Brüche erweitern und kürzen
In dieser Lektion lernst du, warum 2/4 und 1/2 dieselbe Zahl sind und wie du Brüche gezielt erweiterst oder kürzt. Das brauchst du für jede Addition ungleichnamiger Brüche und für saubere Endergebnisse.
- Fach: Mathematik
- Klasse 6
- Thema: Bruchrechnung
- Dauer: 13 Min
- Niveau: Einfach
Gleicher Wert, andere Schreibweise
Ein Bruch gibt einen Anteil an: Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wurde, der Zähler, wie viele davon genommen werden. Wenn du eine Tafel Schokolade mit vier Riegeln halbierst, hast du zwei Riegel – also 2/4. Halbierst du sie direkt, hast du 1/2. Die Menge in der Hand ist in beiden Fällen gleich, nur die Einteilung ist feiner oder gröber.
Genau das ist Erweitern und Kürzen. Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl: Die Teile werden kleiner, aber du nimmst entsprechend mehr davon. Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl: Die Teile werden größer, du nimmst weniger davon. Der Wert des Bruchs bleibt unverändert, weil du den Bruch im Grunde mit 1 multiplizierst, geschrieben als 3/3 oder 5/5.
Im Alltag begegnet dir das ständig, ohne dass du es merkst. Eine halbe Stunde sind 30 von 60 Minuten, also 30/60 – gekürzt 1/2. Ein Viertelliter Saft sind 250 von 1 000 Millilitern. Und wenn in einer Klasse 12 von 24 Kindern ein Haustier haben, sagst du einfach „die Hälfte“. Du kürzt dabei im Kopf, weil die einfachste Schreibweise am schnellsten zeigt, wie groß ein Anteil wirklich ist.
Die Regel für Erweitern und Kürzen
Multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich null, entsteht ein wertgleicher Bruch. Dividierst du beide durch denselben gemeinsamen Teiler, ebenso. Welche Zahl du wählst, hängt vom Ziel ab: Beim Erweitern willst du meist einen bestimmten Nenner erreichen, beim Kürzen den Bruch so einfach wie möglich machen. Mit null darfst du nie erweitern, weil dann im Nenner null stünde und der Bruch keinen Sinn mehr hätte.
Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. In einem Schritt gelingt das, wenn du durch den ggT von Zähler und Nenner teilst. Bei 18/24 ist der ggT 6, also 18/24 = 3/4. Findest du den ggT nicht sofort, kürzt du schrittweise: erst durch 2, dann durch 3 und so weiter, bis nichts mehr geht.
Beim Erweitern auf einen Zielnenner rechnest du zuerst aus, wie oft der alte Nenner in den neuen passt. Dieser Faktor ist die Erweiterungszahl. Geht die Division nicht glatt auf, lässt sich der Bruch auf diesen Nenner nicht erweitern – 1/3 zum Beispiel nie auf den Nenner 10.
- a
- Zähler des Bruchs
- b
- Nenner des Bruchs
- n
- Zahl zum Erweitern, nicht null
| Ausgangsbruch | Erweitert | Gekürzt |
|---|---|---|
| 1/2 | 3/6 (mit 3) | — |
| 2/4 | — | 1/2 (durch 2) |
| 18/24 | — | 3/4 (durch ggT 6) |
| 3/5 | 15/25 (mit 5) | — |
Beispiel 1: kürzen und erweitern
Kürze 18/24 vollständig und erweitere das Ergebnis dann auf den Nenner 20.
Gegeben:
- 1824
- Zielnenner 20
Gesucht:
vollständig gekürzter und erweiterter BruchLösung:
- Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- größter gemeinsamer Teiler: ggT = 6
- 18 : 63 und 24 : 64, also 182434
- Kontrolle: 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1
- 20 : 45, also mit 5 erweitern
- 3 · 515 und 4 · 520, also 341520
Gekürzt ergibt sich 3/4, auf den Nenner 20 erweitert 15/20. Alle drei Schreibweisen 18/24, 3/4 und 15/20 bezeichnen dieselbe Zahl, weil in jedem Schritt Zähler und Nenner mit derselben Zahl behandelt wurden. Als Probe kannst du 15/20 durch 5 kürzen und landest wieder bei 3/4.
