Kreisgleichung aufstellen und ablesen
Die Kreisgleichung beschreibt alle Punkte, die vom Mittelpunkt eines Kreises genau den Abstand des Radius haben. In dieser Lektion lernst du, wie du die Kreisgleichung aufstellst, aus der Koordinatenform mit quadratischer Ergänzung Mittelpunkt und Radius abliest und prüfst, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Geometrie
- Dauer: 18 Min
- Niveau: Mittel
Kreisgleichung: ein Kreis im Koordinatensystem
Die Kreisgleichung ist eine Gleichung mit x und y, die genau von den Punkten eines Kreises erfüllt wird. Hat der Kreis den Mittelpunkt M(m|n) und den Radius r, lautet sie (x − m)² + (y − n)² = r². Jeder Punkt, der sie erfüllt, liegt auf dem Kreis.
Der Grund dafür ist der Satz des Pythagoras. Ein Punkt P(x|y) liegt genau dann auf dem Kreis, wenn seine Entfernung zum Mittelpunkt M gleich r ist. Diese Entfernung ergibt sich aus dem Unterschied der x-Werte und dem Unterschied der y-Werte, die zusammen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden.
Im einfachsten Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung, dann gilt m gleich 0 und n gleich 0. Die Gleichung heißt dann x² + y² = r². Verschiebst du den Kreis, tauchen im Klammerterm die Koordinaten des Mittelpunkts auf, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen.
Die Formel der Kreisgleichung
Die Mittelpunktsform (x − m)² + (y − n)² = r² zeigt dir Mittelpunkt und Radius auf einen Blick. Der Radius steckt allerdings als Quadrat auf der rechten Seite. Steht dort 25, ist der Radius 5, und steht dort 9, ist er 3.
Die zweite Schreibweise heißt Koordinatenform. Hier sind die Klammern ausmultipliziert, es steht zum Beispiel x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 da. Mittelpunkt und Radius erkennst du dann nicht mehr sofort. Du musst die Gleichung mit quadratischer Ergänzung wieder in die Mittelpunktsform bringen.
Beim Vorzeichen musst du genau hinsehen. Aus (x − 3)² liest du m gleich 3 ab, aus (y + 2)² liest du n gleich −2 ab. Das Vorzeichen in der Klammer ist also immer das Gegenteil der Koordinate des Mittelpunkts.
- x
- x-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis
- m
- x-Koordinate des Mittelpunkts
- n
- y-Koordinate des Mittelpunkts
- r
- Radius des Kreises
| Merkmal | Mittelpunktsform | Koordinatenform |
|---|---|---|
| Aussehen | (x − 3)² + (y + 2)² = 25 | x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 |
| Mittelpunkt | sofort ablesbar: M(3|−2) | erst nach quadratischer Ergänzung |
| Radius | Wurzel aus 25, also 5 | erst nach quadratischer Ergänzung |
Beispiel 1: Kreisgleichung aufstellen
Stelle die Kreisgleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(2|−3) und dem Radius 5 auf.
Gegeben:
- Mittelpunkt M(2|−3)
- Radius r5
Gesucht:
Die Kreisgleichung in MittelpunktsformLösung:
- Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen: m = 2 und n = −3.
- In die Formel einsetzen: (x − 2)² + (y − (−3))²5².
- Doppeltes Minus auflösen: y − (−3) wird zu y + 3.
- Radius quadrieren: 5²25.
Die Kreisgleichung lautet (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Als Probe setzt du den Punkt (5|1) ein: (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25. Der Punkt liegt also auf dem Kreis.
Beispiel 2: Mittelpunkt und Radius aus der Koordinatenform ablesen
Bestimme Mittelpunkt und Radius des Kreises mit x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Prüfe danach, ob P(6|2) auf dem Kreis liegt.
Gegeben:
- x² + y² − 6x + 4y − 120
- Punkt P(6|2)
Gesucht:
Mittelpunkt, Radius und Lage von PLösung:
- Terme sortieren und die Zahl nach rechts bringen: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
- Quadratisch ergänzen: Die Hälfte von −6 ist −3, das Quadrat ist 9. Die Hälfte von 4 ist 2, das Quadrat ist 4. Beides addierst du auf beiden Seiten: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4.
- Binomische Formeln rückwärts anwenden: (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
- Ablesen: Mittelpunkt M(3|−2), Radius r = Wurzel aus 25 = 5. Punktprobe mit P(6|2): (6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25.
Der Kreis hat den Mittelpunkt M(3|−2) und den Radius 5. Der Punkt P(6|2) liegt auf dem Kreis, denn beim Einsetzen kommt genau 25 heraus. Wäre das Ergebnis kleiner als 25, läge P innerhalb, wäre es größer, läge P außerhalb.
Typische Fehler bei der Kreisgleichung
Der häufigste Fehler betrifft das Vorzeichen. Aus (x + 3)² lesen viele Schüler m gleich 3 ab. Richtig ist m gleich −3, denn x + 3 ist dasselbe wie x − (−3). Ein Test hilft: Setzt du die x-Koordinate des Mittelpunkts ein, muss die Klammer null ergeben.
