Einheitskreis Sinus Kosinus
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, an dem sich Sinus und Kosinus jedes beliebigen Winkels ablesen lassen. In dieser Lektion lernst du, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis als Koordinaten eines Punktes definiert sind und wie du damit auch Winkel über 90 Grad bestimmst.
- Fach: Mathematik
- Klasse 10
- Thema: Geometrie
- Dauer: 20 Min
- Niveau: Mittel
Der Einheitskreis: Sinus und Kosinus als Koordinaten
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems liegt. Trägt man von der positiven x-Achse aus einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn ab, landet man auf einem Punkt des Kreisrands, dessen Koordinaten genau dem Kosinus und dem Sinus dieses Winkels entsprechen.
Diese geometrische Sichtweise erklärt, warum Sinus und Kosinus periodisch sind und warum sie nur Werte zwischen minus 1 und plus 1 annehmen können: Der Punkt bewegt sich immer auf dem Kreisrand, und die x- und y-Koordinaten eines Kreispunkts mit Radius 1 können nie größer als 1 oder kleiner als minus 1 werden.
Ohne den Einheitskreis wären Sinus und Kosinus nur im rechtwinkligen Dreieck definiert, also nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad. Der Einheitskreis erweitert die Definition auf beliebige Winkel, auch über 90 Grad und ins Negative hinein.
Sinus und Kosinus als Koordinaten
Für einen Winkel Alpha, der von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn abgetragen wird, ist der zugehörige Punkt P auf dem Einheitskreis durch die Koordinaten (Kosinus von Alpha, Sinus von Alpha) gegeben. Die x-Koordinate ist also immer der Kosinus, die y-Koordinate immer der Sinus des Winkels.
Da der Radius des Kreises genau 1 beträgt, ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras der sogenannte trigonometrische Pythagoras: Sinus von Alpha hoch 2 plus Kosinus von Alpha hoch 2 ergibt immer 1, unabhängig davon, welchen Winkel Alpha du einsetzt.
Für die Winkel 0, 30, 45, 60 und 90 Grad lassen sich Sinus und Kosinus exakt angeben, ohne einen Taschenrechner zu benutzen. Diese Werte solltest du dir einprägen, weil sie in Aufgaben immer wieder vorkommen.
- P
- Punkt auf dem Einheitskreis zum Winkel Alpha
- A
- Winkel, gemessen von der positiven x-Achse aus
| Winkel | Sinus | Kosinus |
|---|---|---|
| 0 Grad | 0 | 1 |
| 30 Grad | 0,5 | Wurzel aus 3 durch 2 |
| 45 Grad | Wurzel aus 2 durch 2 | Wurzel aus 2 durch 2 |
| 60 Grad | Wurzel aus 3 durch 2 | 0,5 |
| 90 Grad | 1 | 0 |
Beispiel 1: Werte für 30, 45 und 60 Grad ablesen
Bestimme Sinus und Kosinus des Winkels 45 Grad am Einheitskreis.
Gegeben:
- Winkel Alpha gleich 45 Grad
Gesucht:
Sinus und Kosinus von 45 GradLösung:
- Symmetrie erkennen: Bei 45 Grad liegt der Punkt genau auf der Winkelhalbierenden zwischen x- und y-Achse.
- Gleichheit nutzen: Da der Punkt symmetrisch liegt, sind x- und y-Koordinate gleich groß.
- Trigonometrischen Pythagoras anwenden: 2 mal (Sinus von 45 Grad) hoch 2 gleich 1, also (Sinus von 45 Grad) hoch 2 gleich 0,5.
- Wurzel ziehen: Sinus von 45 Grad ergibt Wurzel aus 2 durch 2, und ebenso Kosinus von 45 Grad.
Sinus von 45 Grad und Kosinus von 45 Grad sind beide gleich Wurzel aus 2 durch 2, also ungefähr 0,71. Die Probe mit dem trigonometrischen Pythagoras bestätigt: 0,71 hoch 2 plus 0,71 hoch 2 ergibt ungefähr 1.
Beispiel 2: Winkel über 90 Grad bestimmen
Bestimme Sinus und Kosinus des Winkels 150 Grad mithilfe des Einheitskreises.
Gegeben:
- Winkel Alpha gleich 150 Grad
Gesucht:
Sinus und Kosinus von 150 GradLösung:
- Bezugswinkel bestimmen: 150 Grad liegt 30 Grad vor 180 Grad, der Bezugswinkel zur x-Achse beträgt also 30 Grad.
- Quadrant bestimmen: 150 Grad liegt im zweiten Quadranten, dort ist die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv.
- Werte für 30 Grad übernehmen: Sinus von 30 Grad ist 0,5 und Kosinus von 30 Grad ist Wurzel aus 3 durch 2.
- Vorzeichen anpassen: Sinus von 150 Grad bleibt positiv 0,5, Kosinus von 150 Grad wird negativ, also minus Wurzel aus 3 durch 2.
