Die pq-Formel: quadratische Gleichungen lösen
In dieser Lektion lernst du, wie du mit der pq-Formel jede quadratische Gleichung in Normalform löst. Du erfährst, wie die Diskriminante über null, eine oder zwei Lösungen entscheidet, und übst den Rechenweg an vorgerechneten Beispielen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme und Gleichungen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Wozu die pq-Formel dient
Eine quadratische Gleichung enthält x im Quadrat, zum Beispiel x² − 6x + 8 = 0. Anders als bei einer linearen Gleichung reicht Umformen allein oft nicht, um x freizustellen, denn x² lässt sich nicht einfach durch Wurzelziehen isolieren, solange noch ein Term mit x in der ersten Potenz dabeisteht. Für genau diesen Fall gibt es die pq-Formel: ein festes Rezept, das aus den Zahlen p und q direkt beide Lösungen berechnet.
Die Formel funktioniert nur, wenn die Gleichung in Normalform vorliegt: x² + p · x + q = 0, also mit dem Faktor 1 vor x². Steht dort eine andere Zahl, zum Beispiel 2x² − 12x + 16 = 0, teilst du zuerst die gesamte Gleichung durch diese Zahl, hier durch 2, und erhältst x² − 6x + 8 = 0. Erst danach liest du p und q ab.
Quadratische Gleichungen tauchen überall auf, wo eine Fläche, ein Produkt zweier veränderlicher Größen oder eine Wurfbahn beschrieben wird: bei der Berechnung einer Rechteckfläche mit gegebenem Umfang, beim Bremsweg eines Autos oder bei der Flugbahn eines Balls. Wer die pq-Formel sicher anwendet, kann solche Aufgaben in wenigen Schritten lösen, statt lange auszuprobieren.
Die Formel und die Diskriminante
Sind p und q abgelesen, setzt du sie in die Formel ein: x = −p/2 plus oder minus die Wurzel aus (p/2)² − q. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante und wird oft mit D abgekürzt. Er entscheidet, wie viele Lösungen die Gleichung überhaupt hat, noch bevor du die Wurzel ziehst.
Ist D positiv, liefert die Wurzel einen echten Wert, und du bekommst zwei verschiedene Lösungen: einmal mit Plus, einmal mit Minus vor der Wurzel. Ist D genau null, ist die Wurzel aus null ebenfalls null, sodass beide Lösungen zusammenfallen – man spricht von einer doppelten Lösung. Ist D negativ, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist, also existiert im Reellen keine Lösung.
- x
- die gesuchte Lösung (Nullstelle) der Gleichung
- p
- Koeffizient vor x in der Normalform, mit Vorzeichen
- q
- Absolutglied in der Normalform, mit Vorzeichen
| Diskriminante D | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| D größer 0 | zwei Lösungen | x² + 2x − 15 = 0, D = 16 |
| D gleich 0 | eine doppelte Lösung | x² − 8x + 16 = 0, D = 0 |
| D kleiner 0 | keine reelle Lösung | x² + 2x + 5 = 0, D = −4 |
Beispiel 1: zwei Lösungen
Löse die Gleichung x² + 2x − 15 = 0 mit der pq-Formel.
Gegeben:
- p2
- q-15
Gesucht:
x1 und x2Lösung:
- -p2 berechnen: -p/2-22-1
- Diskriminante: (p2)² - q1² - (-15)1 + 1516
- D = 16 ist positiv, also gibt es zwei Lösungen
- Wurzel ziehen: Wurzel aus 16 = 4
- x1-1 + 43
- x2-1 - 4-5
Die Gleichung hat die Lösungen x1 = 3 und x2 = −5. Probe für x1: 3² + 2 · 3 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0, das stimmt. Probe für x2: (−5)² + 2 · (−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0, ebenfalls korrekt.
Beispiel 2: doppelte Lösung und keine Lösung
Löse x² − 8x + 16 = 0 und untersuche, ob x² + 2x + 5 = 0 eine Lösung hat.
