Potenzen und Potenzgesetze
In dieser Lektion lernst du, was eine Potenz bedeutet und wie du mit Potenzen gleicher Basis rechnest. Du verstehst, warum die Potenzgesetze gelten, statt sie nur auswendig zu lernen.
- Fach: Mathematik
- Klasse 9
- Thema: Terme und Potenzen
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Kurzschrift für wiederholtes Multiplizieren
Eine Potenz ist eine Abkürzung: 2 · 2 · 2 schreibst du als 2³. Die untere Zahl heißt Basis, die kleine hochgestellte Zahl Exponent. Der Exponent sagt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Den ganzen Ausdruck nennt man Potenz, sein Ergebnis den Potenzwert. Gelesen wird 2³ als „zwei hoch drei“, bei 2² sagt man auch „zwei zum Quadrat“.
Potenzen begegnen dir bei Flächen in m², bei Volumen in m³ und bei sehr großen Zahlen wie 10 hoch 9 für eine Milliarde. Auch in der Informatik sind sie überall: Ein Kilobyte hat 2 hoch 10 = 1024 Byte. Und wenn sich Bakterien jede Stunde verdoppeln, sind nach 10 Stunden aus einer Zelle 2 hoch 10 Zellen geworden. Potenzen beschreiben also alles, was sich immer wieder um denselben Faktor vervielfacht.
Die Potenzgesetze folgen direkt aus dieser Bedeutung. Multiplizierst du 2² mit 2³, steht da 2 · 2 mal 2 · 2 · 2, also fünfmal der Faktor 2. Die Exponenten werden addiert. Beim Teilen kürzen sich gleiche Faktoren weg, deshalb werden die Exponenten subtrahiert. Das funktioniert aber nur bei gleicher Basis. Bei 2³ · 3² gibt es nichts zusammenzufassen, hier rechnest du 8 · 9 = 72.
Ein typischer Fehler: 2³ wird als 2 · 3 = 6 gerechnet. Richtig ist 2 · 2 · 2 = 8. Ebenso häufig werden bei der Multiplikation die Basen multipliziert: 2² · 2³ ist nicht 4 hoch 5, sondern 2 hoch 5 = 32. Die Basis bleibt gleich, nur der Exponent ändert sich. Außerdem gilt: Jede Zahl außer null hoch 0 ergibt 1. Und Vorsicht bei Vorzeichen: (−2)² ist 4, aber −2² ist −4, weil dort nur die 2 quadriert wird.
Das wichtigste Potenzgesetz
Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst du, indem du die Exponenten addierst. Beim Dividieren subtrahierst du sie. Beides ergibt sich direkt aus dem Abzählen der Faktoren, du musst es also nicht blind auswendig lernen.
Allgemein gilt: a hoch m mal a hoch n ergibt a hoch (m + n). Unten siehst du, warum: Zwei Faktoren und drei Faktoren ergeben zusammen fünf Faktoren, also a hoch 5. Beim Teilen gilt entsprechend a hoch m geteilt durch a hoch n ergibt a hoch (m − n), denn n Faktoren kürzen sich weg.
Zwei weitere Gesetze solltest du kennen. Potenzierst du eine Potenz, werden die Exponenten multipliziert: (a²)³ ist a² · a² · a², also a hoch 6. Und bei gleichem Exponenten darfst du die Basen multiplizieren: 2³ · 5³ = 10³ = 1000.
- a
- Basis – die Zahl, die multipliziert wird
- m
- erster Exponent, im Beispiel 2
- n
- zweiter Exponent, im Beispiel 3
| Regel | Beispiel | Ergebnis |
|---|---|---|
| a^m · a^n = a^(m+n) | 2² · 2³ | 2⁵ = 32 |
| a^m : a^n = a^(m−n) | 2⁵ : 2² | 2³ = 8 |
| (a^m)^n = a^(m·n) | (2²)³ | 2⁶ = 64 |
| a^n · b^n = (a·b)^n | 2³ · 5³ | 10³ = 1000 |
Beispiel 1: Einen Term vereinfachen
Vereinfache x² · x³ und berechne den Wert für x = 2.
Gegeben:
- x² · x³
- x2
Gesucht:
vereinfachter Term und WertLösung:
- Prüfen: Beide Potenzen haben dieselbe Basis x, das Gesetz darf also angewendet werden.
- Ausschreiben: x² · x³x · x · x · x · x
- Faktoren zählen oder Exponenten addieren: 2 + 3 = 5, also x hoch 5
- Für x2 einsetzen: 2 · 2 · 2 · 2 · 232
- Kontrolle ohne Gesetz: 2² · 2³4 · 832
x² · x³ ist x hoch 5. Für x = 2 ergibt sich 32. Die Kontrolle liefert denselben Wert, also stimmt die Vereinfachung. Der vereinfachte Term ist praktischer, weil du für jedes andere x nur noch eine Potenz berechnen musst.
Beispiel 2: Bakterienwachstum als Potenz
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Zellen sind nach 8 Stunden aus einer Zelle entstanden?
Gegeben:
- Start: 1 Zelle
- Verdopplung jede Stunde
- n8 Stunden
Gesucht:
Anzahl der ZellenLösung:
- Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl, das entspricht dem Faktor 2 pro Stunde.
- Nach n Stunden gilt: Anzahl = 2 hoch n
- Einsetzen: 2 hoch 8
- 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2256
Nach 8 Stunden sind aus einer Zelle 256 Zellen geworden. Schon nach relativ kurzer Zeit wird aus einer kleinen Zahl durch die Potenz eine sehr große – dieses schnelle Wachstum nennt man exponentiell.
