Teilbarkeitsregeln
In dieser Lektion lernst du, wie du ohne Rechnen erkennst, ob eine Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 9 oder 10 teilbar ist. Das spart dir später beim Kürzen von Brüchen und bei der Primfaktorzerlegung viel Zeit.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Teilbarkeit
- Dauer: 14 Min
- Niveau: Einfach
Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. 24 ist durch 6 teilbar, denn 24 : 6 = 4. Bei 25 : 6 bleibt ein Rest von 1, also ist 25 nicht durch 6 teilbar. Man sagt dann auch: 6 ist ein Teiler von 24, und 24 ist ein Vielfaches von 6.
Bei kleinen Zahlen siehst du das sofort, bei 4 536 nicht mehr. Deshalb gibt es Teilbarkeitsregeln. Sie funktionieren, weil unser Zehnersystem praktische Eigenschaften hat: 10, 100 und 1 000 sind alle durch 2 und 5 teilbar. Für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 musst du deshalb nur die letzte Ziffer anschauen – alles davor ist ohnehin teilbar.
Bei 3 und 9 liegt es daran, dass 10 beim Teilen durch 9 immer den Rest 1 lässt. Deshalb zählt dort nicht die Stelle, sondern nur die Summe aller Ziffern, die Quersumme. Ein typischer Fehler: Schüler bilden die Quersumme auch für die 4 oder die 8. Das funktioniert nicht – bei 4 schaust du auf die letzten zwei Ziffern, bei 8 auf die letzten drei.
Die Quersumme als Schlüssel
Für 3 und 9 bildest du die Quersumme: Du addierst alle Ziffern der Zahl. Ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist die ganze Zahl durch 3 teilbar. Dasselbe gilt für die 9. Ist die Quersumme noch zu groß, bildest du sie einfach noch einmal.
Die übrigen Regeln: durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Durch 5, wenn sie 0 oder 5 ist. Durch 10, wenn sie 0 ist. Durch 4, wenn die letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Durch 6 ist eine Zahl genau dann teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist.
- q
- Quersumme der Zahl
- a
- erste Ziffer
- b
- zweite Ziffer
- c
- letzte Ziffer
Beispiel: 4 536 prüfen
Prüfe, ob 4 536 durch 2, 3, 4, 6 und 9 teilbar ist.
Gegeben:
- 4 536
Gesucht:
alle Teiler aus der ListeLösung:
- Letzte Ziffer 6 ist gerade, also teilbar durch 2
- Quersumme 4 + 5 + 3 + 618, durch 3 und durch 9 teilbar
- Letzte zwei Ziffern 36, und 36 : 49, also teilbar durch 4
- Teilbar durch 2 und durch 3, also auch durch 6
4 536 ist durch 2, 3, 4, 6 und 9 teilbar. Durch 5 und 10 ist die Zahl nicht teilbar, weil die letzte Ziffer weder 0 noch 5 ist.
Jetzt bist du dran!
Woran erkennst du, dass 3 825 durch 9 teilbar ist?
Noch nicht. 3 + 8 + 2 + 5 = 18, und 18 ist durch 9 teilbar. Also ist auch 3 825 durch 9 teilbar.
Das Wichtigste in Kürze
- Teilbar bedeutet: die Division geht ohne Rest auf.
- Für 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer.
- Für 3 und 9 zählt die Quersumme, nicht die Endziffer.
- Für 4 schaust du auf die letzten zwei Ziffern, nicht auf die Quersumme.
- Durch 6 ist eine Zahl nur teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
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Das solltest du vorher können
- Natürliche Zahlen und Stellenwerte
- Schriftlich dividierenin Arbeit