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Geraden im Raum

In dieser Lektion lernst du, wie du eine Gerade im dreidimensionalen Raum mit einer Parametergleichung beschreibst. Du stellst die Gleichung durch zwei Punkte auf. Außerdem prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

  • Fach: Mathematik
  • Klasse 12
  • Thema: Analytische Geometrie
  • Dauer: 17 Min
  • Niveau: Mittel
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Warum y = mx + b im Raum nicht reicht

In der Ebene beschreibst du eine Gerade mit y = mx + b. Im Raum gibt es aber drei Koordinaten, und eine einzige Gleichung mit x, y und z beschreibt dort eine Ebene, keine Gerade. Deshalb nutzt man im Raum die Parameterform: Man startet an einem festen Punkt und läuft beliebig weit in eine feste Richtung.

Der feste Punkt heißt Stützpunkt, sein Ortsvektor Stützvektor. Die Richtung gibt der Richtungsvektor an. Der Parameter t bestimmt, wie weit du läufst: t = 0 liefert den Stützpunkt, t = 1 einen Schritt weiter, negative Werte führen in die Gegenrichtung. Jeder Wert von t gehört zu genau einem Punkt der Geraden. Kennst du zwei Punkte A und B, nimmst du A als Stützpunkt und den Verbindungsvektor AB als Richtung.

Im Abitur brauchst du Geraden etwa für Flugbahnen, Lichtstrahlen oder Kanten von Körpern und für Lagebeziehungen. Ein typischer Fehler bei der Punktprobe: Schüler lösen nur die erste Zeile nach t auf und hören dann auf. Ein Punkt liegt aber nur dann auf der Geraden, wenn alle drei Zeilen denselben Wert für t ergeben. Liefert eine Zeile ein anderes t, liegt der Punkt daneben.

Stell dir die Parametergleichung wie eine Fahrt auf einer schnurgeraden Straße vor. Der Stützpunkt ist dein Startort, der Richtungsvektor die Strecke, die du in einer Stunde zurücklegst, und t die vergangene Zeit. Nach zwei Stunden bist du bei t = 2, eine halbe Stunde vor dem Start warst du bei t = −0,5. So erklärt sich auch, warum Flugbahnaufgaben im Abitur t oft als Zeit in Minuten oder Stunden deuten.

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Die Parametergleichung

Eine Gerade g besteht aus allen Punkten, deren Ortsvektor x sich so darstellen lässt. Stützvektor p und Richtungsvektor u sind feste Vektoren, nur t variiert.

Dieselbe Gerade hat viele Gleichungen: Jeder Punkt der Geraden taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache von u (außer dem Nullvektor) als Richtung. Zwei Gleichungen mit unterschiedlichem Aussehen können also dieselbe Gerade beschreiben.

Die Gleichung ist eigentlich eine Kurzschreibweise für drei Zeilen, eine pro Koordinate. Für x = (1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | 3) bedeutet das: x-Koordinate 1 + 2t, y-Koordinate 0 + t und z-Koordinate 2 + 3t. Genau diese Zeilen schreibst du bei der Punktprobe und beim Berechnen von Schnittpunkten auf. Wer sie sauber untereinander notiert, macht deutlich weniger Vorzeichenfehler.

xp + t · u
p
Stützvektor, zeigt auf einen festen Punkt der Geraden
u
Richtungsvektor, gibt die Richtung der Geraden an
t
Parameter, eine beliebige reelle Zahl
x
Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden
LagebeziehungRichtungsvektorengemeinsamer Punkt
identischVielfache voneinanderalle Punkte gemeinsam
echt parallelVielfache voneinanderkein Punkt gemeinsam
schneidendkeine Vielfachengenau ein Punkt
windschiefkeine Vielfachenkein Punkt gemeinsam
Die vier Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum
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Beispiel 1: Gerade aufstellen und Punktprobe

Stelle eine Gleichung der Geraden g durch A(1 | 0 | 2) und B(3 | 1 | 5) auf. Prüfe, ob P(5 | 2 | 8) auf g liegt.