Gegeben:
- erste Gleichung: p-8, q16
- zweite Gleichung: p2, q5
Gesucht:
Lösungen beider GleichungenLösung:
- Erste Gleichung: -p2-(-8)24
- Diskriminante: (p2)² - q(-4)² - 1616 - 160
- D = 0, also genau eine (doppelte) Lösung: x = 4
- Zweite Gleichung: -p2-22-1
- Diskriminante: (p2)² - q1 - 5-4
- D = -4 ist negativ, also existiert keine reelle Lösung
Die erste Gleichung hat die doppelte Lösung x = 4, denn D = 0 lässt Plus und Minus vor der Wurzel zum selben Ergebnis zusammenfallen. Die zweite Gleichung hat keine reelle Lösung, weil unter der Wurzel eine negative Zahl steht. Grafisch bedeutet das: Die zugehörige Parabel berührt bei D = 0 die x-Achse in genau einem Punkt und verläuft bei D kleiner 0 komplett oberhalb der x-Achse.
Typische Fehler
Der häufigste Fehler ist ein falsches Vorzeichen bei p oder q. In x² − 6x + 8 = 0 ist p = −6, nicht 6, denn das Vorzeichen vor x gehört zu p dazu. Wer stattdessen p = 6 einsetzt, erhält am Ende die falschen Lösungen mit vertauschtem Vorzeichen. Schreibe deshalb p und q immer zuerst einzeln mit Vorzeichen auf, bevor du sie in die Formel einsetzt.
Ein zweiter Fehler ist, die Normalform zu überspringen. Bei 3x² − 12x + 9 = 0 muss zuerst durch 3 geteilt werden, sodass x² − 4x + 3 = 0 entsteht. Wird stattdessen direkt mit p = −12 und q = 9 gerechnet, kommt ein falsches Ergebnis heraus, weil die pq-Formel den Faktor 1 vor x² voraussetzt.
Ein dritter Fehler betrifft die Diskriminante: Sie wird manchmal als (p/2)² + q statt richtig als (p/2)² − q berechnet. Das Minuszeichen vor q ist Teil der Formel und darf nicht mit dem Vorzeichen von q selbst verwechselt werden, das schon im Wert von q steckt.
Tipps für die Klassenarbeit
Schreibe bei jeder Aufgabe zuerst die Normalform hin, auch wenn der Faktor vor x² schon 1 ist – das gewöhnt dich an den festen Ablauf und verhindert, dass du eine Umformung vergisst. Notiere p und q anschließend in einer eigenen Zeile, bevor du irgendetwas einsetzt.
Berechne die Diskriminante immer getrennt und schreibe ihren Wert hin, bevor du weiterrechnest. So siehst du sofort, ob am Ende zwei, eine oder keine Lösung stehen muss, und ein falsches Ergebnis fällt dir eher auf. Nutze am Schluss die Probe: Setze jede Lösung einzeln in die Ausgangsgleichung ein, nicht in die umgeformte Normalform.
Im Alltag begegnet dir die pq-Formel überall dort, wo eine Fläche oder ein Produkt zweier zusammenhängender Größen gesucht ist: Soll ein Rechteck mit 20 m Umfang eine Fläche von 24 m² haben, führt das über die Seitenlängen x und (10 − x) zu einer quadratischen Gleichung. Auch beim Bremsweg oder bei Wurfparabeln in der Physik triffst du auf dieselbe Formel wieder.
Jetzt bist du dran!
Welche Werte für p und q gehören zur Gleichung x² − 5x + 6 = 0?
Noch nicht. Das Vorzeichen vor x gehört zu p, also p = −5. Das Absolutglied bleibt unverändert q = 6. Falsche Vorzeichen bei p sind der häufigste Fehler beim Ablesen aus der Normalform.
Das Wichtigste in Kürze
- Die pq-Formel löst Gleichungen der Form x² + p · x + q = 0, dem Faktor 1 vor x² muss zuerst hergestellt werden.
