Matrizen multiplizieren
Matrizen multiplizieren bedeutet, aus zwei rechteckigen Zahlenschemata nach einer festen Regel eine neue Matrix zu berechnen, bei der jeder Eintrag aus einer Zeile der ersten und einer Spalte der zweiten Matrix entsteht. In dieser Lektion lernst du die Voraussetzung dafür, das Verfahren Zeile mal Spalte und warum die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen eine wichtige Rolle spielt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 12
- Thema: Analytische Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Schwer
Matrizen: geordnete Zahlenschemata für lineare Zusammenhänge
Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, das in Zeilen und Spalten angeordnet ist. Matrizen werden in der Mathematik vor allem genutzt, um mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig kompakt darzustellen oder um geometrische Abbildungen wie Drehungen und Streckungen zu beschreiben.
Genau wie Zahlen lassen sich auch Matrizen addieren, subtrahieren und multiplizieren, allerdings gelten dabei andere Regeln als bei gewöhnlichen Zahlen. Die Multiplikation von Matrizen ist besonders wichtig, weil sie in der analytischen Geometrie und in vielen Anwendungen der Informatik, etwa bei Computergrafik, eine zentrale Rolle spielt.
Um zwei Matrizen multiplizieren zu können, müssen ihre Formate zueinander passen. Diese Bedingung und das genaue Rechenverfahren lernst du im nächsten Abschnitt kennen, bevor du es an ausführlichen Beispielen einübst.
Voraussetzung und das Verfahren Zeile mal Spalte
Damit zwei Matrizen A und B überhaupt multipliziert werden können, muss die Spaltenzahl von A genau mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen. Hat A also das Format m Zeilen mal n Spalten, muss B das Format n Zeilen mal k Spalten besitzen, wobei m, n und k beliebige positive ganze Zahlen sein können.
Das Produkt A mal B hat dann das Format m Zeilen mal k Spalten. Jeder einzelne Eintrag der Ergebnismatrix entsteht, indem eine Zeile von A mit einer Spalte von B verrechnet wird: Die entsprechenden Einträge werden jeweils miteinander multipliziert und anschließend alle Produkte addiert.
Dieses Verfahren wird oft kurz als Zeile mal Spalte bezeichnet. Für den Eintrag in Zeile i und Spalte j des Ergebnisses nimmst du die i-te Zeile von A und die j-te Spalte von B, multiplizierst die jeweils gegenüberliegenden Zahlen und addierst alle diese Produkte zu einer einzigen Zahl.
- A
- erste Matrix mit m Zeilen und n Spalten
- B
- zweite Matrix mit n Zeilen und k Spalten
- i
- Zeilenindex im Ergebnis
- j
- Spaltenindex im Ergebnis
| Merkmal | Matrix A | Matrix B |
|---|---|---|
| Format | m Zeilen mal n Spalten | n Zeilen mal k Spalten |
| Bedingung | Spaltenzahl n | muss der Zeilenzahl n von A entsprechen |
| Ergebnis A mal B | hat das Format | m Zeilen mal k Spalten |
Beispiel 1: Zwei 2x2-Matrizen multiplizieren
Berechne das Produkt A mal B für A = Zeile 1: 1 und 2, Zeile 2: 3 und 4, und B = Zeile 1: 5 und 6, Zeile 2: 7 und 8.
Gegeben:
- A hat das Format 2x2
- B hat das Format 2x2
Gesucht:
Produktmatrix A mal BLösung:
- Eintrag oben links berechnen: erste Zeile von A mal erste Spalte von B: 1 mal 5 plus 2 mal 7 = 5 plus 14 = 19.
- Eintrag oben rechts berechnen: erste Zeile von A mal zweite Spalte von B: 1 mal 6 plus 2 mal 8 = 6 plus 16 = 22.
- Eintrag unten links berechnen: zweite Zeile von A mal erste Spalte von B: 3 mal 5 plus 4 mal 7 = 15 plus 28 = 43.
