ggT und kgV bestimmen
In dieser Lektion lernst du, wie du den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen über die Primfaktorzerlegung findest. Damit kannst du Brüche in einem Schritt vollständig kürzen und den kleinsten gemeinsamen Nenner bestimmen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Teilbarkeit
- Dauer: 16 Min
- Niveau: Mittel
Zwei Fragen, ein Werkzeug
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, kurz ggT, ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste Zahl, in der beide ohne Rest enthalten sind. Beim ggT von 12 und 18 kommen als gemeinsame Teiler 1, 2, 3 und 6 in Frage, der größte ist also 6. Das kgV von 12 und 18 ist 36.
Alle Teiler aufzuschreiben funktioniert bei kleinen Zahlen, wird bei 84 und 126 aber unübersichtlich. Schneller geht es mit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Du teilst die Zahl dazu immer wieder durch die kleinste Primzahl, die passt, also der Reihe nach durch 2, 3, 5, 7 und so weiter.
Sind beide Zahlen zerlegt, liest du beide Ergebnisse ab: Für den ggT nimmst du nur die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, und zwar jeweils so oft, wie sie in der kürzeren vorkommen. Für das kgV nimmst du alle auftretenden Primfaktoren, jeden in der höchsten Anzahl. Der typische Fehler ist, beim kgV nur die gemeinsamen Faktoren zu nehmen – dann fehlen die Faktoren, die nur in einer Zahl stecken, und das Ergebnis ist zu klein.
ggT, kgV und ihr Zusammenhang
Für den ggT nimmst du die gemeinsamen Primfaktoren mit der kleineren Anzahl, für das kgV alle Primfaktoren mit der größeren Anzahl. Ein Beispiel: 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3. Gemeinsam sind eine 2 und eine 3, also ggT = 6. Für das kgV brauchst du zwei Zweien und zwei Dreien, also 2 · 2 · 3 · 3 = 36.
Praktisch ist die folgende Kontrollformel: Das Produkt aus ggT und kgV ist genauso groß wie das Produkt der beiden Ausgangszahlen. Hast du einen der beiden Werte, bekommst du den anderen also durch Teilen. Probe mit 12 und 18: 6 · 36 = 216 und 12 · 18 = 216.
- a
- erste Zahl
- b
- zweite Zahl
- g
- größter gemeinsamer Teiler
- k
- kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiel: 84 und 126
Bestimme ggT und kgV von 84 und 126 mit der Primfaktorzerlegung.
Gegeben:
- 84
- 126
Gesucht:
ggT und kgVLösung:
- 842 · 2 · 3 · 7
- 1262 · 3 · 3 · 7
- gemeinsam: 2 · 3 · 742, also ggT42
- alle Faktoren in höchster Anzahl: 2 · 2 · 3 · 3 · 7252
Es gilt ggT = 42 und kgV = 252. Die Kontrolle stimmt: 42 · 252 = 10 584 und 84 · 126 = 10 584.
Jetzt bist du dran!
Gegeben sind 24 = 2 · 2 · 2 · 3 und 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Wie groß ist der ggT?
Noch nicht. Gemeinsam sind zwei Zweien und eine Drei: 2 · 2 · 3 = 12. Die dritte Zwei steckt nur in 24, die zweite Drei nur in 36.
Das Wichtigste in Kürze
- Der ggT ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
- Das kgV ist die kleinste Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
- Zerlege beide Zahlen zuerst in Primfaktoren.
- ggT: nur gemeinsame Faktoren, kgV: alle Faktoren in höchster Anzahl.
- Kontrolle: ggT mal kgV ergibt immer das Produkt der beiden Zahlen.
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Das solltest du vorher können
- Teilbarkeitsregeln
- Primzahlen erkennenin Arbeit