Quadratische Ergänzung
In dieser Lektion lernst du die quadratische Ergänzung als Verfahren, um quadratische Gleichungen ohne die pq-Formel zu lösen und um quadratische Terme in die Scheitelpunktform zu überführen. Du übst den Rechenweg an vollständigen Beispielen und verstehst, warum die Methode funktioniert.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 22 Min
- Niveau: Schwer
Ein Quadrat aus einem unvollständigen Term bauen
Die binomischen Formeln zeigen dir, dass (x + a)² ausmultipliziert x² + 2ax + a² ergibt. Die quadratische Ergänzung nutzt genau diesen Zusammenhang rückwärts: Aus einem Term wie x² + 6x, dem noch das passende Quadratglied fehlt, baust du gezielt ein vollständiges Binom. Diese Technik ist die Grundlage, mit der die pq-Formel überhaupt erst hergeleitet wird.
Der Grundgedanke: Zu x² + 6x fehlt noch die Zahl 9, denn (x + 3)² = x² + 6x + 9. Addierst du diese 9, entsteht ein vollständiges Quadrat, das sich als (x + 3)² schreiben lässt. Damit der Wert des ursprünglichen Terms erhalten bleibt, musst du die addierte Zahl an anderer Stelle wieder abziehen oder auf beiden Seiten einer Gleichung gleichermaßen hinzufügen.
Diese Methode funktioniert bei jeder quadratischen Gleichung, unabhängig davon, ob sie sich leicht faktorisieren lässt oder nicht. Sie liefert außerdem automatisch die Scheitelpunktform einer Parabel, aus der sich Scheitelpunkt, Öffnungsrichtung und Verschiebung direkt ablesen lassen, ohne eine gesonderte Formel dafür zu benötigen.
Die Ergänzungszahl finden
Um den passenden Ergänzungsterm zu finden, betrachtest du den Koeffizienten vor x, also die Zahl b in x² + bx. Du halbierst diese Zahl und quadrierst das Ergebnis: Die gesuchte Ergänzungszahl ist immer (b/2)². Bei x² + 6x ist b = 6, also lautet die Ergänzungszahl (6/2)² = 3² = 9.
Nach dem Ergänzen schreibst du den entstandenen Term als vollständiges Binom: x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². Steht vor dem x² zusätzlich ein Faktor ungleich 1, klammerst du ihn zuerst vollständig aus, bevor du die quadratische Ergänzung im Inneren der Klammer durchführst – sonst stimmt die Ergänzungszahl nicht.
Bei Gleichungen musst du die addierte Ergänzungszahl auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens hinzufügen, damit die Gleichung weiterhin stimmt. Bei reinen Termumformungen, etwa beim Bestimmen der Scheitelpunktform, addierst und subtrahierst du die Ergänzungszahl direkt im selben Term, sodass sich der Wert insgesamt nicht ändert.
- b
- Koeffizient vor x im quadratischen Term
- x
- Variable
| Term | b | Ergänzungszahl (b/2)² | vollständiges Binom |
|---|---|---|---|
| x² + 6x | 6 | 9 | (x + 3)² |
| x² − 10x | −10 | 25 | (x − 5)² |
| x² + 3x | 3 | 2,25 | (x + 1,5)² |
Beispiel 1: Eine quadratische Gleichung lösen
Löse die Gleichung x² + 8x + 7 = 0 mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Gegeben:
- x² + 8x + 70
Gesucht:
Lösungen für xLösung:
- Konstante Zahl auf die rechte Seite bringen: x² + 8x = −7
- Ergänzungszahl berechnen: b8, also (82)²16
- Auf beiden Seiten addieren: x² + 8x + 16 = −7 + 16 = 9
- Linke Seite als Binom schreiben: (x + 4)² = 9
- Wurzel ziehen, beide Vorzeichen beachten: x + 4 = 3 oder x + 4 = −3
- Nach x auflösen: x1−1 oder x2−7
Die Gleichung hat die Lösungen x1 = −1 und x2 = −7. Probe für x1: (−1)² + 8 · (−1) + 7 = 1 − 8 + 7 = 0, die Bedingung stimmt. Beim Wurzelziehen dürfen die beiden Lösungen mit positivem und negativem Vorzeichen nicht vergessen werden, denn beide Werte erfüllen die quadrierte Gleichung.
Beispiel 2: Scheitelpunktform bestimmen
Bringe den Term f(x) = x² − 4x + 9 in die Scheitelpunktform und lies den Scheitelpunkt der Parabel ab.
Gegeben:
- f(x)x² − 4x + 9
Gesucht:
Scheitelpunktform und ScheitelpunktLösung:
- Ergänzungszahl berechnen: b−4, also (−42)²4
- Ergänzen und sofort wieder abziehen: f(x) = x² − 4x + 4 − 4 + 9
- Binom bilden: f(x)(x − 2)² − 4 + 9
- Zusammenfassen: f(x)(x − 2)² + 5
Die Scheitelpunktform lautet f(x) = (x − 2)² + 5, der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(2 | 5). Da vor dem Quadrat kein negatives Vorzeichen steht, ist die Parabel nach oben geöffnet, und der Scheitelpunkt ist gleichzeitig der tiefste Punkt des Graphen.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist, die Ergänzungszahl auf nur einer Seite der Gleichung zu addieren. Bei x² + 8x = −7 muss die Zahl 16 sowohl links als auch rechts hinzugefügt werden, sonst verändert sich der Wert der Gleichung und alle folgenden Schritte liefern falsche Lösungen. Bei reinen Umformungen eines Terms, wie bei der Scheitelpunktform, wird dieselbe Zahl dagegen im selben Ausdruck addiert und sofort wieder subtrahiert.