Gegeben:

  • A(1 | 0 | 2)
  • B(3 | 1 | 5)
  • P(5 | 2 | 8)

Gesucht:

Gleichung von g und Lage von P

Lösung:

  1. Richtungsvektor: AB(3 − 1 | 1 − 0 | 5 − 2)(2 | 1 | 3)
  2. g: x(1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | 3)
  3. Punktprobe: 51 + 2t, 20 + t, 82 + 3t
  4. Alle drei Zeilen ergeben t = 2

Die Gerade lautet g: x = (1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | 3). Da alle drei Zeilen t = 2 liefern, liegt P auf g. Hätte etwa die dritte Zeile t = 3 ergeben, läge P nicht auf der Geraden.

So stellst du eine Geradengleichung auf und prüfst mit der Punktprobe, ob ein Punkt darauf liegt.
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Beispiel 2: Lagebeziehung zweier Geraden

Untersuche die Lage der Geraden g: x = (1 | 0 | 2) + t · (2 | 1 | 3) und h: x = (0 | 1 | 1) + s · (1 | 0 | 1) zueinander.

Gegeben:

  • g mit Stützpunkt (1|0|2) und Richtung (2|1|3)
  • h mit Stützpunkt (0|1|1) und Richtung (1|0|1)

Gesucht:

Lagebeziehung von g und h

Lösung:

  1. Richtungsvektoren vergleichen: (2|1|3) und (1|0|1) sind keine Vielfachen voneinander, also weder identisch noch parallel.
  2. Gleichungen gleichsetzen: 1 + 2t0 + s, 0 + t1 + 0s, 2 + 3t1 + s
  3. Aus der zweiten Zeile folgt sofort t = 1.
  4. Eingesetzt in die erste Zeile: 1 + 2 = s, also s = 3.
  5. Probe mit der dritten Zeile: links 2 + 3 = 5, rechts 1 + 3 = 4 – die Werte stimmen nicht überein.

Die dritte Zeile liefert einen Widerspruch, das Gleichungssystem hat keine Lösung. Da die Richtungsvektoren zudem nicht parallel sind, sind g und h windschief: Sie schneiden sich nicht und laufen auch nicht parallel zueinander.

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Typische Fehler

Der häufigste Fehler bei der Punktprobe ist, nur eine Zeile nach t aufzulösen und die anderen beiden nicht zu prüfen. Ein Punkt liegt aber nur dann wirklich auf der Geraden, wenn alle drei Koordinatengleichungen mit demselben t erfüllt sind. Eine einzelne passende Zeile ist reiner Zufall und kein Beweis.

Ein zweiter Fehler passiert beim Vergleich zweier Geraden, wenn für beide derselbe Parameterbuchstabe verwendet wird. Dadurch werden die beiden Geraden künstlich aneinandergekoppelt, und das Gleichungssystem liefert falsche Ergebnisse. Verwende deshalb immer zwei verschiedene Parameter, meist t für die eine und s für die andere Gerade.

Ein dritter Fehler ist, aus nicht parallelen Richtungsvektoren vorschnell auf einen Schnittpunkt zu schließen. Nicht parallel bedeutet nur, dass die Geraden nicht identisch oder echt parallel sind, sie könnten immer noch windschief sein. Erst das Gleichsetzen und Lösen des Gleichungssystems entscheidet endgültig zwischen schneidend und windschief.

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Tipps für die Klassenarbeit

Schreibe die drei Koordinatengleichungen bei jeder Punktprobe und jedem Vergleich zweier Geraden sauber untereinander auf, mit denselben Variablen in gleicher Spalte. Diese Ordnung verhindert die meisten Vorzeichenfehler und macht sofort sichtbar, welche Zeile am einfachsten nach einer Unbekannten aufzulösen ist.

Löse zuerst die Zeile, die nur eine Unbekannte enthält, meist die mit dem Koeffizienten 0 bei einer der beiden Variablen. Setze das Ergebnis in eine zweite Zeile ein, um die andere Unbekannte zu bestimmen, und nutze die dritte Zeile ausschließlich zur Kontrolle. So sparst du Zeit und reduzierst Rechenfehler.