- Eintrag unten rechts berechnen: zweite Zeile von A mal zweite Spalte von B: 3 mal 6 plus 4 mal 8 = 18 plus 32 = 50.
- Ergebnismatrix zusammensetzen: Zeile 1 lautet 19 und 22, Zeile 2 lautet 43 und 50.
Das Produkt A mal B ist die Matrix mit Zeile 1: 19 und 22, Zeile 2: 43 und 50. Jeder Eintrag lässt sich einzeln kontrollieren, indem die entsprechende Zeile von A und Spalte von B noch einmal nachgerechnet werden.
Beispiel 2: Warum die Reihenfolge wichtig ist
Vergleiche C mal D und D mal C für C = Zeile 1: 2 und 0, Zeile 2: 1 und 3, und D = Zeile 1: 4 und 1, Zeile 2: 0 und 2.
Gegeben:
- C hat das Format 2x2
- D hat das Format 2x2
Gesucht:
Vergleich von C mal D und D mal CLösung:
- C mal D berechnen: Eintrag oben links: 2 mal 4 plus 0 mal 0 = 8. Eintrag oben rechts: 2 mal 1 plus 0 mal 2 = 2. Eintrag unten links: 1 mal 4 plus 3 mal 0 = 4. Eintrag unten rechts: 1 mal 1 plus 3 mal 2 = 7.
- C mal D ergibt also die Matrix mit Zeile 1: 8 und 2, Zeile 2: 4 und 7.
- D mal C berechnen: Eintrag oben links: 4 mal 2 plus 1 mal 1 = 9. Eintrag oben rechts: 4 mal 0 plus 1 mal 3 = 3. Eintrag unten links: 0 mal 2 plus 2 mal 1 = 2. Eintrag unten rechts: 0 mal 0 plus 2 mal 3 = 6.
- D mal C ergibt die Matrix mit Zeile 1: 9 und 3, Zeile 2: 2 und 6.
C mal D ergibt eine andere Matrix als D mal C, denn die erste liefert Zeile 1: 8 und 2, Zeile 2: 4 und 7, während die zweite Zeile 1: 9 und 3, Zeile 2: 2 und 6 liefert. Damit ist bestätigt, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Typische Fehler bei der Matrizenmultiplikation
Ein häufiger Fehler ist, Matrizen so zu multiplizieren, wie man es von einfachen Zahlen gewohnt ist, also Eintrag für Eintrag an der gleichen Position miteinander zu multiplizieren. Das ist falsch, denn bei der Matrizenmultiplikation wird immer eine ganze Zeile mit einer ganzen Spalte verrechnet, nicht einzelne Einträge direkt miteinander.
Ein zweiter Fehler ist, die Verträglichkeitsbedingung nicht zu prüfen und trotzdem zu versuchen, zwei Matrizen mit nicht passenden Formaten zu multiplizieren. Passt die Spaltenzahl von A nicht zur Zeilenzahl von B, existiert das Produkt A mal B schlicht nicht.
Ein dritter Fehler ist, anzunehmen, A mal B sei immer dasselbe wie B mal A. Wie das zweite Beispiel zeigt, liefert die vertauschte Reihenfolge in der Regel eine andere Matrix, deshalb muss bei Aufgaben immer genau auf die geforderte Reihenfolge geachtet werden.
Tipps für die Klassenarbeit
Notiere dir vor der eigentlichen Rechnung immer zuerst die Formate beider Matrizen und prüfe, ob die Multiplikation überhaupt möglich ist. So vermeidest du, mitten in der Rechnung festzustellen, dass die Formate nicht zusammenpassen.
Arbeite systematisch Zeile für Zeile der ersten Matrix ab und berechne für jede Zeile nacheinander alle Einträge der zugehörigen Ergebniszeile. Das verhindert, dass du beim Hin- und Herspringen zwischen Zeilen und Spalten den Überblick verlierst.