- Formel: x = −p/2 plus oder minus Wurzel aus (p/2)² − q.
- Die Diskriminante D = (p/2)² − q entscheidet über zwei, eine oder keine Lösung.
- Typischer Fehler: das Vorzeichen von p beim Ablesen aus der Normalform vergessen.
- Die Probe erfolgt immer in der ursprünglichen Gleichung, mit jeder Lösung einzeln.
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Häufige Fragen zu Die pq-Formel: quadratische Gleichungen lösen
- Wie wende ich die pq-Formel richtig an?
- Bring die Gleichung zuerst in Normalform x² + p · x + q = 0. Lies p und q mit ihrem Vorzeichen ab, berechne −p/2 und anschließend die Diskriminante (p/2)² − q. Ist sie nicht negativ, ziehst du die Wurzel und erhältst mit Plus und Minus die beiden Lösungen. Setze am Ende beide Werte zur Kontrolle in die Ausgangsgleichung ein.
- Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?
- Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern bei derselben Gleichung dieselben Ergebnisse. Die pq-Formel setzt die Normalform mit dem Faktor 1 vor x² voraus. Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, arbeitet direkt mit a · x² + b · x + c = 0, sodass ein vorheriges Teilen entfällt. Welche Formel schneller ist, hängt davon ab, ob a bereits 1 ist.
- Was bedeutet die Diskriminante anschaulich?
- Die Diskriminante zeigt, wie die zugehörige Parabel zur x-Achse liegt. Ist sie positiv, schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten. Ist sie null, berührt sie die x-Achse in genau einem Punkt, dem Scheitelpunkt. Ist sie negativ, verläuft die gesamte Parabel oberhalb oder unterhalb der x-Achse, ohne sie zu berühren.
- Warum muss die Gleichung erst in Normalform gebracht werden?
- Die pq-Formel ist so hergeleitet, dass sie einen Faktor 1 vor x² voraussetzt. Steht dort eine andere Zahl, zum Beispiel 3 bei 3x² − 6x + 9 = 0, verschiebt das alle Verhältnisse zwischen den Koeffizienten. Erst nach dem Teilen durch diesen Faktor, hier durch 3, stimmen p und q mit der Formel überein und liefern korrekte Lösungen.
- Was mache ich, wenn kein Absolutglied q vorhanden ist?
- Fehlt q, lautet die Gleichung x² + p · x = 0. Klammere x aus, sodass x · (x + p) = 0 entsteht. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x = 0 oder x + p = 0, also x = −p. Die pq-Formel funktioniert hier zwar auch mit q = 0, das Ausklammern ist aber meist der schnellere Weg.
- In welcher Klasse lernt man die pq-Formel?
- Die pq-Formel wird in den meisten Bundesländern in Klasse 9 eingeführt, nachdem binomische Formeln und das Umformen von Termen sicher sitzen. Sie ist die Grundlage für spätere Themen wie quadratische Funktionen, Extremwertaufgaben und die Kurvendiskussion in der Oberstufe, wo Nullstellen von Parabeln immer wieder gebraucht werden.
- Kann eine quadratische Gleichung mehr als zwei Lösungen haben?
- Nein, eine quadratische Gleichung mit einer Variablen hat höchstens zwei reelle Lösungen. Das liegt daran, dass eine Parabel als Graph eine x-Achse höchstens zweimal schneiden kann. Bei D größer 0 sind es zwei, bei D gleich 0 eine doppelte und bei D kleiner 0 keine reelle Lösung.
- Wie erkenne ich, ob ich die pq-Formel oder den Satz vom Nullprodukt nutzen soll?
- Steht die Gleichung bereits als Produkt zweier Klammern, etwa (x − 2) · (x + 5) = 0, ist der Satz vom Nullprodukt schneller: Ein Faktor muss null sein. Liegt sie dagegen als Summe wie x² + p · x + q = 0 vor und lässt sich nicht einfach faktorisieren, ist die pq-Formel der sichere Weg.
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