ggT und kgV bestimmen
In dieser Lektion lernst du, wie du den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen über die Primfaktorzerlegung findest. Damit kannst du Brüche in einem Schritt vollständig kürzen und den kleinsten gemeinsamen Nenner bestimmen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Teilbarkeit
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Zwei Fragen, ein Werkzeug
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, kurz ggT, ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste Zahl, in der beide ohne Rest enthalten sind. Beim ggT von 12 und 18 kommen als gemeinsame Teiler 1, 2, 3 und 6 in Frage, der größte ist also 6. Das kgV von 12 und 18 ist 36.
Beide Werte begegnen dir auch außerhalb der Bruchrechnung. Willst du 12 Äpfel und 18 Birnen gerecht auf möglichst viele Tüten verteilen, sodass jede Tüte gleich gefüllt ist, brauchst du den ggT: 6 Tüten. Fährt ein Bus alle 12 Minuten und ein anderer alle 18 Minuten, starten beide nach dem kgV wieder gleichzeitig, also nach 36 Minuten.
Alle Teiler aufzuschreiben funktioniert bei kleinen Zahlen, wird bei 84 und 126 aber unübersichtlich. Schneller geht es mit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Du teilst die Zahl dazu immer wieder durch die kleinste Primzahl, die passt, also der Reihe nach durch 2, 3, 5, 7 und so weiter.
Sind beide Zahlen zerlegt, liest du beide Ergebnisse ab: Für den ggT nimmst du nur die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, und zwar jeweils so oft, wie sie in der kürzeren vorkommen. Für das kgV nimmst du alle auftretenden Primfaktoren, jeden in der höchsten Anzahl. Der typische Fehler ist, beim kgV nur die gemeinsamen Faktoren zu nehmen – dann fehlen die Faktoren, die nur in einer Zahl stecken, und das Ergebnis ist zu klein.
ggT, kgV und ihr Zusammenhang
Für den ggT nimmst du die gemeinsamen Primfaktoren mit der kleineren Anzahl, für das kgV alle Primfaktoren mit der größeren Anzahl. Ein Beispiel: 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3. Gemeinsam sind eine 2 und eine 3, also ggT = 6. Für das kgV brauchst du zwei Zweien und zwei Dreien, also 2 · 2 · 3 · 3 = 36.
Praktisch ist die folgende Kontrollformel: Das Produkt aus ggT und kgV ist genauso groß wie das Produkt der beiden Ausgangszahlen. Hast du einen der beiden Werte, bekommst du den anderen also durch Teilen. Probe mit 12 und 18: 6 · 36 = 216 und 12 · 18 = 216. Das klappt, weil ggT und kgV zusammen jeden Primfaktor genau so oft enthalten wie beide Zahlen zusammen.
Zwei Sonderfälle solltest du kennen. Haben zwei Zahlen keinen gemeinsamen Primfaktor, ist ihr ggT 1 und ihr kgV einfach ihr Produkt, etwa bei 8 und 15. Ist eine Zahl ein Teiler der anderen, wie 6 und 24, dann ist die kleinere der ggT und die größere das kgV.
- a
- erste Zahl
- b
- zweite Zahl
- g
- größter gemeinsamer Teiler
- k
- kleinstes gemeinsames Vielfaches
| Zahlenpaar | ggT | kgV |
|---|---|---|
| 12 und 18 | 6 | 36 |
| 8 und 15 | 1 | 120 |
| 6 und 24 | 6 | 24 |
| 84 und 126 | 42 | 252 |
| 60 und 90 | 30 | 180 |
Beispiel: 84 und 126
Bestimme ggT und kgV von 84 und 126 mit der Primfaktorzerlegung.
Gegeben:
- 84
- 126
Gesucht:
ggT und kgVLösung:
- 84 zerlegen: 84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21, 21 : 3 = 7, und 7 ist eine Primzahl. Also 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
- 126 zerlegen: 126 : 263, 63 : 321, 21 : 37. Also 1262 · 3 · 3 · 7.