Beispiel 2: zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Bringe 3/4 und 5/6 auf denselben Nenner, ohne sie zu addieren.
Gegeben:
- 34
- 56
Gesucht:
gemeinsamer Nenner und beide erweiterten BrücheLösung:
- Vielfache von 6 prüfen: 6, 12 – 12 ist durch 4 teilbar, also gemeinsamer Nenner 12
- 3/4 erweitern: 12 : 4 = 3, also 3 · 3 = 9 und 4 · 3 = 12, ergibt 9/12
- 5/6 erweitern: 12 : 6 = 2, also 5 · 2 = 10 und 6 · 2 = 12, ergibt 10/12
3/4 wird zu 9/12 und 5/6 wird zu 10/12. Beide Brüche haben jetzt denselben Nenner, ihr Wert hat sich dabei nicht verändert. Das ist genau der Schritt, den du für jede Addition oder jeden Vergleich ungleichnamiger Brüche zuerst brauchst.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler: Zähler und Nenner werden nicht mit derselben Zahl behandelt, oder es wird addiert statt multipliziert. Aus 1/2 wird dann 2/3, weil oben und unten eine 1 dazugezählt wurde – und das ist ein anderer Wert, denn zwei Drittel sind mehr als die Hälfte. Erlaubt sind nur Multiplizieren und Dividieren, und immer oben und unten gleichzeitig.
Ein zweiter Fehler ist, durch eine Zahl zu kürzen, die gar kein gemeinsamer Teiler ist. 10/15 lässt sich nicht durch 4 kürzen, weil 4 kein Teiler von 10 ist. Vor dem Kürzen solltest du deshalb prüfen, ob die gewählte Zahl wirklich beide Zahlen ohne Rest teilt.
Ein dritter Fehler ist, nach dem Kürzen nicht zu prüfen, ob noch weiter gekürzt werden kann. Aus 12/18 wird durch Teilen durch 2 zunächst 6/9 – das lässt sich aber noch einmal durch 3 kürzen zu 2/3. Kürze deshalb möglichst gleich durch den ggT oder prüfe am Ende noch einmal nach.
Tipps für die Klassenarbeit
Suche beim Kürzen zuerst nach kleinen Teilern wie 2, 3 und 5, bevor du den vollständigen ggT berechnest. Sind sowohl Zähler als auch Nenner gerade Zahlen, kannst du sofort durch 2 teilen und musst danach oft nur noch einmal kürzen.
Im Alltag nutzt du das Kürzen ständig, ohne eine Rechnung aufzuschreiben: Bei einem Rezept für vier Personen, das du für zwei Personen kochst, halbierst du jede Zutat – das ist Kürzen durch 2. Bei Größenangaben wie 500 g von 1000 g sagst du sofort „die Hälfte“, weil 500/1000 gekürzt 1/2 ergibt.
Für die Klassenarbeit hilft eine feste Prüfroutine am Ende jeder Aufgabe: Sind Zähler und Nenner beide durch 2 teilbar? Durch 3? Durch 5? Erst wenn keine dieser Fragen mehr mit Ja beantwortet wird, ist der Bruch vollständig gekürzt.
Jetzt bist du dran!
Welcher Bruch hat denselben Wert wie 4/6?
Noch nicht. Zähler und Nenner von 4/6 lassen sich beide durch 2 teilen: 4 : 2 = 2 und 6 : 2 = 3, also 2/3. Die Option 5/7 entsteht, wenn man fälschlich oben und unten 1 addiert. Und 6/4 ist sogar größer als 1, weil Zähler und Nenner vertauscht wurden.