Kontrolliere zumindest einen Eintrag der Ergebnismatrix am Ende noch einmal separat nach, indem du die entsprechende Zeile und Spalte erneut multiplizierst und addierst. So findest du Rechenfehler, bevor sie in der Klassenarbeit auffallen.
Jetzt bist du dran!
A hat das Format 2 Zeilen mal 3 Spalten, B hat das Format 3 Zeilen mal 2 Spalten. Welches Format hat das Produkt A mal B?
Noch nicht. Da die Spaltenzahl von A (3) mit der Zeilenzahl von B (3) übereinstimmt, ist die Multiplikation möglich. Das Ergebnis hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B, also 2 Zeilen mal 2 Spalten.
Das Wichtigste in Kürze
- Zwei Matrizen A und B lassen sich nur multiplizieren, wenn die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht.
- Das Produkt A mal B hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.
- Jeder Eintrag der Ergebnismatrix entsteht nach dem Verfahren Zeile mal Spalte durch Multiplizieren und Addieren.
- Die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, A mal B ist meist ungleich B mal A.
- Jeder einzelne Eintrag lässt sich separat nachrechnen und dadurch kontrollieren.
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Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Matrizen multiplizieren
- Wie multipliziert man zwei Matrizen?
- Man verrechnet jede Zeile der ersten Matrix mit jeder Spalte der zweiten Matrix, indem man die jeweils gegenüberliegenden Einträge multipliziert und alle Produkte addiert. Dieses Vorgehen wird kurz als Zeile mal Spalte bezeichnet und liefert die Einträge der Ergebnismatrix.
- Wann lassen sich zwei Matrizen überhaupt multiplizieren?
- Zwei Matrizen A und B lassen sich als A mal B multiplizieren, wenn die Spaltenzahl von A genau der Zeilenzahl von B entspricht. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, existiert das Produkt A mal B nicht.
- Welches Format hat das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation?
- Multipliziert man eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten mit einer Matrix mit n Zeilen und k Spalten, hat das Ergebnis das Format m Zeilen mal k Spalten. Die mittlere Zahl n fällt beim Ergebnis weg, weil sie nur für die Verträglichkeit gebraucht wird.
- Ist A mal B dasselbe wie B mal A?
- Im Allgemeinen nicht. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt, A mal B liefert meist ein anderes Ergebnis als B mal A, manchmal ist eines der beiden Produkte sogar gar nicht definiert, wenn die Formate nicht zueinander passen.
- Was ist der Unterschied zur Multiplikation von Zahlen?
- Bei gewöhnlichen Zahlen wird einfach Faktor mal Faktor gerechnet, bei Matrizen dagegen wird jeder Eintrag der Ergebnismatrix aus einer ganzen Zeile und einer ganzen Spalte gebildet. Außerdem gilt bei der Matrizenmultiplikation im Gegensatz zu Zahlen keine allgemeine Vertauschbarkeit der Reihenfolge.
- In welcher Klasse werden Matrizen unterrichtet?
- Matrizen und ihre Multiplikation werden meist in Klasse 12 im Rahmen der analytischen Geometrie oder als eigenständiges Themengebiet behandelt. Sie bauen auf den Grundlagen von Vektoren auf und werden häufig in Verbindung mit linearen Abbildungen und Gleichungssystemen eingesetzt.
- Was ist eine Einheitsmatrix?
- Die Einheitsmatrix E ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen an allen anderen Stellen. Sie verhält sich bei der Matrizenmultiplikation wie die Zahl 1 bei gewöhnlichen Zahlen, das heißt, A mal E ergibt wieder die Matrix A.
- Wie kontrolliert man das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation?
- Man wählt einen einzelnen Eintrag der Ergebnismatrix aus und berechnet ihn erneut, indem man die zugehörige Zeile der ersten Matrix und die zugehörige Spalte der zweiten Matrix noch einmal Schritt für Schritt multipliziert und addiert. Stimmt das Ergebnis mit dem vorher berechneten Wert überein, ist die Rechnung wahrscheinlich richtig.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.