Teilbarkeitsregeln
In dieser Lektion lernst du, wie du ohne Rechnen erkennst, ob eine Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 9 oder 10 teilbar ist. Das spart dir später beim Kürzen von Brüchen und bei der Primfaktorzerlegung viel Zeit.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Teilbarkeit
- Dauer: 14 Min
- Niveau: Einfach
Teilbar heißt: ohne Rest
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. 24 ist durch 6 teilbar, denn 24 : 6 = 4. Bei 25 : 6 bleibt ein Rest von 1, also ist 25 nicht durch 6 teilbar. Man sagt dann auch: 6 ist ein Teiler von 24, und 24 ist ein Vielfaches von 6. Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar.
Bei kleinen Zahlen siehst du das sofort, bei 4 536 nicht mehr. Deshalb gibt es Teilbarkeitsregeln. Sie funktionieren, weil unser Zehnersystem praktische Eigenschaften hat: 10, 100 und 1 000 sind alle durch 2 und 5 teilbar. Für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 musst du deshalb nur die letzte Ziffer anschauen – alles davor ist ohnehin teilbar.
Ähnlich ist es bei 4: 100 ist durch 4 teilbar, also auch jedes Vielfache von 100. Übrig bleiben die letzten zwei Ziffern, und nur sie entscheiden. Bei 3 und 9 liegt es daran, dass 10 beim Teilen durch 9 immer den Rest 1 lässt, ebenso 100 und 1 000. Deshalb zählt dort nicht die Stelle, sondern nur die Summe aller Ziffern, die Quersumme.
Ein typischer Fehler: Schüler bilden die Quersumme auch für die 4 oder die 8. Das funktioniert nicht – bei 4 schaust du auf die letzten zwei Ziffern, bei 8 auf die letzten drei. Umgekehrt hilft die letzte Ziffer bei der 3 nicht weiter: 13 endet auf 3, ist aber nicht durch 3 teilbar, 12 dagegen schon. Merke dir also genau, welche Regel zu welchem Teiler gehört.
Die Quersumme als Schlüssel
Für 3 und 9 bildest du die Quersumme: Du addierst alle Ziffern der Zahl. Ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist die ganze Zahl durch 3 teilbar. Dasselbe gilt für die 9. Ist die Quersumme noch zu groß, bildest du sie einfach noch einmal. Die Formel unten zeigt das für eine dreistellige Zahl, bei längeren Zahlen addierst du entsprechend mehr Ziffern.
Die übrigen Regeln: durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Durch 5, wenn sie 0 oder 5 ist. Durch 10, wenn sie 0 ist. Durch 4, wenn die letzten zwei Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Durch 6 ist eine Zahl genau dann teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Die Regel für 6 funktioniert, weil 6 = 2 · 3 ist und 2 und 3 keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Du kannst sie deshalb nicht auf jede Zerlegung übertragen: 12 ist durch 2 und durch 4 teilbar, trotzdem ist 12 nicht durch 8 teilbar.
- q
- Quersumme der Zahl
- a
- erste Ziffer
- b
- zweite Ziffer
- c
- letzte Ziffer
| Teiler | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 | 4 536 endet auf 6 |
| 3 | Quersumme durch 3 teilbar | 4 536: Quersumme 18 |
| 4 | letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar | 4 536: 36 durch 4 teilbar |
| 5 | letzte Ziffer 0 oder 5 | 525 endet auf 5 |
| 9 | Quersumme durch 9 teilbar | 4 536: Quersumme 18 |
| 10 | letzte Ziffer 0 | 530 endet auf 0 |
Beispiel 1: 4 536 prüfen
Prüfe, ob 4 536 durch 2, 3, 4, 6 und 9 teilbar ist.
Gegeben:
- 4 536
Gesucht:
alle Teiler aus der ListeLösung:
- Teiler 2: Die letzte Ziffer 6 ist gerade, also ist 4 536 durch 2 teilbar.