Typische Fehler
Neben der Verwechslung von 2³ mit 2 · 3 passiert häufig ein Fehler beim Addieren von Potenzen: 2³ + 2² darf nicht zu 2⁵ zusammengefasst werden, denn für die Addition gibt es kein Potenzgesetz. Hier musst du beide Potenzen einzeln ausrechnen und dann addieren: 8 + 4 = 12.
Ein weiterer Fehler ist, das Potenzgesetz auf unterschiedliche Basen anzuwenden. Bei 2³ · 3² darfst du die Exponenten nicht addieren, weil die Basen 2 und 3 verschieden sind. Hier bleibt nur das getrennte Ausrechnen: 8 · 9 = 72.
Auch bei Klammern wird oft ungenau gearbeitet: (2 · 3)² ist 6² = 36, aber 2 · 3² ist 2 · 9 = 18, weil ohne Klammer nur die 3 quadriert wird. Ein einziges Klammerpaar kann also das Ergebnis komplett verändern.
Tipps für die Klassenarbeit
Präge dir die Quadratzahlen bis 15² und die Kubikzahlen bis 5³ ein. Das spart Zeit, weil du viele Potenzen dann sofort im Kopf hast, statt sie jedes Mal auszumultiplizieren.
Schreibe bei jeder Anwendung eines Potenzgesetzes kurz dazu, welches Gesetz du benutzt, zum Beispiel „gleiche Basis, Exponenten addieren“. So erkennst du selbst schneller, ob das Gesetz überhaupt anwendbar ist, und dein Lehrer kann deinen Rechenweg leichter nachvollziehen.
Jetzt bist du dran!
Berechne 3³.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Exponent sagt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
- 2³ ist 2 · 2 · 2 = 8, nicht 2 · 3.
- Gleiche Basis, multiplizieren: Exponenten addieren.
- Gleiche Basis, dividieren: Exponenten subtrahieren.
- Jede Zahl außer null hoch 0 ergibt 1.
- Für die Addition von Potenzen gibt es kein Gesetz, sie müssen einzeln berechnet werden.
Lektion abschließen
Schließe alle Aufgaben ab, um diese Lektion zu beenden.
Häufige Fragen zu Potenzen und Potenzgesetze
- Warum ist eine Zahl hoch 0 gleich 1?
- Das folgt aus dem Divisionsgesetz. Teilst du eine Zahl durch sich selbst, kommt 1 heraus, zum Beispiel 5³ : 5³ = 1. Nach dem Gesetz ist das aber auch 5 hoch (3 − 3), also 5 hoch 0. Damit beide Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern, muss 5 hoch 0 gleich 1 sein. Für 0 hoch 0 gibt es in der Schule keine feste Festlegung.
- Was ist der Unterschied zwischen Basis und Exponent?
- Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird, der Exponent gibt an, wie oft. Bei 4³ ist 4 die Basis und 3 der Exponent, also 4 · 4 · 4 = 64. Vertauschst du beide, ändert sich das Ergebnis meist: 3 hoch 4 ist 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Basis und Exponent sind also nicht austauschbar.
- Was bedeutet ein negativer Exponent?
- Ein negativer Exponent steht für einen Kehrwert. 2 hoch (−3) bedeutet 1/2³, also 1/8. Auch das folgt aus dem Divisionsgesetz: 2² : 2 hoch 5 ergibt 2 hoch (−3), und beim Kürzen bleiben drei Faktoren 2 im Nenner stehen. Negative Exponenten brauchst du zum Beispiel für sehr kleine Zahlen, etwa 10 hoch (−3) = 0,001.
- Wann darf ich Potenzen zusammenfassen?
- Beim Multiplizieren und Dividieren, wenn entweder die Basis oder der Exponent gleich ist. Bei gleicher Basis rechnest du mit den Exponenten, bei gleichem Exponenten mit den Basen. Beim Addieren gibt es dagegen kein Potenzgesetz: 2³ + 2² ist 8 + 4 = 12 und nicht 2 hoch 5. Hier musst du die Potenzen einzeln ausrechnen.
- In welcher Klasse lernt man Potenzgesetze?
- Quadrat- und Kubikzahlen kennst du meist schon ab Klasse 5. Die Potenzgesetze mit Variablen, negativen Exponenten und Zehnerpotenzen werden in der Regel in Klasse 9 oder 10 behandelt. Sie sind die Grundlage für Wurzeln, Exponentialfunktionen und die wissenschaftliche Schreibweise großer Zahlen, die dir in Physik und Chemie ständig begegnet.
- Darf ich Potenzen mit unterschiedlicher Basis und unterschiedlichem Exponenten zusammenfassen?
- Nein. Es gibt kein allgemeines Gesetz für Ausdrücke wie 2³ · 3⁴, bei denen sich weder Basis noch Exponent gleichen. Solche Terme musst du einzeln ausrechnen und dann multiplizieren: 8 · 81 = 648. Ein Potenzgesetz hilft dir nur weiter, wenn mindestens eine der beiden Größen, Basis oder Exponent, bei beiden Potenzen übereinstimmt.
- Was ist der Unterschied zwischen 2³ und 3²?
- Bei 2³ ist die 2 die Basis und wird dreimal mit sich selbst multipliziert: 2 · 2 · 2 = 8. Bei 3² ist die 3 die Basis und wird zweimal multipliziert: 3 · 3 = 9. Obwohl dieselben Ziffern vorkommen, liefern beide Ausdrücke unterschiedliche Ergebnisse, weil Basis und Exponent ihre Rollen getauscht haben.
Wiederhol diese Fragen später mit deinem Lernkarten-Trainer.
Das solltest du vorher können
- Terme umformen
- Rationale Zahlenin Arbeit