Sinussatz und Kosinussatz

Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse funktionieren nur im rechtwinkligen Dreieck. Vermesser, Navigatoren oder Architekten haben es aber oft mit schiefen Dreiecken zu tun, etwa wenn sie die Entfernung zu einem Turm über zwei Messpunkte bestimmen. Dafür gibt es zwei Sätze, die in jedem Dreieck gelten. Wie üblich liegt die Seite a dem Winkel α gegenüber, b dem Winkel β und c dem Winkel γ.

Der Sinussatz sagt: Das Verhältnis aus einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels ist im ganzen Dreieck gleich, also a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Du nutzt ihn, wenn du eine Seite mit ihrem Gegenwinkel kennst. Anschaulich bedeutet er: Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. Das kannst du nutzen, um Ergebnisse auf Plausibilität zu prüfen.

Der Kosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ. Ist γ = 90°, fällt der letzte Term weg, weil cos 90° = 0 ist. Bei einem spitzen Winkel wird etwas abgezogen, die Seite c wird also kürzer als bei Pythagoras. Bei einem stumpfen Winkel ist der Kosinus negativ, der Term wird addiert und c wird länger. So passt die Formel zu jeder Dreiecksform.

Ein typischer Fehler: Im Kosinussatz wird ein beliebiger Winkel eingesetzt statt des Winkels, der der gesuchten Seite gegenüberliegt. Für c brauchst du γ, den Winkel zwischen a und b. Beim Sinussatz gilt: Suchst du einen Winkel, kann es zwei Lösungen geben, weil sin α = sin(180° − α) ist. Der Taschenrechner zeigt nur den spitzen Winkel an, den stumpfen musst du selbst prüfen.

Der häufigste Fehler beim Kosinussatz ist, einen falschen Winkel einzusetzen. In die Formel für c gehört ausschließlich der Winkel γ, der zwischen den Seiten a und b eingeschlossen ist und der gesuchten Seite gegenüberliegt. Wird stattdessen α oder β eingesetzt, kommt ein falscher Wert heraus, der auf den ersten Blick trotzdem plausibel wirken kann.

Beim Sinussatz wird oft übersehen, dass es zwei mögliche Winkel geben kann, weil sin α = sin(180° − α) gilt. Der Taschenrechner liefert immer nur die spitze Lösung. Prüfe deshalb, ob auch der stumpfe Winkel zur Aufgabe passt, indem du die Winkelsumme von 180° kontrollierst. Ein weiterer Fehler ist, die Wurzel beim Kosinussatz zu vergessen und c² statt c als Ergebnis anzugeben.

Sinussatz und Kosinussatz werden in der Landvermessung, der Navigation und der Architektur eingesetzt, überall dort, wo Dreiecke ohne rechten Winkel auftreten. Landvermesser bestimmen so die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt, etwa einem Berggipfel, indem sie zwei Winkel und eine Strecke am Boden messen. Auch in der Schifffahrt wird die Position eines Schiffs über Peilwinkel zu zwei bekannten Landmarken mit diesen Sätzen berechnet.

Für die Klassenarbeit lohnt sich immer eine Skizze mit allen bekannten Größen. Prüfe zuerst, ob eine Seite mit ihrem Gegenwinkel vorliegt – dann reicht der Sinussatz. Sonst brauchst du den Kosinussatz, eventuell kombiniert mit dem Sinussatz für einen zweiten Winkel. Nutze am Ende immer die Kontrolle über die größere Seite und den größeren Winkel, um Fehler zu erkennen.