- Teiler 3: Quersumme 4 + 5 + 3 + 6 = 18. 18 ist durch 3 teilbar, also auch 4 536.
- Teiler 9: Dieselbe Quersumme 18 ist auch durch 9 teilbar, also ist 4 536 durch 9 teilbar.
- Teiler 4: Die letzten zwei Ziffern bilden 36, und 36 : 4 = 9. Also ist 4 536 durch 4 teilbar.
- Teiler 6: 4 536 ist durch 2 und durch 3 teilbar, also auch durch 6.
- Probe mit einer Division: 4 536 : 9 = 504, es bleibt kein Rest.
4 536 ist durch 2, 3, 4, 6 und 9 teilbar. Durch 5 und 10 ist die Zahl nicht teilbar, weil die letzte Ziffer weder 0 noch 5 ist. Die Regeln haben die Antwort geliefert, ohne dass du fünfmal schriftlich dividieren musstest.
Beispiel 2: Fehlende Ziffer finden
Welche Ziffer musst du für das Fragezeichen in 27?4 einsetzen, damit die Zahl durch 4 teilbar ist?
Gegeben:
- Zahl: 27?4
Gesucht:
fehlende ZifferLösung:
- Für die Teilbarkeit durch 4 zählen nur die letzten zwei Ziffern, hier ?4.
- Probiere die Ziffern von 0 bis 9 in ?4 durch: 04, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94.
- Prüfe, welche davon durch 4 teilbar sind: 04 : 4 = 1, 24 : 4 = 6, 44 : 4 = 11, 64 : 4 = 16, 84 : 4 = 21.
- Mögliche Ziffern sind also 0, 2, 4, 6 und 8 – jede gerade Ziffer funktioniert.
Es gibt mehrere Lösungen: 0, 2, 4, 6 oder 8. Das liegt daran, dass bei der Teilbarkeit durch 4 immer nur die letzten zwei Ziffern zählen, und unter den zehn möglichen Endungen sind genau diese fünf durch 4 teilbar.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Regel für 3 mit der für 4 oder 8 zu verwechseln. Nur bei 3 und 9 zählt die Quersumme, bei 4 die letzten zwei Ziffern und bei 8 die letzten drei. Ein zweiter Fehler ist, die Quersumme falsch zu berechnen, etwa indem eine Ziffer vergessen wird – zähle deshalb immer von links nach rechts durch und hake jede Ziffer ab.
Ein dritter Fehler betrifft die 6: Manche prüfen nur die Teilbarkeit durch 2 oder nur durch 3 und schließen daraus fälschlich auf die 6. Es müssen aber beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Wichtig ist auch, die Teilbarkeitsregeln nicht mit dem Rest bei der Division zu verwechseln: Eine Regel sagt nur ja oder nein, sie berechnet keinen konkreten Quotienten.
Alltagsbezug und Tipps für die Klassenarbeit
Teilbarkeitsregeln helfen dir im Alltag, schnell im Kopf zu prüfen, ob sich etwas gerecht aufteilen lässt: Passen 24 Kekse ohne Rest auf 6 Kinder? Kannst du einen Geldbetrag glatt durch 5 teilen, um ihn in Fünf-Euro-Scheinen auszuzahlen? Auch beim Termineplanen hilft es, etwa wenn 45 Tage gleichmäßig auf 9 Wochen verteilt werden sollen.
Für die Klassenarbeit lohnt es sich, die Regeln für 2, 3, 4, 5, 9 und 10 auswendig zu können, denn sie sparen viel Zeit gegenüber dem schriftlichen Dividieren. Bilde bei größeren Zahlen die Quersumme in Ruhe und noch einmal zur Kontrolle, denn ein Zahlendreher bei der Addition führt schnell zu einem falschen Ergebnis.
Jetzt bist du dran!
Woran erkennst du, dass 3 825 durch 9 teilbar ist?
