Kugelgleichung: Aufstellen, Ablesen und Punktprobe

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, denselben Abstand r haben. Dieser Abstand heißt Radius. Die Kugelgleichung übersetzt diese Beschreibung in eine Gleichung für die Koordinaten x₁, x₂ und x₃ eines beliebigen Kugelpunkts X.

Der Weg dorthin ist kurz. Der Abstand von X zu M ist die Länge des Vektors von M nach X. Er ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras im Raum als Wurzel aus der Summe der drei quadrierten Koordinatendifferenzen. Wenn dieser Abstand gleich r sein soll, quadrierst du beide Seiten und erhältst die Kugelgleichung ohne Wurzel.

Du kennst das Prinzip schon von der Kreisgleichung in der Ebene: Dort steht eine Summe von zwei Quadraten, bei der Kugel kommt eine dritte Koordinate dazu. Wer die Kreisgleichung beherrscht, hat den Hauptteil bereits verstanden. Der Rest ist Gewöhnung an die drei Klammern.

Eine Kugelgleichung liefert dir drei Informationen auf einen Blick: den Mittelpunkt, den Radius und eine Methode, Punkte zu prüfen. Damit lösen sich Aufgaben zu Lage und Abstand, die in der analytischen Geometrie der Oberstufe häufig vorkommen, zum Beispiel die Frage, ob eine Gerade die Kugel schneidet.

Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen des Mittelpunkts. Wer bei M(2 | −1 | 3) in die zweite Klammer x₂ − 1 schreibt, hat den Mittelpunkt falsch eingesetzt. Richtig ist x₂ − (−1) = x₂ + 1. Prüfe es, indem du den Mittelpunkt selbst in die Gleichung einsetzt. Die Summe der Quadrate muss dann null ergeben, und das ist nur bei richtigen Vorzeichen der Fall.

Der zweite Fehler ist, den Radius statt seines Quadrats rechts hinzuschreiben. Bei r = 4 steht dort 16, nicht 4. Umgekehrt vergessen viele beim Ablesen, die Wurzel zu ziehen: Steht rechts 25, ist der Radius 5, nicht 25. Auch bei der allgemeinen Form passiert das oft, denn dort ist die rechte Seite nach der quadratischen Ergänzung eine Summe, in die auch die Ergänzungen eingehen.

Der dritte Fehler betrifft die quadratische Ergänzung. Die Ergänzung ist das Quadrat der halben Zahl vor dem linearen Glied. Für −4x₁ ist das (−2)² = 4. Wer die Ergänzung nur links hinzufügt, aber rechts vergisst, verändert die Gleichung. Merke: Alles, was links dazukommt, kommt auch rechts dazu.

In Abituraufgaben ist die Kugelgleichung meist der Einstieg in eine längere Aufgabe. Zuerst stellst du sie auf, dann prüfst du Punkte, schneidest die Kugel mit einer Geraden oder berechnest den Abstand zu einer Ebene. Besonders beliebt ist die Kugel, die durch zwei gegenüberliegende Punkte als Durchmesser gegeben ist. Der Mittelpunkt ist dann die Mitte der Strecke, der Radius die halbe Länge.

Ein Beispiel: Die Punkte A(1 | 2 | 3) und B(5 | −2 | 7) liegen auf einem Durchmesser. Der Mittelpunkt ist M(3 | 0 | 5). Der Vektor AB hat den Betrag √48, der Radius ist die Hälfte, also √12, und es gilt r² = 12. Die Gleichung lautet (x₁ − 3)² + x₂² + (x₃ − 5)² = 12.

Außerhalb der Schule kommen Kugeln überall vor: in der Astronomie, wo Himmelskörper als Kugeln modelliert werden, in der Navigation beim Satellitenempfang und in der Computergrafik bei Kollisionsabfragen. Für ein Kollisionsmodell genügt es, den Abstand der Mittelpunkte mit der Summe der Radien zu vergleichen.