Brüche erweitern und kürzen
In dieser Lektion lernst du, warum 2/4 und 1/2 dieselbe Zahl sind und wie du Brüche gezielt erweiterst oder kürzst. Das brauchst du für jede Addition ungleichnamiger Brüche und für saubere Endergebnisse.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 13 Min
- Niveau: Einfach
Gleicher Wert, andere Schreibweise
Ein Bruch gibt einen Anteil an: Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wurde, der Zähler, wie viele davon genommen werden. Wenn du eine Tafel Schokolade mit vier Riegeln halbierst, hast du zwei Riegel – also 2/4. Halbierst du sie direkt, hast du 1/2. Die Menge in der Hand ist in beiden Fällen gleich, nur die Einteilung ist feiner oder grober.
Genau das ist Erweitern und Kürzen. Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl: Die Teile werden kleiner, aber du nimmst entsprechend mehr davon. Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl: Die Teile werden größer, du nimmst weniger davon. Der Wert des Bruchs bleibt unverändert, weil du den Bruch im Grunde mit 1 multiplizierst, geschrieben als 3/3 oder 5/5.
Der typische Fehler: Zähler und Nenner werden nicht mit derselben Zahl behandelt, oder es wird addiert statt multipliziert. Aus 1/2 wird dann 2/3, weil oben und unten eine 1 dazugezählt wurde – und das ist ein anderer Wert. Erlaubt sind nur Multiplizieren und Dividieren, und immer oben und unten gleichzeitig.
Die Regel für Erweitern und Kürzen
Multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich null, entsteht ein wertgleicher Bruch. Dividierst du beide durch denselben gemeinsamen Teiler, ebenso. Welche Zahl du wählst, hängt vom Ziel ab: Beim Erweitern willst du meist einen bestimmten Nenner erreichen, beim Kürzen den Bruch so einfach wie möglich machen.
Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. In einem Schritt gelingt das, wenn du durch den ggT von Zähler und Nenner teilst. Bei 18/24 ist der ggT 6, also 18/24 = 3/4.
- a
- Zähler des Bruchs
- b
- Nenner des Bruchs
- n
- Zahl zum Erweitern, nicht null
Beispiel: kürzen und erweitern
Kürze 18/24 vollständig und erweitere das Ergebnis dann auf den Nenner 20.
Gegeben:
- 1824
- Zielnenner 20
Gesucht:
vollständig gekürzter und erweiterter BruchLösung:
- ggT von 18 und 24 ist 6
- 182434
- 20 : 45, also mit 5 erweitern
- 341520
Gekürzt ergibt sich 3/4, auf den Nenner 20 erweitert 15/20. Alle drei Schreibweisen 18/24, 3/4 und 15/20 bezeichnen dieselbe Zahl.
Jetzt bist du dran!
Welcher Bruch hat denselben Wert wie 4/6?
Noch nicht. Zähler und Nenner von 4/6 lassen sich beide durch 2 teilen: 4 : 2 = 2 und 6 : 2 = 3, also 2/3.
Das Wichtigste in Kürze
- Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
- Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
- Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.
- Addieren oder subtrahieren darfst du in Zähler und Nenner nie.
- Teile durch den ggT, dann ist der Bruch in einem Schritt vollständig gekürzt.
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