.
- Zum Runden auf Tausender schaust du auf die Stelle rechts daneben, die Hunderterstelle. Dort steht eine 3.
- 3 ist kleiner als 5, also wird abgerundet: Die Tausenderziffer 8 bleibt, alle Stellen dahinter werden 0.
Die Zerlegung lautet 20 000 + 8 000 + 300 + 60 + 4. Gerundet auf Tausender ergibt sich 28 000, weil die erste weggelassene Ziffer eine 3 und damit kleiner als 5 ist. 28 364 liegt also näher an 28 000 als an 29 000.
Beispiel 2: Große Zahlen lesen und vergleichen
München hat etwa 1 500 000 Einwohner, Hamburg etwa 1 900 000. Lies beide Zahlen aus und vergleiche sie.
Gegeben:
- München: 1 500 000
- Hamburg: 1 900 000
Gesucht:
gesprochene Zahl und VergleichLösung:
- Beide Zahlen von rechts in Dreierblöcke gliedern: 1 500 000 und 1 900 000.
- München liest sich als eine Million fünfhunderttausend.
- Hamburg liest sich als eine Million neunhunderttausend.
- Beide Zahlen haben gleich viele Stellen, also von links vergleichen: an der Hunderttausenderstelle steht bei München eine 5, bei Hamburg eine 9.
- 9 ist größer als 5, also hat Hamburg mehr Einwohner.
Hamburg hat mit rund 1 900 000 Einwohnern etwa 400 000 mehr als München mit rund 1 500 000. Der Vergleich gelingt schon beim Blick auf die Hunderttausenderstelle, alle Stellen danach ändern daran nichts mehr.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler beim Diktat großer Zahlen ist das Vergessen einer Null. Sprichst du „vier Tausend zweiundneunzig“, hört man nicht, dass an der Hunderterstelle eine Null steht. Schreibst du deshalb nur 492 statt 4092, ist die Zahl um mehr als das Zehnfache zu klein.
Ein zweiter Fehler passiert beim Vergleichen unterschiedlich langer Zahlen: Manche vergleichen nur die erste Ziffer, ohne auf die Anzahl der Stellen zu achten. Dabei ist jede vierstellige Zahl automatisch größer als jede dreistellige, egal welche Ziffern davorstehen.
Ein dritter Fehler betrifft das Runden: Wird die falsche Stelle zum Entscheiden angeschaut, kommt ein falsches Ergebnis heraus. Beim Runden auf Hunderter zählt allein die Zehnerstelle, nicht die Einerstelle.
Alltagsbezug
Große Zahlen begegnen dir überall: Der Kilometerstand eines Autos, die Anzahl der Zuschauer in einem Stadion, die Einwohnerzahl deiner Stadt oder der Preis eines Hauses werden alle im Stellenwertsystem geschrieben. Wer solche Zahlen sicher lesen und vergleichen kann, versteht Nachrichten und Statistiken deutlich besser.
Auch beim Umgang mit Geld ist das Stellenwertsystem wichtig: Ein Fehler bei einer einzigen Stelle auf einer Rechnung oder einem Kontoauszug kann einen Unterschied von mehreren tausend Euro bedeuten. Deshalb lohnt es sich, Zahlen immer sorgfältig Stelle für Stelle zu lesen und zu schreiben.
Jetzt bist du dran!
Welchen Wert hat die Ziffer 7 in der Zahl 57 208?
Noch nicht. Zähle von rechts: 8 Einer, 0 Zehner, 2 Hunderter, dann folgt die 7 an der Tausenderstelle. Sie bedeutet also 7 · 1000 = 7 000. Die 5 davor steht für 50 000.
Das Wichtigste in Kürze
- Natürliche Zahlen sind die Zählzahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter.
- Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab, nicht nur von der Ziffer.
- Nach links wird jede Stelle zehnmal so viel wert.
- Die Null ist ein Platzhalter und darf nie weggelassen werden.
- Beim Runden entscheidet die erste Ziffer, die wegfällt: ab 5 wird aufgerundet.
- Zahlen mit mehr Stellen sind immer größer, unabhängig von den einzelnen Ziffern.
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Häufige Fragen zu Natürliche Zahlen und Stellenwerte
- Was sind natürliche Zahlen?
- Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du Dinge zählst: 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter. Es gibt unendlich viele davon, denn zu jeder Zahl kannst du 1 addieren. Brüche wie ein Halb, Kommazahlen wie 2,5 und negative Zahlen wie minus 3 gehören nicht dazu. Ob die 0 mitgezählt wird, handhaben Bücher unterschiedlich, in der Schule ist sie meist dabei.
- Was ist ein Stellenwert?
- Der Stellenwert gibt an, wie viel eine Ziffer an ihrem Platz in der Zahl wert ist. Ganz rechts stehen die Einer, links daneben die Zehner, dann Hunderter, Tausender und so weiter. In 352 hat die 3 den Stellenwert Hunderter und bedeutet deshalb 300. Dieselbe Ziffer an einer anderen Stelle hat einen ganz anderen Wert.
- Wie liest man große Zahlen richtig?
- Teile die Zahl von rechts in Dreierblöcke. Der rechte Block sind die Einer, der nächste die Tausender, der dritte die Millionen. Lies dann von links Block für Block und hänge das passende Wort an. 4 506 230 liest du als vier Millionen fünfhundertsechstausend zweihundertdreißig. Eine Stellenwerttafel hilft dir, wenn Nullen im Spiel sind.
- Wie vergleiche ich zwei große Zahlen?
- Zähle zuerst die Stellen. Hat eine Zahl mehr Stellen, ist sie größer. Haben beide gleich viele, vergleichst du Ziffer für Ziffer von links. Die erste Stelle, an der sie sich unterscheiden, entscheidet, alle Ziffern dahinter spielen keine Rolle mehr. So ist 70 100 größer als 69 999, obwohl die zweite Zahl mehr Neunen enthält.
- In welcher Klasse lernt man Stellenwerte und große Zahlen?
- Den Zahlenraum bis 1 000 lernst du in der Grundschule, bis zur Million meist in Klasse 4. In Klasse 5 wird das Stellenwertsystem wiederholt und auf Milliarden und größere Zahlen erweitert. Dazu kommen Runden, Vergleichen und das Darstellen am Zahlenstrahl. Dieses Wissen brauchst du später für Dezimalzahlen, denn dort setzen sich die Stellen nach rechts fort.
- Wie runde ich eine Zahl richtig?
- Suche zuerst die Stelle, auf die gerundet werden soll, etwa die Hunderterstelle. Schau dann auf die Ziffer direkt rechts daneben, hier die Zehnerstelle. Ist sie 0 bis 4, bleibt die Rundungsstelle unverändert und alle Stellen dahinter werden zu Null. Ist sie 5 bis 9, wird die Rundungsstelle um 1 erhöht, und alle folgenden Stellen werden ebenfalls zu Null.
- Gehört die Null zu den natürlichen Zahlen?
- Das wird unterschiedlich gehandhabt. In der Schule und in den meisten deutschen Lehrbüchern gehört die 0 zu den natürlichen Zahlen dazu, die Zahlenmenge beginnt also bei 0, 1, 2, 3 und so weiter. In manchen mathematischen Fachbüchern beginnt die Menge dagegen erst bei 1. Wenn du unsicher bist, hilft ein Blick in dein Schulbuch oder eine Nachfrage bei deiner Lehrkraft.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Zahlen am Zahlenstrahl
- Zählen und Zahlen ordnenin Arbeit