Analytische Geometrie

Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum: der zweite große Block im Mathe-Abitur. Hier steht zuerst die anschauliche Bedeutung, dann die Rechnung – ein Vektor ist eine Verschiebung, bevor er eine Zahlenspalte ist.

15 Lektionen in diesem Bereich

• Abstand Punkt Ebene berechnen mit der Hesse-Normalform

  Den Abstand Punkt Ebene berechnest du am schnellsten mit der Hesse-Normalform: Du setzt die Koordinaten des Punktes in eine fertige Formel ein und erhältst direkt den kürzesten Abstand zur Ebene. Diese Lektion zeigt dir die Formel, den Zusammenhang mit dem Normalenvektor und den vollständigen Rechenweg an einem konkreten Beispiel.

  Klasse 1225 Min

• Abstand Punkt Gerade

  Der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen dem Punkt und der Geraden, gemessen senkrecht zur Geraden. In dieser Lektion lernst du, wie du diesen Abstand mit dem Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor berechnest.

  Klasse 1222 Min

• Abstand windschiefer Geraden berechnen: Formel und Beispiele

  Der Abstand windschiefer Geraden ist die kürzeste Entfernung zweier Geraden im Raum, die sich weder schneiden noch parallel sind. Du lernst die Formel mit Kreuzprodukt und Skalarprodukt, rechnest zwei Beispiele vor und übst mit fünf Aufgaben.

  Klasse 1220 Min

• Ebenengleichungen aufstellen und umformen

  In dieser Lektion lernst du, wie eine Ebene im Raum durch eine Parameterform oder eine Normalenform beschrieben wird. Du übst, aus drei Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen und eine Parameterform mithilfe des Normalenvektors in eine Normalenform umzuwandeln.

  Klasse 1224 Min

• Geraden im Raum

  In dieser Lektion lernst du, wie du eine Gerade im dreidimensionalen Raum mit einer Parametergleichung beschreibst. Du stellst die Gleichung durch zwei Punkte auf. Außerdem prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.

  Klasse 1217 Min

• Kreuzprodukt berechnen

  Das Kreuzprodukt berechnen bedeutet, aus zwei Vektoren im Raum einen dritten Vektor zu bestimmen, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. In dieser Lektion lernst du die Rechenregel für das Kreuzprodukt und wie du damit Normalenvektoren und Flächeninhalte von Parallelogrammen berechnest.

  Klasse 1220 Min

• Kugelgleichung: Aufstellen, Ablesen und Punktprobe

  Die Kugelgleichung beschreibt alle Punkte im Raum, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand r haben, und lautet (x₁ − m₁)² + (x₂ − m₂)² + (x₃ − m₃)² = r². Du lernst, sie aufzustellen, aus einer ausmultiplizierten Form Mittelpunkt und Radius abzulesen und zu prüfen, ob ein Punkt auf, in oder außerhalb der Kugel liegt. Dazu kommen fünf Aufgaben.

  Klasse 1218 Min

• Lagebeziehung Gerade Ebene bestimmen

  Die Lagebeziehung von Gerade und Ebene beschreibt, ob eine Gerade die Ebene schneidet, echt parallel zu ihr verläuft oder ganz in ihr liegt. In dieser Lektion lernst du, wie du mit dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor die Lage bestimmst, den Schnittpunkt berechnest und die drei Fälle sicher unterscheidest.

  Klasse 1222 Min

• Matrizen multiplizieren

  Matrizen multiplizieren bedeutet, aus zwei rechteckigen Zahlenschemata nach einer festen Regel eine neue Matrix zu berechnen, bei der jeder Eintrag aus einer Zeile der ersten und einer Spalte der zweiten Matrix entsteht. In dieser Lektion lernst du die Voraussetzung dafür, das Verfahren Zeile mal Spalte und warum die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen eine wichtige Rolle spielt.

  Klasse 1220 Min

• Parameterform in Koordinatenform umformen

  Parameterform in Koordinatenform umformen heißt, den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt zu bestimmen und d mit dem Aufpunkt zu berechnen. In dieser Lektion rechnest du zwei Beispiele vor, auch mit drei gegebenen Punkten, und lernst die typischen Fehler und Proben kennen.

  Klasse 1220 Min

• Punkt an Gerade spiegeln im Raum

  Punkt an Gerade spiegeln heißt: Du bestimmst den Lotfußpunkt F und berechnest dann P' = 2 · F − P. Du lernst die Lotbedingung mit dem Skalarprodukt, rechnest zwei Beispiele im Raum vor und erfährst, wie du die Spiegelung mit zwei einfachen Proben kontrollierst.

  Klasse 1220 Min

• Schnittwinkel zweier Ebenen

  Der Schnittwinkel zweier Ebenen beschreibt, wie stark zwei sich schneidende Ebenen im Raum gegeneinander geneigt sind. In dieser Lektion lernst du, wie du diesen Winkel über die Normalenvektoren beider Ebenen mit dem Skalarprodukt berechnest.

  Klasse 1222 Min

• Skalarprodukt

  In dieser Lektion lernst du, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnest und was das Ergebnis über die Lage der Vektoren zueinander verrät. Du bestimmst damit Winkel zwischen Vektoren und prüfst, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Das ist ein Grundwerkzeug der analytischen Geometrie.

  Klasse 1220 Min

• Spatprodukt – Volumen berechnen

  Spatprodukt Volumen berechnen bedeutet, mit drei Vektoren das Volumen eines Spats zu bestimmen, also eines von drei Kantenvektoren aufgespannten Körpers, ähnlich einem schiefen Quader. In dieser Lektion lernst du, wie das Spatprodukt aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt zusammengesetzt ist und wie du damit Volumen und Komplanarität von Vektoren prüfst.

  Klasse 1222 Min

• Vektoren: Grundlagen

  In dieser Lektion lernst du, was ein Vektor ist und wie du ihn im dreidimensionalen Raum beschreibst. Du berechnest Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten. Außerdem übst du Addition, Vervielfachung und den Test auf Parallelität.

  Klasse 1216 Min

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