Ein zweiter Fehler ist, den Radius mit seinem Quadrat zu verwechseln. Steht rechts 16, ist der Radius nicht 16, sondern 4. Die Gleichung enthält immer r², und du musst am Ende die Wurzel ziehen. Umgekehrt vergisst man beim Aufstellen gerne, den Radius zu quadrieren.
Ein dritter Fehler passiert bei der quadratischen Ergänzung. Wer die Ergänzung nur auf einer Seite addiert, ändert die Gleichung. Was du links hinzufügst, musst du auch rechts hinzufügen. Außerdem verlangt die Koordinatenform, dass vor x² und y² beide Male eine 1 steht. Sonst teilst du zuerst durch den Faktor.
Kreisgleichung im Alltag und in der Klassenarbeit
Kreisgleichungen beschreiben alle Situationen, in denen etwas einen festen Abstand zu einem Punkt einhält. Die Reichweite eines Funkmastes, der Wirkungsbereich eines Rasensprengers und die Sichtweite eines Leuchtturms sind Kreise. Mit der Gleichung kannst du berechnen, ob ein bestimmter Ort noch innerhalb liegt.
In Klassenarbeiten kommen drei Aufgabentypen vor. Du sollst eine Kreisgleichung aufstellen, aus einer gegebenen Gleichung Mittelpunkt und Radius bestimmen oder prüfen, wo ein Punkt liegt. Mit der Punktprobe geht das schnell: Du setzt die Koordinaten des Punktes links ein und vergleichst das Ergebnis mit r².
Notiere bei jeder Aufgabe zuerst, was gegeben ist: Mittelpunkt, Radius oder ein Punkt auf dem Kreis. Ist nur der Mittelpunkt und ein Kreispunkt gegeben, berechnest du den Radius als Abstand der beiden Punkte. Ist ein Durchmesser gegeben, ist der Mittelpunkt dessen Mitte und der Radius die halbe Länge.
Jetzt bist du dran!
Wie lautet die Gleichung des Kreises um den Ursprung mit dem Radius 4?
Noch nicht. Der Mittelpunkt ist (0|0), also entfallen m und n. Rechts steht der quadrierte Radius, also 4² gleich 16, nicht der Radius selbst.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Kreisgleichung lautet (x − m)² + (y − n)² = r² mit dem Mittelpunkt M(m|n).
- Rechts steht das Quadrat des Radius, den Radius erhältst du durch Wurzelziehen.
- Das Vorzeichen in der Klammer ist das Gegenteil der Mittelpunktskoordinate.
- Aus der Koordinatenform kommst du mit quadratischer Ergänzung zur Mittelpunktsform.
- Die Punktprobe vergleicht das Einsetzungsergebnis mit r².
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Kreisgleichung aufstellen und ablesen
- Wie lautet die Kreisgleichung?
- Die Kreisgleichung lautet (x − m)² + (y − n)² = r². Dabei ist M(m|n) der Mittelpunkt und r der Radius. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, vereinfacht sie sich zu x² + y² = r².
- Wie liest man Mittelpunkt und Radius aus der Kreisgleichung ab?
- In der Mittelpunktsform liest du m und n aus den Klammern ab, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Radius ist die Wurzel der Zahl rechts vom Gleichheitszeichen. Bei (x − 3)² + (y + 2)² = 25 ist M(3|−2) und r = 5.
- Wie wandelt man die Koordinatenform in die Mittelpunktsform um?
- Du sortierst x- und y-Terme, ergänzt jeweils quadratisch, indem du das Quadrat der halben Zahl vor x beziehungsweise y auf beiden Seiten addierst, und schreibst die Terme als binomische Formeln. Danach kannst du Mittelpunkt und Radius ablesen.
- Wie prüft man, ob ein Punkt auf dem Kreis liegt?
- Du setzt die Koordinaten des Punktes in die linke Seite der Kreisgleichung ein. Kommt genau r² heraus, liegt der Punkt auf dem Kreis. Ist das Ergebnis kleiner, liegt er innerhalb, ist es größer, liegt er außerhalb des Kreises.
- Warum steht in der Kreisgleichung r² und nicht r?
- Die Gleichung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Die Abstände in x- und y-Richtung bilden die Katheten, der Radius ist die Hypotenuse. Nach Pythagoras gilt a² + b² = c², deshalb steht auf der rechten Seite r² und nicht r.
- Wie stellt man die Kreisgleichung aus Mittelpunkt und einem Kreispunkt auf?
- Zuerst berechnest du den Radius als Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreispunkt mit dem Satz des Pythagoras. Danach setzt du Mittelpunkt und Radius in die Mittelpunktsform ein. Rechts steht dann das Quadrat dieses Abstands.
- Was ist der Unterschied zwischen Kreisgleichung und Kreisformel?
- Die Kreisformeln für Umfang und Flächeninhalt berechnen Größen eines Kreises, zum Beispiel A gleich π mal r². Die Kreisgleichung dagegen beschreibt die Lage des Kreises im Koordinatensystem und enthält alle Punkte der Kreislinie.
- In welcher Klasse lernt man die Kreisgleichung?
- Die Kreisgleichung wird meist in Klasse 10 im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen und dem Satz des Pythagoras behandelt. In der analytischen Geometrie der Oberstufe wird sie später zur Kugelgleichung im Raum erweitert.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.