Ein zweiter Fehler passiert, wenn beim Wurzelziehen das negative Vorzeichen vergessen wird. Aus (x + 4)² = 9 folgt nicht nur x + 4 = 3, sondern auch x + 4 = −3, denn sowohl 3² als auch (−3)² ergeben 9. Wer nur eine der beiden Lösungen notiert, hat die Gleichung nicht vollständig gelöst.
Ein dritter Fehler entsteht, wenn ein Faktor vor x² beim Ausklammern nicht konsequent auf alle Glieder angewendet wird. Bei 2x² + 12x + 10 muss zunächst der Faktor 2 aus allen drei Gliedern ausgeklammert werden, bevor die quadratische Ergänzung im Inneren der Klammer durchgeführt wird, sonst stimmt die berechnete Ergänzungszahl nicht.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe dir vor jeder Rechnung den Koeffizienten b deutlich auf und berechne die Ergänzungszahl (b/2)² in einem eigenen Zwischenschritt, bevor du sie in den Term einsetzt. Das verhindert Rechenfehler beim Halbieren und Quadrieren, besonders wenn b negativ oder eine Dezimalzahl ist.
Nutze die quadratische Ergänzung auch als Kontrolle für die pq-Formel: Beide Verfahren führen zur selben Lösung, denn die pq-Formel wird aus genau dieser Ergänzungstechnik hergeleitet. Wenn du bei einer Aufgabe unsicher bist, ob deine pq-Formel-Lösung stimmt, kannst du sie mit der quadratischen Ergänzung gegenprüfen.
Für das Abitur und höhere Klassenarbeiten lohnt es sich, die quadratische Ergänzung besonders für die Bestimmung von Scheitelpunkten quadratischer Funktionen zu üben, denn sie liefert Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung in einem Rechengang, ohne dass eine gesonderte Scheitelpunktformel auswendig gelernt werden muss.
Jetzt bist du dran!
Welche Zahl muss zu x² + 10x ergänzt werden, damit ein vollständiges Quadrat entsteht?
Das Wichtigste in Kürze
- Die Ergänzungszahl zu x² + bx ist immer (b/2)².
- Es gilt x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)².
- In Gleichungen wird die Ergänzungszahl auf beiden Seiten addiert, in Termen direkt addiert und wieder abgezogen.
- Beim Wurzelziehen entstehen immer zwei Lösungen mit positivem und negativem Vorzeichen.
- Die quadratische Ergänzung liefert direkt die Scheitelpunktform und damit den Scheitelpunkt einer Parabel.
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Häufige Fragen zu Quadratische Ergänzung
- Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?
- Du berechnest zum Koeffizienten b vor dem x die Zahl (b/2)² und fügst sie so ein, dass ein vollständiges Binom entsteht: x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)². In einer Gleichung addierst du diese Zahl auf beiden Seiten, bei einer reinen Termumformung addierst und subtrahierst du sie im selben Term.
- Wofür braucht man die quadratische Ergänzung?
- Sie dient zum Lösen quadratischer Gleichungen ohne auswendig gelernte Formel und zum Umformen eines quadratischen Terms in die Scheitelpunktform. Aus der Scheitelpunktform lassen sich Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung einer Parabel direkt ablesen. Außerdem ist die quadratische Ergänzung die Grundlage, aus der die pq-Formel überhaupt hergeleitet wird.
- Wie findet man die Ergänzungszahl?
- Du nimmst den Koeffizienten vor dem einfachen x, halbierst ihn und quadrierst das Ergebnis. Bei x² + 6x ist der Koeffizient 6, halbiert ergibt das 3, quadriert 9. Die Ergänzungszahl ist also 9, denn x² + 6x + 9 lässt sich als (x + 3)² schreiben.
- Was ist der Unterschied zwischen quadratischer Ergänzung und pq-Formel?
- Beide Verfahren führen zur gleichen Lösung einer quadratischen Gleichung. Die pq-Formel ist eine fertige Formel, die direkt eingesetzt werden kann, während die quadratische Ergänzung ein Rechenweg ist, der Schritt für Schritt zur Lösung führt und zusätzlich zeigt, warum die pq-Formel überhaupt so aussieht, wie sie aussieht.
- Wie liest man aus der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ab?
- In der Form f(x) = (x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt bei S(d | e). Wichtig ist das Vorzeichen: Bei f(x) = (x − 2)² + 5 ist d = 2, nicht −2, weil in der Klammer ein Minus vor der Zahl steht. Bei f(x) = (x + 2)² + 5 wäre dagegen d = −2.
- Warum entstehen beim Wurzelziehen zwei Lösungen?
- Weil sowohl eine positive als auch eine negative Zahl quadriert dasselbe positive Ergebnis liefern. Aus (x + 4)² = 9 folgt deshalb x + 4 = 3 oder x + 4 = −3. Nur wenn die rechte Seite 0 ist, fallen beide Lösungen zu einer einzigen zusammen.
- In welcher Klasse wird die quadratische Ergänzung behandelt?
- Das Verfahren wird meist in Klasse 9 im Rahmen der quadratischen Gleichungen und Funktionen eingeführt, nachdem die binomischen Formeln und einfache quadratische Gleichungen bekannt sind. Es bleibt auch in der Oberstufe wichtig, etwa bei der Kurvendiskussion und beim Bestimmen von Extrempunkten ohne Differenzialrechnung.
- Was macht man, wenn vor x² ein Faktor ungleich 1 steht?
- Zuerst klammerst du diesen Faktor vollständig aus allen Termen aus, auch aus der Konstante. Erst danach führst du die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durch. Am Ende multiplizierst du den ausgeklammerten Faktor wieder in die entstandene Klammer hinein, um die vollständige Scheitelpunktform zu erhalten.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.