Das Wichtigste in Kürze
- Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
- Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
- Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.
- Addieren oder subtrahieren darfst du in Zähler und Nenner nie.
- Teile durch den ggT, dann ist der Bruch in einem Schritt vollständig gekürzt.
Weiter üben
Neue Aufgaben, so viele du willst – jedes Mal mit anderen Zahlen.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Brüche erweitern und kürzen
- Was ist der Unterschied zwischen Erweitern und Kürzen?
- Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, der Bruch bekommt also größere Zahlen. Beim Kürzen teilst du beide durch dieselbe Zahl, die Zahlen werden kleiner. In beiden Fällen bleibt der Wert gleich, nur die Einteilung des Ganzen ändert sich. Erweitern brauchst du vor allem zum Gleichnamigmachen, Kürzen für ein übersichtliches Endergebnis.
- Woran erkenne ich, dass ein Bruch vollständig gekürzt ist?
- Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Prüfe dafür nacheinander, ob beide durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind. Findest du keinen solchen Teiler mehr, bist du fertig. Beispiel: 9/14 ist vollständig gekürzt, weil 9 nur die Teiler 1, 3 und 9 hat und keiner davon außer 1 auch 14 teilt.
- Warum ändert sich der Wert beim Erweitern nicht?
- Weil du den Bruch in Wahrheit mit 1 multiplizierst. Erweiterst du mit 3, rechnest du eigentlich mal 3/3, und das ist genau ein Ganzes. Eine Zahl mal 1 bleibt dieselbe Zahl. Anschaulich: Du schneidest jedes Stück in drei kleinere Stücke und nimmst dafür dreimal so viele. Die Menge auf dem Teller bleibt gleich.
- Muss ich in der Klassenarbeit immer kürzen?
- In den meisten Klassenarbeiten wird erwartet, dass du Endergebnisse vollständig kürzt, sonst gibt es oft Punktabzug. Ein ungekürztes Ergebnis ist zwar nicht falsch, zeigt aber nicht die einfachste Form. Gewöhne dir deshalb an, am Ende jeder Bruchrechnung kurz zu prüfen, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler haben. Das kostet wenige Sekunden.
- In welcher Klasse lernt man Brüche erweitern und kürzen?
- Erweitern und Kürzen steht in fast allen Bundesländern in Klasse 6 auf dem Lehrplan, manchmal schon am Ende von Klasse 5. Es ist die Grundlage für alles, was danach kommt: Brüche addieren, vergleichen und in Dezimalzahlen umwandeln. Wer hier sicher ist, hat es in der restlichen Bruchrechnung deutlich leichter.
- Wie finde ich den ggT von zwei Zahlen?
- Schreibe die Teiler beider Zahlen auf und suche den größten, der in beiden Listen vorkommt. Bei 18 und 24 sind die Teiler 1, 2, 3, 6, 9, 18 sowie 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – der größte gemeinsame ist 6. Bei größeren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung: Du zerlegst beide Zahlen in ihre Primfaktoren und multiplizierst die gemeinsamen.
- Kann man jeden Bruch auf jeden Nenner erweitern?
- Nein, nur auf Nenner, die ein Vielfaches des ursprünglichen Nenners sind. 1/3 lässt sich auf 6, 9 oder 12 erweitern, aber nicht auf 10, weil 10 kein Vielfaches von 3 ist. Prüfe vor dem Erweitern immer, ob der Zielnenner ohne Rest durch den alten Nenner teilbar ist.
- Was passiert, wenn man mit 0 erweitert oder kürzt?
- Das ist nicht erlaubt. Erweiterst du mit 0, stünde im Zähler und Nenner überall 0, und 0/0 ist nicht definiert. Kürzt du durch 0, würdest du durch 0 dividieren, was in der Mathematik grundsätzlich verboten ist. Zum Erweitern und Kürzen darfst du deshalb nur Zahlen ungleich 0 verwenden.
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