Quadratwurzeln

Ein Quadrat hat eine Fläche von 16 cm². Wie lang ist eine Seite? Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt, also 4. Genau das ist die Quadratwurzel: √16 = 4, weil 4 · 4 = 16. Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig, so wie die Division die Multiplikation rückgängig macht. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Präge dir die Quadratzahlen bis 20² = 400 ein, dann erkennst du viele Wurzeln sofort.

Die Quadratwurzel ist immer die nicht-negative Zahl. Zwar ist auch (−4)² = 16, aber √16 ist trotzdem 4. Aus negativen Zahlen kannst du keine Quadratwurzel ziehen, denn jede Zahl mit sich selbst multipliziert ist null oder positiv. Viele Wurzeln wie √2 sind keine glatten Zahlen, sondern unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, ungefähr 1,414. Solche Zahlen heißen irrational. Du lässt sie deshalb oft als √2 stehen, weil jede gerundete Dezimalzahl nur eine Näherung wäre.

Wurzeln begegnen dir überall, wo aus einer Fläche eine Länge werden soll. Ein Fliesenleger kennt die Fläche eines quadratischen Raums und braucht die Seitenlänge. Beim Satz des Pythagoras rechnest du am Ende immer eine Wurzel, um die Länge der Hypotenuse zu erhalten. Auch die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers oder der Weg quer über einen Sportplatz entsteht so. Ohne Wurzeln könntest du aus Quadraten nie zurück zu den eigentlichen Maßen kommen.

Der häufigste Fehler ist, die Wurzel gliedweise auf eine Summe zu verteilen: √(9 + 16) wird fälschlich als √9 + √16 = 3 + 4 = 7 gerechnet. Richtig ist √25 = 5. Bei Summen und Differenzen musst du immer zuerst im Kopf rechnen, was unter der Wurzel steht, und erst danach die Wurzel ziehen.

Ein zweiter Fehler ist, beim teilweisen Wurzelziehen nicht die größte Quadratzahl zu wählen. Wer √200 als √(4 · 50) = 2 · √50 schreibt, hat zwar nicht falsch gerechnet, aber das Ergebnis lässt sich noch weiter vereinfachen, weil in 50 wieder die Quadratzahl 25 steckt. Suche deshalb möglichst gleich die größte passende Quadratzahl, hier 100.

Ein dritter Fehler betrifft negative Radikanden: Manche schreiben √(−9) = −3, weil sie an das Vorzeichen der gesuchten Zahl denken. Tatsächlich hat kein reelles Quadrat einen negativen Wert, deshalb ist √(−9) im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Verwechsle das auch nicht mit der Gleichung x² = 9, die zwei Lösungen hat, nämlich x = 3 und x = −3.

Wurzeln stecken in vielen Alltagsmaßen. Die Diagonale eines Bildschirms wird in Zoll angegeben und über den Satz des Pythagoras aus Breite und Höhe berechnet, am Ende steht dabei immer eine Wurzel. Auch Handwerker nutzen die Wurzel: Wer weiß, dass eine quadratische Terrasse 49 m² groß werden soll, kann sofort ausrechnen, dass jede Seite 7 m lang werden muss, ohne die Fläche erst mühsam abzuschreiten.

Für die Klassenarbeit lohnt es sich, die Quadratzahlen von 1² bis 20² auswendig zu können, denn dann erkennst du die meisten Wurzeln sofort, ohne zu rechnen. Bei krummen Zahlen wie √70 hilft die Einschachtelung: √64 = 8 und √81 = 9, also liegt √70 zwischen 8 und 9, näher an 8. So kannst du dein Ergebnis grob überschlagen und Rechenfehler erkennen, bevor du sie abgibst.

Kontrolliere jedes Ergebnis mit der Probe durch Quadrieren. Rechnest du dein Resultat mit sich selbst multipliziert nach und erhältst wieder den ursprünglichen Radikanden, hast du sicher richtig gerechnet. Diese Probe kostet nur wenige Sekunden, deckt aber die häufigsten Fehler zuverlässig auf.