- Gemeinsame Faktoren suchen: eine 2, eine 3 und eine 7 kommen in beiden Zerlegungen vor.
- ggT2 · 3 · 742
- Für das kgV jeden Faktor in höchster Anzahl nehmen: zwei Zweien aus 84, zwei Dreien aus 126, eine 7.
- kgV2 · 2 · 3 · 3 · 7252
Es gilt ggT = 42 und kgV = 252. Die Kontrolle stimmt: 42 · 252 = 10 584 und 84 · 126 = 10 584. Außerdem passt die Probe durch Teilen, denn 252 : 84 = 3 und 252 : 126 = 2 gehen ohne Rest auf.
Beispiel: 60 und 90
Bestimme ggT und kgV von 60 und 90 mit der Primfaktorzerlegung.
Gegeben:
- 60
- 90
Gesucht:
ggT und kgVLösung:
- 60 zerlegen: 60 : 230, 30 : 215, 15 : 35. Also 602 · 2 · 3 · 5.
- 90 zerlegen: 90 : 245, 45 : 315, 15 : 35. Also 902 · 3 · 3 · 5.
- Gemeinsame Faktoren: eine 2, eine 3 und eine 5 stecken in beiden Zerlegungen.
- ggT2 · 3 · 530.
- kgV: höchste Anzahl je Faktor, also zwei Zweien, zwei Dreien und eine Fünf: kgV = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.
Es gilt ggT = 30 und kgV = 180. Kontrolle: 30 · 180 = 5400 und 60 · 90 = 5400, die Formel stimmt also auch hier.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, beim kgV nur die gemeinsamen Primfaktoren zu verwenden, so wie beim ggT. Dabei fehlen dann genau die Faktoren, die nur in einer der beiden Zahlen vorkommen, und das Ergebnis wird zu klein. Beim kgV zählen alle Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen auftauchen, jeweils in der höchsten vorkommenden Anzahl.
Ein zweiter Fehler passiert beim Zählen der Häufigkeit eines Faktors. Kommt die 2 in einer Zahl dreimal und in der anderen zweimal vor, gehört sie beim ggT nur zweimal hinein, beim kgV aber dreimal. Wer hier vertauscht, bekommt ein Ergebnis, das entweder zu groß oder zu klein ist, obwohl die Primfaktorzerlegung selbst richtig war.
Ein dritter Fehler ist, die Zerlegung vorzeitig abzubrechen. Bleibt am Ende eine Zahl größer als 1 stehen, die keine Primzahl mehr enthält, muss weiter geteilt werden. Ein unvollständig zerlegter Faktor wie 4 statt 2 · 2 verfälscht sowohl den ggT als auch das kgV.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe die Primfaktorzerlegung immer sauber untereinander auf, am besten mit gleich vielen Spalten für jeden Primfaktor. So siehst du auf einen Blick, welcher Faktor in welcher Zahl wie oft vorkommt, und verwechselst ggT und kgV seltener.
Nutze am Ende jeder Aufgabe die Kontrollformel ggT mal kgV gleich Produkt der beiden Zahlen. Stimmt das Ergebnis nicht, hast du entweder einen Faktor bei der Zerlegung übersehen oder ihn falsch zwischen ggT und kgV verteilt. Diese Probe dauert nur wenige Sekunden und deckt die meisten Fehler zuverlässig auf.
Jetzt bist du dran!
Gegeben sind 24 = 2 · 2 · 2 · 3 und 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Wie groß ist der ggT?
Noch nicht. Gemeinsam sind zwei Zweien und eine Drei: 2 · 2 · 3 = 12. Die dritte Zwei steckt nur in 24, die zweite Drei nur in 36. Die Zahl 72 wäre das kgV, also die Antwort auf die andere Frage.
Das Wichtigste in Kürze
- Der ggT ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
- Das kgV ist die kleinste Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
- Zerlege beide Zahlen zuerst in Primfaktoren.