Geraden im Raum beschreiben in der Praxis viele Bewegungen: die Flugbahn eines Flugzeugs, den Verlauf eines Laserstrahls oder die Kante eines Gebäudes. In Abituraufgaben wird der Parameter t deshalb oft als Zeit gedeutet, und du sollst zum Beispiel berechnen, wann ein Objekt einen bestimmten Punkt erreicht oder ob zwei Flugbahnen sich kreuzen.

Die wichtigsten Regeln zu Geraden im Raum auf einen Blick, ideal zum Wiederholen vor der Prüfung.
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Jetzt bist du dran

Aufgabe 1 von 3

Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor der Geraden durch A(0 | 1 | 2) und B(2 | 5 | 4)?

Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor der Geraden durch A(0 | 1 | 2) und B(2 | 5 | 4)?
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Das Wichtigste in Kürze

  • Geraden im Raum beschreibst du mit x = p + t · u.
  • Stützvektor: ein Punkt der Geraden, Richtungsvektor: die Richtung.
  • Aus zwei Punkten A und B wird der Richtungsvektor AB.
  • Punktprobe: Alle drei Zeilen müssen dasselbe t liefern.
  • Typischer Fehler: nur eine Zeile prüfen und daraus auf die Lage schließen.

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Häufige Fragen zu Geraden im Raum

Wie stelle ich eine Geradengleichung aus zwei Punkten auf?
Nimm einen der beiden Punkte als Stützpunkt, zum Beispiel A, und schreibe seinen Ortsvektor als Stützvektor. Den Richtungsvektor erhältst du als Verbindungsvektor AB, also Ziel minus Start. Die Gleichung lautet dann x = A + t · AB. Welchen Punkt du als Stützpunkt nimmst, ist egal. Die Gleichungen sehen verschieden aus, beschreiben aber dieselbe Gerade.
Welche Lagebeziehungen können zwei Geraden im Raum haben?
Es gibt vier Möglichkeiten: identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Wenn ja, sind die Geraden parallel oder identisch, was eine Punktprobe entscheidet. Wenn nein, setzt du die Gleichungen gleich. Hat das Gleichungssystem eine Lösung, schneiden sie sich, sonst sind sie windschief. Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene.
Was bedeutet windschief?
Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch sich schneiden. Sie laufen aneinander vorbei, ohne sich zu treffen, wie zwei Straßen, von denen eine über eine Brücke führt. In der Ebene ist das unmöglich, dort schneiden sich nicht parallele Geraden immer. Rechnerisch erkennst du windschiefe Geraden daran, dass das Gleichungssystem beim Gleichsetzen keine Lösung hat.
Wie berechne ich den Schnittpunkt zweier Geraden?
Setze beide Gleichungen gleich und verwende für die zweite Gerade einen anderen Parameter, etwa s statt t. Du erhältst drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Löse zwei davon nach t und s auf und prüfe mit der dritten, ob die Werte passen. Setze dann t in die erste Gerade ein, um den Schnittpunkt zu erhalten. Derselbe Parametername für beide Geraden führt fast immer zu falschen Ergebnissen.
Warum braucht man im Raum zwei verschiedene Parameter für zwei Geraden?
Weil jede Gerade ihren eigenen, unabhängigen Parameter hat, der angibt, wie weit man auf ihr entlangläuft. Verwendest du für beide Geraden denselben Buchstaben, zum Beispiel t, zwingst du beide Punkte künstlich dazu, denselben Laufwert zu haben, was beim Schnittpunkt nicht der Fall sein muss. Mit t für die eine und s für die andere Gerade bleibt jede Bewegung unabhängig, so wie es der Realität entspricht.
Kann ich denselben Richtungsvektor in verkürzter oder verlängerter Form verwenden?
Ja, jedes Vielfache eines Richtungsvektors außer dem Nullvektor beschreibt dieselbe Gerade, nur mit einer anderen Schrittweite pro t. Aus (2 | 4 | 6) kannst du zum Beispiel (1 | 2 | 3) machen, indem du durch 2 teilst. Das vereinfacht oft die Rechnung, ändert aber nichts an der Geraden selbst, weil sich nur die Bedeutung von t verschiebt.

Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.

Das solltest du vorher können

Das kommt als Nächstes

  • Lagebeziehungen von Geradenin Arbeit
  • Ebenen im Raumin Arbeit