Sinus von 150 Grad ist 0,5 und Kosinus von 150 Grad ist minus Wurzel aus 3 durch 2. Dieses Vorgehen über den Bezugswinkel funktioniert für jeden Winkel außerhalb von 0 bis 90 Grad.
Typische Fehler am Einheitskreis
Der häufigste Fehler ist, Sinus und Kosinus zu vertauschen. Die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis ist immer der Kosinus, die y-Koordinate immer der Sinus, unabhängig davon, wie groß der Winkel ist.
Ein zweiter Fehler ist, in Quadranten mit negativer Koordinate das Vorzeichen zu vergessen. Im zweiten Quadranten ist der Kosinus negativ, im dritten Quadranten sind Sinus und Kosinus beide negativ, im vierten Quadranten ist der Sinus negativ.
Ein dritter Fehler ist zu glauben, Sinus und Kosinus könnten größer als 1 oder kleiner als minus 1 werden. Da der Radius des Einheitskreises genau 1 beträgt, liegen alle Werte immer in diesem Bereich.
Tipps für die Klassenarbeit
Präge dir die Werte für 0, 30, 45, 60 und 90 Grad gut ein, da sie in vielen Aufgaben ohne Taschenrechner benötigt werden. Eine kleine Wertetabelle hilft dabei, sie schnell abzurufen.
Zeichne bei Winkeln über 90 Grad immer eine kleine Skizze des Einheitskreises mit den vier Quadranten und markiere, in welchem Quadranten der gesuchte Winkel liegt, um das richtige Vorzeichen zu bestimmen.
Nutze den trigonometrischen Pythagoras als Kontrolle: Addierst du die Quadrate von Sinus- und Kosinuswert eines Winkels, muss immer 1 herauskommen.
Jetzt bist du dran!
Welche Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht dem Sinus des Winkels?
Noch nicht. Der Sinus eines Winkels entspricht immer der y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis, der Kosinus der x-Koordinate.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Einheitskreis hat den Radius 1 und den Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems.
- Die x-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis ist der Kosinus, die y-Koordinate der Sinus des zugehörigen Winkels.
- Sinus und Kosinus liegen für jeden Winkel immer zwischen minus 1 und plus 1.
- Sinus von Alpha hoch 2 plus Kosinus von Alpha hoch 2 ergibt für jeden Winkel den Wert 1.
- Über den Bezugswinkel und den passenden Quadranten lassen sich auch Winkel über 90 Grad bestimmen.
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Häufige Fragen zu Einheitskreis Sinus Kosinus
- Was ist der Einheitskreis?
- Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems liegt. An ihm lassen sich Sinus und Kosinus jedes beliebigen Winkels als Koordinaten eines Punktes ablesen.
- Wie hängen Sinus und Kosinus mit dem Einheitskreis zusammen?
- Zu jedem Winkel gehört ein Punkt auf dem Einheitskreis, dessen x-Koordinate dem Kosinus und dessen y-Koordinate dem Sinus dieses Winkels entspricht. So lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren, nicht nur für Winkel im rechtwinkligen Dreieck.
- Warum liegen Sinus und Kosinus immer zwischen minus 1 und plus 1?
- Da der Radius des Einheitskreises genau 1 beträgt, können die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Kreisrand nie größer als 1 oder kleiner als minus 1 werden.
- Was ist der trigonometrische Pythagoras?
- Der trigonometrische Pythagoras besagt, dass für jeden Winkel Sinus von Alpha hoch 2 plus Kosinus von Alpha hoch 2 immer 1 ergibt. Er folgt direkt daraus, dass jeder Punkt auf dem Einheitskreis den Abstand 1 vom Ursprung hat.
- Wie bestimmt man Sinus und Kosinus für Winkel über 90 Grad?
- Man bestimmt den Bezugswinkel zur x-Achse, liest die Werte für diesen Bezugswinkel ab und passt anschließend das Vorzeichen an den Quadranten an, in dem der ursprüngliche Winkel liegt.
- In welcher Klasse wird der Einheitskreis unterrichtet?
- Der Einheitskreis wird meist in Klasse 10 eingeführt, im Anschluss an die Grundlagen der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck. Er bildet die Grundlage für Sinus- und Kosinusfunktionen in höheren Klassen.
- Warum sind Sinus und Kosinus periodisch?
- Da sich der Punkt auf dem Einheitskreis nach einer vollen Umdrehung von 360 Grad wieder an derselben Stelle befindet, wiederholen sich die Werte von Sinus und Kosinus danach exakt.
- Wozu braucht man den Einheitskreis im Alltag?
- Der Einheitskreis hilft, periodische Bewegungen wie die Drehung eines Rads, eines Zeigers oder eines Riesenrads mathematisch zu beschreiben, weil sich die Höhe oder Position an solchen Objekten direkt über Sinus und Kosinus berechnen lässt.
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