- ggT: nur gemeinsame Faktoren, kgV: alle Faktoren in höchster Anzahl.
- Kontrolle: ggT mal kgV ergibt immer das Produkt der beiden Zahlen.
- Typischer Fehler: beim kgV versehentlich nur die gemeinsamen Faktoren nehmen.
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Häufige Fragen zu ggT und kgV bestimmen
- Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?
- Der ggT ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind. Er ist höchstens so groß wie die kleinere Zahl. Das kgV ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist, und mindestens so groß wie die größere Zahl. Für 4 und 6 ist der ggT 2 und das kgV 12.
- Wie berechne ich den ggT ohne Primfaktorzerlegung?
- Bei kleinen Zahlen schreibst du alle Teiler beider Zahlen auf und suchst den größten gemeinsamen. Für 16 und 24 sind das die Teiler 1, 2, 4, 8 und 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, also ggT = 8. Bei großen Zahlen hilft der euklidische Algorithmus, bei dem du wiederholt mit Rest teilst.
- Wofür braucht man das kgV in der Bruchrechnung?
- Wenn du Brüche mit verschiedenen Nennern addierst oder subtrahierst, brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kgV der beiden Nenner. Bei 1/4 und 1/6 ist das kgV 12, also rechnest du 3/12 plus 2/12. So bleiben die Zahlen klein und du musst am Ende weniger kürzen.
- Wofür braucht man den ggT?
- Den ggT brauchst du vor allem zum Kürzen von Brüchen. Teilst du Zähler und Nenner durch ihren ggT, ist der Bruch sofort vollständig gekürzt. Bei 42/56 ist der ggT 14, also ergibt sich 3/4. Außerdem hilft der ggT bei Aufgaben, in denen etwas in möglichst große gleiche Teile zerlegt werden soll.
- In welcher Klasse lernt man ggT und kgV?
- ggT und kgV werden meist in Klasse 6 behandelt, manchmal schon am Ende von Klasse 5. Vorher solltest du die Teilbarkeitsregeln und Primzahlen kennen. Direkt danach werden beide Begriffe in der Bruchrechnung gebraucht, beim Kürzen und beim Finden gemeinsamer Nenner. Auch in späteren Klassen tauchen sie beim Rechnen mit Bruchtermen wieder auf.
- Wie prüfe ich, ob ggT und kgV richtig berechnet wurden?
- Multipliziere ggT und kgV miteinander und vergleiche das Ergebnis mit dem Produkt der beiden Ausgangszahlen. Beide Werte müssen übereinstimmen, da ggT und kgV zusammen jeden Primfaktor genauso oft enthalten wie beide Zahlen zusammen. Stimmt das Produkt nicht, liegt meist ein Fehler beim Zählen der Primfaktoren oder ein Rechenfehler in der Zerlegung vor.
- Was bedeutet es, wenn der ggT zweier Zahlen 1 ist?
- Ist der ggT zweier Zahlen 1, nennt man sie teilerfremd. Sie haben dann keinen gemeinsamen Primfaktor, außer der 1, die kein Primfaktor ist. In diesem Fall ist das kgV einfach das Produkt beider Zahlen, denn es gibt keine Überschneidung, die man nur einmal zählen müsste. Ein Beispiel sind 8 und 15 mit ggT 1 und kgV 120.
- Kann man ggT und kgV auch von drei Zahlen bestimmen?
- Ja, das Verfahren funktioniert genauso mit drei oder mehr Zahlen. Du zerlegst jede Zahl einzeln in Primfaktoren und bildest dann für den ggT die gemeinsamen Faktoren aller Zahlen in der kleinsten vorkommenden Anzahl, für das kgV alle auftretenden Faktoren in der größten Anzahl. Die Kontrollformel mit dem Produkt gilt bei mehr als zwei Zahlen allerdings nicht mehr in dieser einfachen Form.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.