Noch nicht. 3 + 8 + 2 + 5 = 18, und 18 ist durch 9 teilbar. Also ist auch 3 825 durch 9 teilbar. Die Endziffer sagt bei der 9 nichts aus, sie hilft nur bei 2, 5 und 10.
Das Wichtigste in Kürze
- Teilbar bedeutet: die Division geht ohne Rest auf.
- Für 2, 5 und 10 zählt nur die letzte Ziffer.
- Für 3 und 9 zählt die Quersumme, nicht die Endziffer.
- Für 4 schaust du auf die letzten zwei Ziffern, nicht auf die Quersumme.
- Durch 6 ist eine Zahl nur teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
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Häufige Fragen zu Teilbarkeitsregeln
- Wie erkenne ich, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist?
- Bilde die Quersumme, also die Summe aller Ziffern. Ist sie durch 3 teilbar, ist es auch die ganze Zahl. Bei 5 172 rechnest du 5 + 1 + 7 + 2 = 15, und 15 ist durch 3 teilbar. Also ist 5 172 durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer spielt dabei keine Rolle.
- Was ist eine Quersumme?
- Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Für 4 082 rechnest du 4 + 0 + 8 + 2 = 14. Du brauchst sie vor allem für die Teilbarkeitsregeln durch 3 und durch 9. Ist die Quersumme selbst noch groß, darfst du von ihr erneut die Quersumme bilden, bis du sie leicht überblicken kannst.
- Gibt es eine Teilbarkeitsregel für 7?
- Es gibt Regeln für 7, sie sind aber umständlich und werden in der Schule meist nicht verlangt. Eine davon: Nimm die letzte Ziffer doppelt und ziehe sie vom Rest der Zahl ab. Bei 161 rechnest du 16 minus 2 = 14, und 14 ist durch 7 teilbar, also auch 161. Oft ist schriftliches Dividieren schneller.
- Was ist der Unterschied zwischen Teiler und Vielfachem?
- Ein Teiler passt ohne Rest in eine Zahl hinein, ein Vielfaches entsteht, wenn du eine Zahl mit 1, 2, 3 und so weiter multiplizierst. 4 ist ein Teiler von 12, und 12 ist ein Vielfaches von 4. Jede Zahl hat nur endlich viele Teiler, aber unendlich viele Vielfache.
- In welcher Klasse lernt man Teilbarkeitsregeln?
- Teilbarkeitsregeln stehen meist in Klasse 5 oder 6 auf dem Lehrplan, je nach Bundesland und Schulbuch. Sie bereiten auf Primzahlen, die Primfaktorzerlegung sowie ggT und kgV vor. Richtig wichtig werden sie in der Bruchrechnung, denn beim Kürzen musst du schnell sehen, durch welche Zahl Zähler und Nenner gemeinsam teilbar sind.
- Gibt es eine Teilbarkeitsregel für 8?
- Ja, ähnlich wie bei der 4 zählen bei der 8 nur bestimmte Endziffern, hier die letzten drei. Bilden sie eine durch 8 teilbare Zahl, ist es auch die gesamte Zahl. Bei 5 128 prüfst du also 128 : 8 = 16, die Zahl ist durch 8 teilbar. Diese Regel wird in der Schule seltener verlangt als die für 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10.
- Warum funktioniert die Quersummenregel bei 3 und 9?
- Das liegt am Zehnersystem: 10 lässt beim Teilen durch 9 den Rest 1, ebenso 100 und 1000 und jede weitere Zehnerpotenz. Deshalb trägt jede Ziffer zur Teilbarkeit durch 9 nur mit ihrem eigenen Wert bei, unabhängig von ihrer Stelle. Weil 3 ein Teiler von 9 ist, gilt dieselbe Regel automatisch auch für die 3.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Natürliche Zahlen und Stellenwerte
- Schriftlich dividierenin Arbeit